2024年高考数学微专题专练6含解析文

PAGEPAGE7专练6函数的奇偶性与周期性命题范围：函数的奇偶性、函数的周期性．[基础强化]一、选择题1．[2024·全国乙卷]设函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1D．f(x＋1)＋12．[2024·全国卷Ⅱ]设函数f(x)＝x3－eq\f(1,x3)，则f(x)()A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－8)＝()A．3 B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－34．[2024·安徽省蚌埠市高三下学期质检]已知定义域为R的偶函数f(x)满意f(1＋x)＝f(1－x)，f(eq\f(1,2))＝1，则f(－eq\f(3,2))＝()A．－eq\f(3,2) B．－1C．1 D．eq\f(3,2)5．定义在R上的偶函数f(x)满意f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝3x，则()A．f(－1)＝f(2) B．f(－1)＝f(4)C．f(－eq\f(3,2))>f(eq\f(5,3)) D．f(－eq\f(3,2))＝f(4)6．[2024·全国甲卷]设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x).若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝()A．－eq\f(5,3) B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(5,3)7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log23)，c＝f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是()A．c<b<aB．b<c<aC．b<a<cD．a<b<c8．[2024·东北三省高三联考]定义域为R的奇函数f(x)满意f(x)＝f(－x＋2)，则f(2024)＝()A．0B．－1C．1D．不确定9．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，则实数a的取值范围为()A．(－1，4)B．(－2，0)C．(－1，0)D．(－1，2)二、填空题10．[2024·四川省成都“二诊模拟”]函数f(x)是定义在R上的奇函数，当－1＜x＜0时，f(x)＝3x，则f(log32)＝________．11．[2024·陕西省西安中学高三模拟]已知函数f(x)＝(ex－eq\f(1,ex))ln(eq\r(x2＋a)－x)为R上的偶函数，则实数a＝________．12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，令F(x)＝(x－b)f(x－b)＋2017，若b是a，c的等差中项，则F(a)＋F(c)＝________．[实力提升]13．[2024·江西省临川高三模拟]已知定义在R上的函数y＝f(x)满意f(－x)＝－f(x)，函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2024)＋f(2024)＝()A.－1 B．1C．504 D．无法确定14．[2024·贵州省高三适应性测试]函数y＝f(x)(x∈R)的图像关于点(0，0)与点(1，0)对称．当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，则f(eq\f(3,2))＝()A．－eq\f(1,4)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(9,4)15．[2024·陕西省西安高三三模]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sinπx，且满意当x＞1时，f(x)＝2f(x－2)，若对随意x∈[－m，m]，f(x)≤2eq\r(3)成立，则m的最大值为()A．eq\f(23,6)B．eq\f(10,3)C．eq\f(25,6)D．eq\f(13,3)16．[2024·全国乙卷(文)，16]若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．专练6函数的奇偶性与周期性1．B通解选项A：因为函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)－1＝eq\f(1－（x－1）,1＋（x－1）)－1＝eq\f(2－x,x)－1＝eq\f(2,x)－2，当x＝1，－1时，函数f(x－1)－1的值分别为0，－4.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．选项B：因为函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＋1＝eq\f(1－（x－1）,1＋（x－1）)＋1＝eq\f(2－x,x)＋1＝eq\f(2,x).据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数为奇函数．选项C：因为函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x＋1)－1＝eq\f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)－1＝－eq\f(x,x＋2)－1＝－eq\f(2x＋2,x＋2)，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)－1的值分别为－eq\f(4,3)，0.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．选项D：因为函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x＋1)＋1＝eq\f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)＋1＝－eq\f(x,x＋2)＋1＝eq\f(2,x＋2)，当x＝1，－1时，函数f(x＋1)＋1的值分别为eq\f(2,3)，2.据此，结合函数奇偶性的定义可知该函数不具有奇偶性．综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数．优解因为函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(2－x－1,1＋x)＝－1＋eq\f(2,1＋x)，所以函数f(x)的图像关于点(－1，－1)对称．选项A：因为将函数f(x)的图像先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到函数f(x－1)－1的图像，所以可知函数f(x－1)－1的图像关于点(0，－2)对称，从而该函数不是奇函数．选项B：因为将函数f(x)的图像先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到函数f(x－1)＋1的图像，所以可知函数f(x－1)＋1的图像关于点(0，0)对称，从而该函数是奇函数．选项C：因为将函数f(x)的图像先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得到函数f(x＋1)－1的图像，所以可知函数f(x＋1)－1的图像关于点(－2，－2)对称，从而该函数不是奇函数．选项D：因为将函数f(x)的图像先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可得到函数f(x＋1)＋1的图像，所以可知函数f(x＋1)＋1的图像关于点(－2，0)对称，从而该函数不是奇函数．综上，所给函数中为奇函数的是选项B中的函数．2．A解法一由函数y＝x3和y＝－eq\f(1,x3)都是奇函数，知函数f(x)＝x3－eq\f(1,x3)是奇函数．由函数y＝x3和y＝－eq\f(1,x3)都在区间(0，＋∞)上单调递增，知函数f(x)＝x3－eq\f(1,x3)在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝x3－eq\f(1,x3)是奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．解法二函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，f(－x)＝(－x)3－eq\f(1,（－x）3)＝－x3＋eq\f(1,x3)＝－f(x)，故f(x)＝x3－eq\f(1,x3)是奇函数．∵f′(x)＝3x2＋eq\f(3,x4)>0，∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．3．D∵f(x)为奇函数，∴f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.4．C因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，又因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(2－x)＝f(x)，则f(2－x)＝f(－x)，即f(2＋x)＝f(x)，所以周期为T＝2，因为f(eq\f(1,2))＝1，f(－eq\f(3,2))＝f(2－eq\f(3,2))＝f(eq\f(1,2))＝1.5．C∵f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，又f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝31＝3，∴f(2)＝f(0)＝1，∴f(4)＝f(0)＝1，f(－eq\f(3,2))＝f(eq\f(1,2))＝eq\r(3)，f(eq\f(5,3))＝f(－eq\f(1,3))＝f(eq\f(1,3))＝eq\r(3,3)，∴f(－eq\f(3,2))>f(eq\f(5,3)).6．C因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x).又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，f(eq\f(5,3))＝f(eq\f(5,3)－2)＝f(－eq\f(1,3))＝eq\f(1,3).7．Cf(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，得函数在(0，＋∞)上是减函数，图像越靠近y轴，图像越靠上，即自变量的肯定值越小，函数值越大，由于0<0.20.6<1<log47<log49＝log23，可得b<a<c.8．A因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以由f(x)＝f(－x＋2)⇒f(－x)＝f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x)＝f(x＋4)，所以该函数的周期为4，所以f(2024)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝0.9．A∵f(x)是周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)＝eq\f(2a－3,a＋1)，又f(1)<1，∴eq\f(2a－3,a＋1)<1，得－1<a<4.10．答案：－eq\f(1,2)解析：因为log32∈(0，1)，所以－log32∈(－1，0)，由f(x)为奇函数得：f(log32)＝－f(－log32)＝－f(log3eq\f(1,2))＝－3log3eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).11．答案：1解析：由偶函数得f(－x)＝f(x)，即(eq\f(1,ex)－ex)ln(eq\r(x2＋a)＋x)＝(ex－eq\f(1,ex))ln(eq\r(x2＋a)－x)对x∈R恒成立，整理得(eq\f(1,ex)－ex)lna＝0，故lna＝0，a＝1.12．答案：4034解析：F(a)＋F(c)＝(a－b)f(a－b)＋2017＋(c－b)f(c－b)＋2017.∵b是a，c的等差中项，∴a－b＝－(c－b)，令g(x)＝xf(x)，则g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，∴g(x)＝xf(x)是奇函数．∴(a－b)f(a－b)＋(c－b)f(c－b)＝0，∴F(a)＋F(c)＝2017＋2017＝4034.13．A因为函数y＝f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)，所以函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝log2a＝0，解得a＝1，即f(x)＝log2(x＋1)，f(1)＝log22＝1；因为y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即y＝f(x)的图像关于x＝1对称，又y＝f(x)满意f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数y＝f(x)是周期函数，周期为4，则f(2024)＋f(2024)＝f(2)＋f(3)＝－f(0)－f(1)＝－1.14．A因为y＝f(x)图像关于点(0，0)与点(1，0)对称，所以f(－x)＋f(x)＝0，且f(2－x)＋f(x)＝0，所以f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，当x∈(－1，0]时，f(x)＝－x2，所以f(eq\f(3,2))＝f(－eq\f(1,2)＋2)＝f(－eq\f(1,2))＝－(－eq\f(1,2))2＝－eq\f(1,4).15．B由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝sinπx，当x∈[－1，0)时，f(x)＝－f(－x)＝－sin(－πx)＝sinπx，即f(x)＝sinπx，x∈[－1，1]，又由当x＞1时，f(x)＝2f(x－2)，可画出函数图像，如图所示．由图知，当3≤x≤5时，f(x)＝4f(x－4)＝4sin(πx－4π)＝4sinπx；则当－5≤x≤－3时，f(x)＝－f(－x)＝4sinπx；当－5≤x≤－3时，令4sinπx＝2eq\r(3)，解得x1＝－eq\f(10,3)，x2＝－eq\f(11,3)(舍去)，若对随意x∈[－m，m]，f(x)≤2eq\r(3)成立，所以m的最大值为eq\f(10,3).16．答案：－eq\f(1,2)ln2解析：本题先采纳特别值法求出f(x)，再检验正确性．因为f(x)为奇函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）＝0，,f（2）＋f（－2）