2023人教A版高中数学精讲4．1 指数

第四章指数函数与对数函数

1.求下列各式的值：

(1)址-8)3;(2)7(-10)2;⑶,(3—乃)4;(4).

a-b,a>b

【答案】(I)-8；(2)10；(3)万一3；(4)匕,.

b-a,a<b

【解析】

【分析】

利用根式的性质逐一对(1)(2)(3)(4)中各式化简即可.

【详解】(1)正8)3=-8；

(2)^(-10)2=|-10|=10；

(3)目(3-万)4=|3-句=1-3；

E।।{a-b,a>b

(4)叫=卜-4={

，[b-a,a<b

【点睛】本题考查利用根式的性质化简计算，考查计算能力，属于基础题.

2.求值：2*；1(63--)4

881

【答案】4；—

O

【解析】

【分析】根据指数的运算法则：求值，注意运算过程中应用8=23、

屿丫简化运算

81⑴

22,2

【详解】8§=(23)3=2、X5=22=4

OH产YT

【点睛】本题考查了指数运算；运用指数运算法则化简求值

3.用分数指数幕的形式表示下列各式(其中。>0)：

⑴〃.疗；(2)7^.

g2

【答案】（1）a3；（2）

【解析】

【分析】

将根式化为分式指数累，然后利用指数幕的运算律可将（1）（2）中的代数式表示为

。的分数指数幕的形式.

22+28

【详解】（1）4.标=23Q3=；

1

/4\22

\7

【点睛】本题考查根式与指数幕的互化，同时也涉及了指数幕的运算律的应用，考

查计算能力，属于基础题.

4.计算下列各式（式中字母均是正数）:

215\|_3

234

(1)2a3b2-6ab+—3a6b'•(2)mn8；（舶.

八7\77

加2

【答案】（1）4a；（2）殍；（3）^-a.

n

【解析】

【分析】

（1）利用指数幕的运算性质化简计算即可,但需注意底数相同的项对应指数相加减;

（2）利用指数幕的运算性质化简计算即可;

（3）将根式化为分数指数累，然后利用指数事的运算性质化简即可.

【详解】（1）

11A152111+15

2a3b2-6a2b3-3/必=[2乂(一6)+(-3)]〃^2-6b23-6=4ab0=4a；

J\7

23_3\8

(2)m4n8旭4=//=4

n

/\7

23\!1-L111

+*=凉5_*-c^-a-y[a-a

7

【点睛】本题考查指数幕的运算，解题时要注意将同类项进行合并，将根式化为分

数指数幕，考查计算能力，属于基础题.

5.用根式的形式表示下列各式(”>())：

1332

(1)混；(2)加；(3)小；(4)

Ll11

【答案】(1)6；(2)正；(3)审；(4)方.

【解析】

【分析】

利用分数指数哥的定义可将(1)(2)(3)(4)中的分数指数累化为根式的形式.

【详解】⑴

(2)

(3)

(4)

【点睛】本题考查将分数指数幕化为根式，熟悉分数指数幕的定义是解题的关键,

考查计算能力，属于基础题.

6.用分数指数幕的形式表示下列各式：

(1)V?(x>0)T2)鼻(m—(加>〃)；(3)(/?>0);(4)

;

【答案】⑴x3(%>0)⑵(〃2-〃¥("?>〃)；⑶p5(p>0)；(4)

【解析】

【分析】

利用分数指数幕的定义可将(1)(2)(3)(4)中的根式化为分数指数累的形式.

2

【详解】(1)当x>0时，底？=/；

(2)当初>〃时，m—n>0,则|加_几1=(加一〃尸;

((__656511

(3)当。>0时，.p?=p55=p2；

“3Y3」工

(4)当a>0时，-r=-=a2=a'

7a2

a2

【点睛】本题考查将根式化为分数指数累，熟悉分数指数幕的定义是解题的关键,

考查计算能力，属于基础题.

7.计算下列各式:

（1）I||j2;（2）26x3疝x痘；（3）（4）2--xi-lx^

【答案】（1）——；（2）18；（3）i；（4）1---.

343ax

【解析】

【分析】

（1）利用指数累的运算性质化简计算即可；

（2）将各数化为2和3的指数累，利用指数累的运算性质化简计算即可；

（3）利用指数幕的运算性质化简计算即可；

（4）利用指数幕的运算性质化简计算即可.

3

(36丫6丫卡16丫_216.

【详解】（1）

国1)一⑺-3431

⑵2^x3^/L5x^2=2x3Ix3xf|Yx(22x3)^

11111,111.11

——————I+——+—卜―c

=2x32x3x33x23x23x36=233x3236=2x32=18:

⑶8=RZ1=;

_2/1I2A2_1_2A

(4)2x'J—户—2元§J4X§5=1x.

【点睛】本题考查利用指数哥的运算性质化简计算，解题时要注意将根式化为分数

指数累，考查计算能力，属于基础题.

8.计算下列各式：

【答案】（1）64m3；（2）1.

【解析】

【分析】

（1）将根式化为分数指数累，利用指数累的运算性质化简计算即可；

（2）利用指数幕的运算性质化简计算即可.

【详解】（I）原式=2'石•加2=2瓜26./〃2八=26/篦3=64加3；

\/

⑵原式_/+寺。&。7.

-V<一（41

【点睛】本题考查利用指数累的运算性质化简计算，解题时要注意将根式化为分数

指数幕，考查计算能力，属于基础题.

9.利用计算工具，探究下列实数指数幕的变化规律：

（1）X取负实数，使得凶的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的2、（xe/?）

的值，观察变化趋势；

（2）X取正实数，使得X的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的

的值，观察变化趋势.

【答案】（1）X取负实数，使得国的值逐渐增大并趋向于无穷大时，2、趋向于0,

值见解析；

（2）x取正实数，使得x的值逐渐增大，当”的值趋向于无穷大时，的值趋

向于0,值见解析.

【解析】

【分析】

（1）分别取x的值一1、一2、一3、T、—5、-6、—7、—10、-12、-15、L,利

用计算器计算出对应的2、的值，列出表格，即可得出规律；

（2）分别取x的值1、2、3、4、5、6、7、10、12、15、L,利用计算器计

算出对应的（g）的值，列出表格，即可得出规律.

【详解】（1）

X-1-2-3-4-5—6-7-10-12-15…

0.0.20.10.060.0310.0150.00780.0000.0000.0000

2X…

5525252562512598244305

由此可以看出，X取负实数，使得国的值逐渐增大并趋向于无穷大时，2,趋向于

0；

(2)

Xi234567101215

fiY0.0.0.10.060.0310.0150.00780.0000.0000.0000

52525252562512598244305

由此可以看出，刀取正实数，使得x的值逐渐增大，当工的值趋向于无穷大时，

丁丫的值趋向于0・

【点睛】本题考查指数幕的值的变化规律，计算时可充分利用表格的形式将数据呈

现出来，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

10.求下列各式的值：

⑴VlOO7；(2)#(-0.1)5；(3)&兀—4)2；(4)弧―y)6.

【答案】(1)100；(2)-0.1；(3)4—7；(4)\x-y\.

【解析】

【分析】

(1)根据偶次根式运算法则可得；

(2)根据奇数次根式化简运算可得；

(3)根据偶次根式化简法则，考虑乃-4<0即可得解；

(4)根据偶次根式化简法则，考虑％-V符号不确定，加绝对值即可得解.

【详解】(1)痈6T=ioo；

(2)s/(-0.1)5=-0.1；

（4）0（x-y）6=|x-y|.

【点睛】此题考查根式的计算化简，关键在于准确判定代数式的符号.

一、选择题

11.设。>0,则下列运算中正确的是（）.

4323221

44

A，a3a4=。B.=/C.。3a3=。D-（a）=a

【答案】D

【解析】

【分析】利用幕的运算性质一一计算即可.

【详解】根据基的运算性质可得：

434325

京京心故A错误；

2212

a-a^-/'-京w京，故B错误；

Cl•Cl——Cl—Ct-f-Cl

2222

凉门=序不=a°=l工（T故C错误；

（凉）4=加"4=“，故D正确.

故选：D.

12.设a>0,m,〃是正整数，且〃>1,则下列各式』=仃；a°=l；

*1

a"=-j=；正确的个数是（）

Nd”

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数幕的运算性质即可得出.

【详解】解：：。〉。，m,“是正整数，且〃>1,

a"=Va™,正确，

显然a°=l,正确，

--11上］

而4"=七=”，.\。“=-7=正确，

故选：A.

二、填空题

13.在（—?'，24，（：'，2T中最大的数是：

【答案】出‘

【解析】

【分析】可看出（-^尸<0,且（；片=2；,然后根据指数函数y=2*的单调性即可得

出最大的数.

【详解】解：（一3尸<0，（；尸>23>21>2-|>0,

，最大的数是

故答案为：（g）.

14.按从小到大的顺序，可将2巴3夜，万巴2"重新排列为（可用计算工

具）.

【答案】2"<3垃<2"<一

【解析】

【分析】

利用计算器算出每个指数幕的值，即可进行比较.

【详解】利用计算器

2曲=3.32,3夜=4.73,不行=12.93,2"=8.82，

所以2/<3&<2,〈乃百.

故答案为：26<3&<2"<乃后

【点睛】此题考查指数累的大小比较，利用计算器计算求解，也可根据函数单调性

处理.

15.用分数指数幕表示下列各式（式中字母均为正数）：

y/myfmyfm

(3)--------r

【答案】（1）1；（2）%;（3）1.

【解析】

【分析】

（1）将根式化为分数指数幕形式再进行计算；

（2）将根式化为分数指数基形式再进行计算；

（3）分别将分子分母的根式化简为分数指数累的形式,进行计算求解.

31

b2a2

【详解】（1）原式=3农

-T*-T

层加

1711151

171

(3)原店式T=------'mj——=An2+3+4~66-4=m0=i1.

6

m•m4

【点睛】此题考查根式与分数指数累的化简计算，熟练掌握运算法则，准确化简求

值.

16.计算下列各式（式中字母均为正数）：

137235（1NY?2」『2」

（1）'（2）凉凉十/；（3）4;（4）4a^b3---a3b3

k）VJ/

【答案】（1）。|；（2）涡；（3）/y-9；（心力小

【解析】

【分析】

（1）同底指数幕相乘，底数不变，指数相加；

235

（2）根据指数幕运算法则得化简即可；

（3）根据指数幕运算法则求值；

（4）根据指数幕的运算法则求值即可.

1375

【详解】（1）原式—L<一万-用U；

2357

（2）原式——_H六二—Ct15；

（3）原式=%"2.,312=尤4厂9；

（4）原式=（一6）/»/=-6心

【点睛】此题考查指数基的运算法则，同底指数幕的乘法和除法运算，关键在于熟

练掌握运算法则准确求解.

17.如果在某种细菌培养过程中，细菌每10加，力分裂1次（1个分裂成2个），那

么经过\h,1个这种细菌可以分裂成个.

【答案】64

【解析】

【分析】

一个小时分裂6次，根据分裂规则，即可求解.

【详解】由题：细菌每10，血〃分裂1次（1个分裂成2个），

经过1/7可分裂6次，可分裂成26=64（个）.

故答案为：64

【点睛】此题考查利用指数幕的知识解决实际应用问题，关键在于合理地将实际问

题转化为纯数学问题.

、_,,3m—2n,...

18.（1）已知10"=2,10"=3,求］的值；

3x

（2）己知/，=3,求-户+二a~的值.

ax+ax

【答案】（1）—；（2）工

33

【解析】

【分析】

（1）根据指数幕运算法则将原式转化为I。芋十］.，，即可求值；

（2）利用立方和公式化简因式分解再求值.

3

【详解】⑴原式=105+io"=(10府尸-3=22-3=—；

3

，…ma(a*+a-xa2x-a'a~x+a~2x

(2)原式=1-----

ax+a~x

=a2x-l+a2x

…17

=3-1-1--=—.

33

【点睛】此题考查根据指数幕的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式

分解.

19.已知求下列各式的值：⑴a+a'；(2)a2+a-2.

【答案】(1)7；(2)47.

【解析】

【分析】

(1)对等式劣两边同时平方即可得解；

(2)根据(1)对a+qT=7两边同时平方即可得解.

【详解】(I)〃二〃T两边平方得。+2+〃=9.，。+〃=7.

(2)由(1)知a+qT=7,两边平方得。2+2+〃-2=49,;.〃+a<=47.

【点睛】此题考查与指数基运算相关的化简求值，关键在于找准关系，准确化简代

换求值.

20.从盛有必纯酒精的容器中倒出然后用水填满；再倒出;L,又用水填

湖....

(1)连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？

(2)连续进行〃次，容器中的纯酒精还剩下多少？

【答案】(1)之⑷；(2)f-Tl.

243⑴

【解析】

【分析】

(1)每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的2;，根据比