2023-2024学年北京汉德三维集团高一下学期第九次联考（期末）数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京汉德三维集团高一下学期第九次联考（期末）数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i是虚数单位，则2−i1+2i=(

)A.i B.−i C.45+i 2.若直线l⊥平面α，则下列说法正确的是(

)A.l仅垂直平面α内的一条直线 B.l仅垂直平面α内与l相交的直线

C.l仅垂直平面α内的两条直线 D.l与平面α内的任意一条直线垂直3.在▵ABC中，BC=1,A=30∘，则▵ABC的外接圆的半径为(

)A.1 B.2 C.3 D.44.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且PC=0.8,PB=0.3，则A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.55.已知AB=2,−1，AC=1,λ，若cos∠BAC=A.−1 B.7 C.1 D.1或76.设α，β，γ是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出四个命题：①若m/​/α，m/​/β，则α/​/β②若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β③若m⊥α，m⊥β，则α/​/β④若m/​/α，n⊥α，则m⊥n其中正确命题的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.47.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为45∘，然后从点C处沿南偏东30∘方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为30∘，则铁塔ABA.70米 B.80米 C.90米 D.100米8.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别是棱A1D1､A1B1A.16 B.162 C.18 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列调查中，适宜采用抽样调查的是(

)A.调查某市中小学生每天的运动时间

B.某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查

C.农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量

D.调查某快餐店中8位店员的生活质量情况10.若复数z=6+4i1+i2023(i为虚数单位A.z的虚部为5i B.z的实部为1

C.z在复平面上对应的点位于第一象限 D.z11.在直角坐标系xOy中，已知点A−1,1,B−2,3,C−3,2，且A.若OP⊥BC，则m=n

B.若PA+PB+PC=0，则2m+n=1

C.若点P在直线BC上，则3m+3n=5

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某高中共有学生1000人，其中高一和高二各有400人，现采用分层抽样的方法抽取容量为25的样本，那么高二抽取的人数为

．13.设复数z=22sinα+icosπ2−α，i为虚数单位，且α∈14.在一个棱长为6+42的正方体内部有一个大球和小球，大球与正方体的六个面都相切，小球可以在正方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球体积的最大值是

．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)如图，直三棱柱ABC−A1B1C1内接于一个圆柱，(1)求圆柱的侧面积；(2)求三棱柱ABC−A116.(本小题12分)近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市知识考核，每位教师必需参加且最多参加2次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为13，教师乙每次考核通过的概率为1(1)求乙通过考核的概率；(2)求甲乙两人考核的次数和为3的概率．17.(本小题12分)为了了解某年龄段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组13,14，第二组14,15,…，第五组7,18.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个组的频率之比为3:8:19，且第二组的频数为(1)将频率当作概率，请估计该年龄段学生中百米成绩在16,17内的人数；(2)求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩；(3)若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．18.(本小题12分)已知▵ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，▵ABC的面积为S，且满足4S+bc⋅tan(1)求角A的大小；(2)若a=4，求▵ABC周长的最大值．19.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PBD⊥平面ABCD，四边形ABCD是梯形，AB//CD，BC⊥CD,BC=CD=2AB=22,E(1)若PE=2EA，求证：PC/​/平面EBD；(2)若PA⊥平面EBD，且PA=4，求直线BC与平面EBD所成角的正弦值．

参考答案1.B

2.D

3.A

4.D

5.C

6.B

7.A

8.C

9.AC

10.BC

11.AC

12.10

13.−214.4π315.(1)设底面圆的直径为2r，则其高也为2r；由题可知，圆柱的体积V=πr2⋅2r=2π因此圆柱的侧面积为S=2πr×2r=4π；(2)因为▵ABC是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，因此边长AB=AC=所以三棱柱ABC−A1B

16.(1)∵乙第一次考核通过的概率p1乙第二次考核通过的概率为p2∴乙通过考核的概率为p=p(2)∵甲考核1次，乙考核2次的概率p3甲考核2次，乙考核1次的概率p4∴甲乙两人的考核次数和为3的概率p′=p

17.(1)百米成绩在16,17内的频率为0.32×1=0.32，0.32×1000=320，所以估计该年龄段学生中百米成绩在16,17内的人数为320人.(2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x,8x,19x.依题意，得3x+8x+19x+0.32×1+0.08×1=1，所以x=0.02．设调查中随机抽取了n名学生的百米成绩，则8×0.02=8n，得n=50，所以调查中随机抽取了50名学生的百米成绩(3)百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50=3，记他们的成绩为a,b,c；百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4，记他们的成绩为m,n,p,q，则从第一、第五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有a,b,a,c,a,m,a,n,a,p,a,q,b,c,

18.(1)∵A+B+C=π，∴4S=−bctanB+C则2bcsinA=bc∵A∈(0,π),∴sinA≠0，又∵A∈0,π，∴A=(2)∵a=4，A=π∴由余弦定理得cosA=b即b2+c所以b+c2−16=3bc≤3×b+c24，(当且仅当b=c=4时取“故14b+c2≤16∴b+c的最大值为8，a+b+c的最大值为12，∴▵ABC周长的最大值为12．

19.(1)连接AC，交BD于点O，连接OE，如图所示．因为AB/​/CD，易得▵OAB∼▵OCD，所以OAOC又PE=2EA，EAPE=1又OE⊂平面EBD,PC⊄平面EBD，所以PC/​/平面EBD；(2)取CD中点M，连接AM交BD于点N，连接EN，则AB/​/CM，且AB=CM，所以四边形ABCM是平行四边形，N为BD中点，AN=12BC=2所以直线EN是直线AN在平面EBD内的射影，所以∠ANE是直线AM与平面EBD所成的角，即为直线BC与平面EBD所成角的平面角．如图所示，过点A作AG⊥BD，垂足为G，连接AG,GP，因为BC⊥C