总体集中趋势的估计-高一数学下学期人教A版2019必修第二册

9.2.3总体集中趋势的估计一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．第一步:按从小到大排列原始数据；第二步:计算i=n×p%；第三步:若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.直观来说，一组数的第p位百分位数指的是把这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p％位置的数．复习引入1.总体百分位数的估计2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.例1：利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数．9.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.622.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6探究一：利用样本原始数据估计总体的集中趋势解：由样本平均数的定义，可得即100户居民的月均用水量的平均数为8.79t.课本203页1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.62.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0将100个数据按从小到大的顺序排列如下：得第50个数和第51个数均为6.8.即100户居民的月均用水量的中位数为6.8t.由中位数的定义，可得思考1：假设某个居民小区有2000户,你能估计该小区月用水总量吗?8.79×2000=17580(t)因为数据是抽自全市居民的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为8.79t，中位数约为6.8t.通过简单计算可以发现,平均数由原来的8.79t变为9.483t,中位数没有变化，还是6.8t.这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变;但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值,并未利用其他数据,所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变.因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息,对样本中的极端值更加敏感.思考２：小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数，但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较.哪个量的值变化更大?你能解释其中的原因吗?(1)平均数、中位数中位数中位数(2)(3)平均数平均数思考３：平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系？（1）直方图的形状是对称的，平均数和中位数应该大体上差不多；（2）直方图在右边“拖尾”，平均数大于中位数；（3）直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数.和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边.例2：某学校要定制高一年级的校服,学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示.如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适?试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.解:为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据．校服规格155160165170175合计频数39641679026386例题课本205页可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.众数只利用了出现次数最多的那个值的信息.众数只能告诉我们它比其他值出现的次数多,但并未告诉我们它比别的数值多的程度.因此，众数只能传递数据中的信息的很少的一部分，对极端值也不敏感.对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数.由于全国各地的高一女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一女生的校服规格不合理.练习思考４：样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据．例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图．这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？你能以下面的频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？探究二：利用样本的直方图估计总体的集中趋势在频率分布直方图中,无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内均匀分布,这样就可以获得样本平均数、中位数和众数的近似估计,进而估计总体平均数、中位数和众数.月均用水量/t频率/组距0.021.24.27.210.213.216.219.222.225.228.200.040.060.080.10.120.0770.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.007平均数的近似值为:1.直方图中求平均数一般用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.这个结果与根据原始数据计算的样本平均数8.79相差不大.样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和.每一组的平均数为该组小矩形底边中点横坐标月均用水量/t频率/组距0.021.24.27.210.213.216.219.222.225.228.200.040.060.080.10.120.0770.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.007小长方形面积底边中点的横坐标月均用水量/t频率/组距0.021.24.27.210.213.216.219.222.225.228.200.040.060.080.10.120.0770.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.007于是中位数约为6.71.2.直方图中求中位数中位数左边和右边的直方图的面积相等.解得x≈6.71.这个结果与根据原始数据计算的样本平均数6.6相差不大.根据中位数的意义,有50%的个体小于或等于中位数,也有50%的个体大于或等于中位数.由于0.077×3=0.231，(0.077+0.107)×3=0.552.设中位数为x，则因此中位数落在区间[4.2,7.2)内.0.077×3+0.107×(x-4.2)=0.5，月均用水量/t频率/组距0.021.24.27.210.213.216.219.222.225.228.200.040.060.080.10.120.0770.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0073.直方图中求众数众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据在上面频率分布直方中,月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值.众数常用在描述分类型数据中，在这个实际问题中，众数“5.7”让我们知道月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民用户最多.这个信息具有实际意义.归纳总结用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数1.平均数：平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2.中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数.3.众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数.练习１.某班全体学生参加物理测试成绩的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是_____分.解析：平均成绩就是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标再求和，即0.005×20×30＋0.010×20×50＋0.020×20×70＋0.015×20×90＝68(分).答案：68思考5：假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你，“我们企业员工的年平均收入是20万元”，你该如何理解这句话?这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况.例如，可能这个企业的工资水平普遍较高，也就是员工年收人的中位数、众数与平均数差不多;也可能是绝大多数员工的年收入较低(如大多数是5万元左右),而少数员工的年收人很高，甚至达到100万元，在这种情况下年收入的平均数就比中位数大得多.尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些，但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数.所以，我们要强调“用数据说话”,但同时又要防止被数据误导，这就需要掌握更多的统计知识和方法.假设你是某市一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对某市26个公路项目投资的平均资金数额.已知国家对本市一条新公路的建设投资为2000万元人民币，对另外25个公路项目的投资是10~100万元，这26个投资金额的中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元.请你根据上面的信息给市长写一份简要的报告.解：因为一条公路建设投资2000万元，属极端情况，大多数在20万元至100万元之间，此时平均数难以正确客观反映各项目投资的实际分布状况，不宜选用，而众数20万元只说明投资20万元的项目最多，不能反映其他项目的投资数额．中位数对极端值不敏感，能回避极端数额的影响．25万元比较客观，故选中位数25万元作为平均投资金额．

练习课本208页随堂检测2.某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如表所示：用水量/t22384041445095天数1112212(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？每天用水量的中位数是多少？(2)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个来描述该公司每天的用水量？解：平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适.3.某校举行演讲比赛，10位评委对两位选手的评分如下：

甲7.57.57.87.88.08.08.28.38.49.9

乙

7.57.87.87.88.08.08.38.38.58.5选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分之后，剩下8个评分的平均数.那么，这两个选手的最后得分是多少？若直接用10位评委评分的平均数作为选手的得分，两位选手的排名有变化吗？你认为哪种评分办法更好？为什么？课本208页4.某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)分组的频率分布图如下：月平均用电量/度160180200220240260280300频率/组距0.01250.0110.0095x0.0050.00250.0020(1)求直方图中x的值；∵(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1∴x=0.0075，即直方图中x的值为0.0075.解:4.某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)分组的频率分布图如下：月平均用电量/度160180200220240260280300频率/组距0.01250.0110.0095x0.0050.00250.0020解:月平均用电量的众数是(220+240)÷2=230.(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125(a-220)=0.5，设月平均用电量的中位数为a，由题得解得a=224，即月平均用电量的中位数为224.月平均用电量的平均数为20(0.002×170+0.0095×190+…+0.0025×290)=226.02.(2)求这100户居民月平均用电量的众数、中位数、平均数；4.某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)分组的频率分布图如下：月平均用电量/度160180200