多边形的内角和

11.3.1多边形+11.3.2多边形的内角和

一、单选题

1.六边形的内角和为（）

A.360°B.540°C.720°D.180°

2.若一个正多边形的一个外角是45。，则这个正多边形的边数是（）

A.6B.8C.10D.12

3.某校初一数学兴趣小组对教材《多边形的内角和与外角和》的内容进行热烈的讨论，甲说："多边形的边

数每增加1,则内角和增力口180°"；乙说："多边形的边数每增加1,则外角和增加180。"；丙说："多边形的

内角和不小于其外角和"；丁说："只要是多边形，外角和都是360。”.你认为正确的是（）

A.甲和丁B.乙和丙C.丙和丁D.以上都不对

4.若一个多边形从同一个顶点出发可以作5条对角线，则这个多边形的边数为（）

A.6B.7C.8D.9

5.下列图形为正多边形的是（）

6.下列结论正确的是（）

A.在平面内，有四条线段组成的图形叫做四边形

B.由不在同一直线上的四条线段组成的图形叫做四边形

C.在平面内，由不在同一直线上的四条线段组成的图形叫做四边形

D.在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形

7.如图所示，小明从工点出发，沿直线前进8米后左转40。，再沿直线前进8米，又左转40。，照这样走

下去，他第一次回到出发点工时，一共走了（）米.

A.70B.72C.74D.76

8.下列说法中，正确的个数是（）

①三角形是边数最少的多边形；

②由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；

③n边形有n条边、n个顶点、2n个内角.

A.0B.1C.2D.3

9.下列图形中，不能镶嵌成平面图案的（）

A.正三角形B.正四边形C.正五边形D.正六边形

10.如图，正三角形ABC（图1）和正五边形DEFGH（图2）的边长相同.点O为AABC两内角平分线的

交点，用5个相同的△BOC拼入正五边形DEFGH中，得到图3,则图3中的五角星的五个锐角均为（）

A.36°B.42°C.45°D.48°

二、填空题

11.一个正多边形的每一个外角都等于36。，则这个多边形的边数是.

12.一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，则这个多边形的边数是.

13.如果机器人在平地上按如图所示的程序框图规定的路线行走，那么机器人结束程序后行走的路程是

pF«n

14.如果一个多边形的边数由8变成9,其内角和增加了.

15.在AA8c中，ZC=55°,按图中虚线将/C剪去后，/1+N2等于—°.

3

16.如图，已知^ABC为直角三角形，NC=90。，若沿图中虚线剪去/C,则N1+/2等于度.

17.有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则/1=

18.如图，在四边形ABCD中，乙4=100°,/©=70。.将4^力7沿乂/\/翻折得到6网@,若

MFIIAD,FNHDC,则NB=

19.一副三角尺如图摆放，D是BC延长线上一点，后是工C上一点，NB=NEDF=90°,N月=30。，

20.八边形的内角和是,若一个凸多边形的内角和是4320。，那么这个多边形的边数是

21.如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点0.若与Nl、N2、N3、N4相邻的四个外角的

和等于230。，则/BOD的度数为度.

22.如图，五边形ABCDE的外角中，Z1=Z2=Z3=Z4=75°,则NA的度数是

三、解答题

23.一个多边形，除了一个内角之外，其余内角之和为2680。，求这个内角的大小.

24.已知n边形的内角和6=5-2)x180°.

(1)甲同学说，。能取720。；而乙同学说，9也能取820°,甲、乙的说法对吗？若对，求出边数"，若

不对，说明理由;

(2)若n边形变为5+x)边形，发现内角和增加了360。，用列方程的方法确定X.

25.如图所示，六边形/5CD班中，4=NB=NC=ZD=N£=N斤，且＜5+BC=ll,

FA—CD=3,求EC+D&的值.

A.

B•£

【参考答案】

1.C

【分析】

根据多边形内角和=("-2)X180。计算即可.

【详解】

解：根据多边形的内角和可得：

六边形的内角和为(6-2)xl80°=720°.

故选C.

【点睛】

本题考查了多边形内角和的计算，熟记多边形内角和公式是解答本题的关键.

2.B

【分析】

根据多边形的外角和定理作答.

【详解】

•多边形外角和=360。，

...这个正多边形的边数是360。945。=8.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都为360°.

3.A

【分析】

根据多边形的内角和与外角和逐个判断即可.

【详解】

多边形的内角和公式为180。伽-2),口为多边形的边数

当n增加1,则内角和增加180。，甲说法正确

任意多边形的外角和都等于360。，则乙说法错误，丁说法正确

当%=3时，多边形的内角和为180。，外角和为360。，则丙说法错误

综上，说法正确的是甲和丁

故选：A.

【点睛】

本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记多边形的内角和与外角和是解题关键.

4.C

【分析】

可根据n边形从一个顶点引出的对角线有n-3条，即可求解.

【详解】

解：设这个多边形的边数为n,

则n-3=5,

解得n=8,

故这个多边形的边数为8,

故选：C.

【点睛】

本题考查多边形的对角线.理解多边形的边数与经过多边形一个顶点对角线的条数之间的关系是解决此题的

关键.

5.D

【分析】

根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案.

【详解】

根据正多边形的定义，得到。中图形是正五边形.

故选D.

【点睛】

本题考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义.

6.D

【解析】

根据四边形的定义，由不在同一直线上四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形叫做四边形，与每个

选项一一比较，可知选项D是符合四边形的定义，

故选：D.

7.B

【分析】

根据"任何一个多边形的外角和都是360。”先求出行走的路线是什么图形，再根据多边形的性质求解即可.

【详解】

设行走路线是正n边形，依据题意得：n=-=9,所以行走的是正九边形，又因为每边长为8,所以一

40°

共走了8x9=72米，故本题选B.

【点睛】

本题主要考查了多边形的外角和定理.任何一个多边形的外角和都是360°.

8.B

【解析】

【分析】

根据多边形的概念及相关性质来逐步判断即可.

【详解】

解：在同一平面内，由n条边首尾顺次相接组成的封闭图形叫n边形，它有n条边，n个内角.故①正确，

②③错误.

故选B.

【点睛】

本题考查了多边形的概念，正确理解概念是解题的关键.

9.C

【解析】

【分析】

几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角.

【详解】

解：A、正三角形的每一个内角等于60。，6*60。=360。，即能密铺，不合题意；

B、正四边形的每一个内角等于90。，4x9(r=360。，即能密铺，不合题意；

C、正五边形每个内角是180。-360。+5=108。，不能整除360。，不能密铺，符合题意；

D、正六边形每个内角是120。，能整除360。，故能密铺，不合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360。.任意多边形能进行镶嵌,说明它

的内角和应能整除360。.

10.D

【解析】

【分析】

根据图1先求出正三角形ABC内ABOC两锐角的度数是30°,则两锐角的和等于60°,正五边形的内角和

是540。，求出每一个内角的度数，然后解答即可.

【详解】

•.•点O为AABC两内角平分线的交点，

ZOBC=ZOCB=30°,

••,正五边形的每一个内角=(5-2)•180°-5=108°,

.•.图3中的五角星的五个锐角均为；108。-60。=48。.

故选：D.

【点睛】

本题考查多边形内角与外角，等边三角形的性质.

11.10

【分析】

多边形的外角和是固定的360。，依此可以求出多边形的边数.

【详解】

解：•••一个正多边形的每个外角都等于36。，

这个多边形的边数为360。+36。=10.

故答案为：10

【点

本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是

常见的题目，需要熟练掌握.

12.十

【分析】

设这个多边形有抬条边，则其内角和为(%-2)・180。，外角和为360。,再根据题意列方程可得答案.

【详解】

解：设这个多边形有力条边，则其内角和为5-2卜180。，外角和为360。，

：.(«-2).180°=4x360°

«-2=8,

..w=10,

故答案为：十.

【点睛】

本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握利用多边形的内角和与外角和定理列一元一次方程解决问题

是解题的关键.

13.30米

【分析】

利用多边形的外角和等于360。，可知机器人回到A点时，恰好沿着360。+24。=15边形的边走了一圈，即可求

得路程.

【详解】

解：2x(360。+24。)=30(米).

故答案为：30米

【点评】

本题主要考查了多边形的外角和定理.任何一个多边形的外角和都是360。，用外角和求正多边形的边数直

接让360度除以一个外角即可.

14.180°

【分析】

根据多边形的内角和公式5-2)x180。，分别求出边数为8和9的时候的内角和，即可知道增加的度数.

【详解】

解：边形的内角和为5—2)x180。

.,•边数为8时,它的内角和为6xl80°=1080",边数为9时,它的内角和为7、180。=1260。

.•.增加的度数为:1260Q-1080°=180°

故答案为：180。.

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和，熟悉内角和公式是解决本题的关键.

15.235

【分析】

先根据三角形内角和可以计算出NA+/B的度数，再根据四边形内角和为360。可算出N1+/2的结果.

【详解】

解：：△ABC中，ZC=55°,

ZA+ZB=1800-ZC=125°,

ZA+ZB+Z1+Z2=36O°,

，Zl+Z2=360,<-125o=235",

故答案为：235.

【点睛】

此题主要考查了三角形内角和以及多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：(n-2)xl80。.

16.270

【分析】

本题利用四边形内角和为360。和直角三角形的性质求解.

【详解】

解：•••四边形的内角和为360。，直角三角形中两个锐角和为90。，

Z1+Z2=360°-(Z^+Z5)=360°-90°=270°.

故答案是:270°

【点睛】

本题是一道根据四边形内角和为360。和直角三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合运用所学知

识的能力.

17.18°

【详解】

根据多边形的内角和公式可求得正五边形的内角NBAE=108。，所以/1=/加『/845=108。-90。=18。.

18.95°

【分析】

根据两直线平行，同位角相等求出NBMF、ZBNF,再根据翻折的性质求出NBMN和NBNM,然后利用三角

形的内角和定理列式计算即可得解.

【详解】

解：•.•MF〃力Z),FNUDC，

:./3价=々=100。，Z52VF=ZC=70°.

•.•ABMN沿MN翻折得到，

Z5W=-Z5A^=-xl00o=50°,£BNM=-ABNF=-x70°=35°.

2222

在△加冲中，

Z5=180°-(Z5jW7V+Z5W)=180o-(50°+35°)=180°-85°=95。.

故答案为：95°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，用到的知识点是两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的

内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键.

19.15

【分析】

根据三角形内角和定理得出/ACB=60。，NDEF=45。，再根据两直线平行内错角相等得到NCEF=NACB=60。，

根据角的和差求解即可.

【详解】

解：在△ABC中，

VZ5=90°.ZX=30°,

ZACB=6O".

在ZXDEF中，

VZEDF=90°,NF=45°，

二ZDEF=45".

又•.•斯〃BC，

ZCEF=ZACB=60",

ZCED=ZCEF-ZDEF=600-45o=15°.

故答案为：15.

【点睛】

本题考查三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

20.10800；26；

【分析】

根据多边形的内角和公式（n-2）・180。进行计算即可得解；根据多边形的内角和公式易求解.

【详解】

（8-2）•180°=6xl800=1080°.

根据多边形的内角和公式（n-2）・180。=4320。，解得n=26.

故答案为：1080°；26；

【点睛】

此题考查多边形内角和公式，多边形的内角和，解题关键在于掌握运算公式.

21.50

【分析】

由外角和内角的关系可求得/I、N2、N3、N4的和，由五边形内角和可求得五边形。AGFE的内角和，则

可求得NBOD.

【详解】

解：♦.•/：!、N2、N3、N4的外角的角度和为230。，

Zl+Z2+Z3+Z4+230o=4xl80o,

,Zl+Z2+Z3+Z4=490°,

•.•五边形OAGFE内角和=（5-2）xl80°=540°,

Z1+Z2+Z3+Z4+ZBOD=540'>,

，/BOD=540°-490°=50°,

故答案为：50

【点睛】

本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，n边形的内角和为：（=-2）x180。，n边形的外角

和为：360。.利用内角和外角的关系求得/I、22、/3、/4的和是解题的关键.

22.120°.

【分析】

根据多边形的外角和求出与/A相邻的外角的度数，然后根据邻补角的和等于180。列式求解即可.

【详解】

,.,Z1=Z2=Z3=Z4=75°,

...与NA相邻的外角=360°-75°x4=360°-300°=60°,

ZA=180°-60°=120°.

故答案为120。.

【点睛】

本题主要考查了多边形外角和定理，熟练掌握相关概念是解题关键.

23.20。.

【分析】

n边形的内角和是（n-2）・180。，因而内角和一定是180度的倍数.而多边形的内角一定大于0,并且小于

180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要大，大的值小于1.则用内

角的和除以180所得值，加匕2,比这个数大的最小的整数就是多边形的边数.

【详解】

设多边形的边数为X,由题意有

（X-2）•180=2680,

O

解得x=16—,

9

因而多边形的边数是17,

贝IJ这一内角为（17-2）xl80--2680°=20°.

【点睛】

考查了多边形内角与外角，正确理解多边形的内角和是180度的整数倍，以及多边形的角的范围，是解题

的关键.

24.（1）甲对，n=6；乙不对，理由见解析；（2）X=2.

【分析】

（D根据多