2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：第9章向量的数量积

第2课时向量的数量积⑵

除学情诊断•课时测评④

基础全面练

一、单选题

1.若向量a与b的夹角为120。,且|a|二1,|b|=2,c=a+b，则有()

A.c±aB.c±bC.ellbD.clla

选A.因为ca=(a+b)a=a2+ab=|a|2+|a||b|-cos120°=I2+lx2x

cos120°=0,所以c±a.

2.已知在ABC中，AB=AC=4,Afe=8,则一BC的形状是

三角形()

A.直角B.等腰直角

C.等边D.钝角

选C.AfeAt=|A^||At|cosZBAC,即8=4x4cosZBAC,于是

cosZBAC=1.又因为0o<NBAC<180。,所以NBAC=60。.又AB=

AC,故AABC是等边三角形.

3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|二小，且a与b的夹角为5,则(a

+b)-(2a-b)=()

A-2B.-|C.-；D.|

选A.(a+b)(2a-b)=2a2-b2+ab=2-3+lx小x*=；.

4.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a.b=1,则向量a与a-b的

夹角为()

7i7i57r2兀

A.TB・7C.D.w

6363

选A.|a-以=^(a-b)2=-^a2+b2-2a-b=^3,

设向量a与a-b的夹角为0,

a-(a-b)22-1、后

贝!Jcos。==~—后=9,

|a||a-b|2X、32

jr

又因为0G[O,7T],所以。.

5.已知正三角形ABC的边长为1,设Afi=c,=a,CA=b,

那么ab+be+ca的值是()

31-31

A.2B.2C.-2D.-2

选C.因为a+b+c=0,所以(a+b+c)2=0,

即|aF+|b|2+|c|2+2(ab+be+c-a)=0,所以3+2(ab+be+c-a)=0,

所以a・b+b-c+ca=-.

二、填空题

6.已知向量a,b,|a|=1,|b|=1,向量a与b的夹角为60°,那么

(2a+b)-(a-b)=；a在b方向上投影的数量为.

因为|a|二1,|b|=1,向量a与b的夹角为60。，所以a.b=|a||b|cos<a,

1

\

7=-2

所以(2a+b)(a-b)=2a2-ab-b2=2-2-1=2a在b方向上投影

的数量为|a|cos60。=；.

n-11

答案：27

7.已知a是单位向量，且3a-b=|b|,a,b夹角为0,则

sin0=.

因为a是单位向量,且3a-b=|b|,

则3|a||b|cos。=|b|,得cos。=g,

8

得-

=

又sin20+cos20=1SI9

又0<0<71，得sin0=12.

七一2A/2

口木,3

8.已知平面向量a,p,|a|=1,IPI=2,a±(a-2p),则

|2a+0|的值是_______.

|a|=1,|臼=2,由a_L(a-20)知,a(a-2p)=0,2ap=1,所以12a

2

+Bp=4a2+4a.p+p=4+2+4=10.J^|2a+p|=J10.

答案：质

9.设单位向量ei,e2的夹角是,，且a=-(2ei+ei),b=4ei-5e2.

则|a|=；a与b的夹角为.

因为ei,ez为单位向量,所以|ei|=|e2|=1,

因为邸=1-(2ei+e2)F=4e；+4ei-e2+e|,

TT

即|aF二4|eiF+4|ei||e21cos§+6产,

^rl^|a|2=4xl2+4xl2xcos+F=7,解得|a|二S；

因为ab=-(2ei+ez)(4ei-5ez)=-8ej+6e「e2+

5e；=-8xl2+6xl2xcosg+5xl2=-8+3+5=0,所以a±b,BPa

与b的夹角为3.

答案：si

三、解答题

10.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.

⑴若a,b的夹角为120°,求13a-4b|；

(2)若|a+b|=2，5，求a与b的夹角0.

(l)a-b=|a||b|cos120°=4x2x1=-4.

又13a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24ab+16b2

=9x42-24x(-4)+16x22=304,

所以3a-4b|=45.

(2)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=42+2ab+22=(2小)2，所以

ab=-4,

所以==4^1=-2-

2兀

又。£[0,兀],所以0=y.

11•已知a,b是非零向量，t为实数，设口=2+h

(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；

(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？

(l)|u|2=|a+tb|2=(a+tb)-(a+tb)

=|b|2t2+2(a-b)t+|a|2

=啾+耨2+|a|2._^±2_

因为b是非零向量，所以|b|#0,

所以当t=-需时，|u|=|a+tb|的值最小.

⑵垂直.因为b(a+tb)=ab+t|b|2

=a-b+(-^伪百=ab-ab=0,

所以b±(a+tb),即b±u.

综合突破练

一、选择题

1.在^ABC中,若息Bt+息2=0,则沅在HA上的投影向量

为()

A.BAB.IAfiC.AtD.；CA

选A.因为0=碎Bt2=A6(Bt+A6)=A6At,所以

◎_L碇，又Bt与BA的夹角为锐角，所以Bt在BA上的投影

向量为BA.

2.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a

b的夹角是()

兀兀27T57r

A.7B.7C.D.~r

6336

选C.如图，在四边形ABCD中，

因为|a+b|=|a-b|,所以四边形ABCD为矩形.

71

在RMABD中，|a-b|=2|a|,所以NABD=%.

所以a+b和a-b的夹角为27号r.

3.如图，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的点，M,N是AB上

的两个三等分点，且AB=6,则陶•西二()

A.3B.4C.6D.8

选DE西=(P0+g)(P0+01<I)=P02_g2=&

2兀

4.已知非零向量a与b的夹角为了,且|b|=1,|a+2bl=2,则|a|

=()

A.1B.2C.3D.23

选B.方法一：因为|a+2bl=2,

2jr

所以a『+4a・b+4|b|2=4,又a与b的夹角为了,|b|=1,所以|a『-

2|a|+4=4,

所以a『-2|a|=0,又a#0,所以|a|=2.

方法二:如图1,设a=(m,0)(m>0),

2IT

因为a与b的夹角为了,|b|=1,

所以b二［-；,挈,所以a+2b=(m-1,小).

因为|a+2b|=2,所以(m-I)2+3=4.

因为m>0,所以m=2,|a|=2.

方法三：在如图2所示的平行四边形中，因为|b|=1,

2兀

所以2bl=2,又a与b的夹角为了,|a+2b|=2,

所以此平行四边形是菱形，所以|a|=2.

5.（多选）已知两个单位向量a,b的夹角为60°,则下列向量是单位

向量的是（）

巧\

A.^la+b）B.a-2b

C.a+gbD.a-b

选AD.因为a,b是单位向量，目夹角为60°,所以ab=|,|a|=|b|

=1；

所以^(a+b)2=1(a2+2ab+b2)=；x3=1,

倒13

22b+-2-

a=aa4=4

ja+gbj2=a2+a-b+|b2=^,

(a-b)2=a2-2ab+b2=1,

所以牛(a+b)和a-b是单位向量.

二、填空题

6.已知等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD和

AC的夹角为,Ct）和At的夹角为.

等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD±AB,CD和

AC的夹角为45°,Ct）和At的夹角为135°.

答案：45°135°

7.（2019•全国EI卷改编）已知a,b为单位向量，且a・b=0,若c=2a

-Vsb,a与c的夹角为。，贝（Jcos。.

因为c2=（2a-小b）2=4a2+5b2-4小ab=9,

所以|c|=3,因为ac=a-（2a-/b）=2a2-y[5ab=2,所以cos0=

a・c2_2

|a|-|c|=TX3=3,

答案：]2

8.已知非零向量a,b满足aJ_b，且a+2b与a-2b的夹角为120°,

因为a±b,所以ab=0,

(a+2b)-(a-2b)=a2-4b2,

|a+2b|=^Ja2+4a-b+4b2=^a2+4b2,

|a-2b|=yja2-4a-b+4b2=^a2+4b2,

所以a?-4b2=^a2+4b2-^a2+4b2-cos120°,

化简得ma2-2b2=0,所以3=¥.

套口案•3

9.若|a|=1,|b|=2,c=a+bHc±a，则向量a与b的夹角为,

(a-b)c=.

由c±a得，a,c=0,

所以ac=a(a+b)=0,BPa2+ab=0.

?

a.h-a-1

设向量a与b的夹角为。，则cos。=商币=f而=-o，所以向量

a与b的夹角9=120°.

(a-b)c=(a-b)(a+b)=a2-b2=1-4=-3.

答案：120。-3

三、解答题

10.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=8,AD=5,CP=3Pt),

冗、

⑴若NBAD=g,求At)|的值；

(2)若邓=2,求A6At)的值.

DP

AB

⑴在平行四边形ABCD中，AB=8,AD=5,6=3PD，当NBAD

jr1I

二1时，A?=At)+DP=At)+4Afe，所以邓2=也2+5

At)-Afe+

上A62=52+；x5x8xcos1+专x82=39,所以|A?|=^/39；

1

-

+=+◎

Dt>At)4

3

=+=-磋

BeAt)一4

所以邓

13।3

=At)2-彳期At)-77Afe2=25-彳期At)-77x64=2,

2lo216

解得期At)=22.

11.a,b是两个不共线的非零向量，t£R.若|a|=|b|且a与b夹角为

60°,那么t为何值时，|a-tb|的值最小？

|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos60°=(1+1?-t)|a『.所以当t

=；时，|a-tb|有最小值.

教师

专用【加固训练】

已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a,b的夹角为60°,若向量a

+入b与入a+b的夹角为锐角,求实数X的取值范围.

由题意得ab=|a||b|cos60°=2x3xg=3,

又(a+A,b)-(Xa+b)=Xa2+(X2+l)ab+Xb2,而向量a+入b与入a+b的

夹角为锐角，

所以Xa2+(X2+l)ab+Xb2>0,又|a『=4,|b|2=9,ab=3,所以3X2

J133-13-13-J133

+13X+3>0,解得入>---—或入<----------

但是当入=1时，向量a+入b与Xa+b共线,

其夹角不是锐角，故X的取值范围是

-7133-13、

u(i,+8).

“，6'，I6J

》素养培优练④

（60分钟100分）

一、选择题（每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对

但不全的得2分，有选错的得0分）

1.（2021•莆田高一检测）在五边形ABCDE中（如图），期+Bt-优

=()

A.AtB.At)C.Bt)D.

选B.A^+-Dt=A6+Bt+Ct）=At）.

2.对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论不正确的为（）

A.AS=Bt

B.|A6|=|Bt|

C.|Afi-Ct)|=|At)+|

D.|At)+Ct)|=|Ct)-Cfe|

选A.菱形中向量期与的方向是不同的，但它们的模是相等的，

所以B结论正确不符合题意A结论错误符合题意因为|期-Ct)|

二|加比|=2网,|At)+BC|=2|Bt|，且阿=|Bt|,

所以I碰-Ct)|二|3+血|,即C结论正确，不符合题意；因为

|At)+Ct)|=|Bt+Ct)|=|Bt)|,|ct)-Cfe|=|Ct)+BC|=|Bt)

I,

所以D结论正确，不符合题意.

3.设a°为单位向量,①若a为平面内的某个向量，则a=|a|a0；②

若a与ao平行，则a=|a|a()；③若a与a()平行且|a|=1,则a=a(),

上述命题中，假命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a()的模相同，但方向不一

定相同，故①是假命题，若a与a°平行，则a与a。的方向相同或相

反，反向时a=-|a|ao,故②③也是假命题，综上所述，假命题的个

数是3.

4.给出下列命题：①若Ot)+O£=0^1，则O而-Ofi=Ot)；

②若Ot)+Ot=OlCl,则OlCl+Dt)=Ot;③若Ot)+Ofi=

g,贝(JOt)-EO=0^1;④若Ot)+Ofi=0^1,则DO+EO

=Mt).

其中所有正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

选D.以OD,OE为邻边构造口ODME，结合图形进行判断.①②③④

都正确.

5.若|a|=1,|b|=2,则|a出的值不可能是()

A.0B.1C.2D.3

选D.由向量数量积的性质知|a-b|W|a||b|=2.

6.设单位向量ei,e2的夹角为母,a=ei+2e2,b=2ei-3e2,则富

的值为()

A.-岁B.-^3C.小D.茅

、,.、2兀

选A.因为单位向量ei,e2的夹角为了,a=ei+2e2,b=2ei-3e2,

27c|/

得e;e2=Ixlxcos了=~2'=V(ei+2e2)2=

e；+4嫉+4e/e2=小,a-b=(ei+2e2)-(2e)-3e2)=2e?-6ef+

9

9产・b-23A/3

eg=-2，因此南二市二-2・

7.(多选)下列各式结果为零向量的有()

A.+Bt+AtB.Afe+At+Bt)+Ct)

C.OA-Ot)+At)D.N^+QP+MN-m

选CD.对于选项A,Aft+Bt+At=At+At=

2At，所以该选项不正确；

对于选项B,+At+Bt)+Ct)=(Afi+Bt))+(At+Ct))

=At)+At)=2At),所以该选项不正确；

对于选项C,OA-Ot)+At)=DA+At)=0,所以该选项正确；

对于选项D,N0+®+MN-Mt)=Nt>+术=0,所以该选项

正确.

8.(多选)已知向量OA与3的夹角为。，|OA1=2,106|=1,0^

=tOA,0=(1-t)(16,t£R,时|在t=to时取得最小值，当

O<to<|时，夹角。的取值可能是()

7T7177157r

A-6B-2c.五Dy

选CD.因为向量OA与3的夹角为。，|0A1=2,|061=1,所以

OAOfe=2cos0,PO=m=(1-t)Ofe-tOA，得|0|2

=PQ2=(1-t)2O62-2t(l-t)OA06+120A2=(5+4cos9)t2-(2

_1+2cos0

+4cos0)t+1,由二次函数知，当上式取最小值时，to=",

5+4cos0

1+2cos0i

由0<-------------<7,

5+4cos03

解得-1<cos9<0,因为0<9<7t,

所以>0〈与，所以C,D符合.

9.(多选)已知等腰直角三角形ABC中，C=90。，面积为1,则下列

结论正确的是()

A.At=0B.At=2

C.Afe=2D.|Afi|cosB=|Bt|

选ABD在等腰直角三角形ABC中，C=90。，面积为1,则;AC2=

1,得AC=V^，得AB=2,

所以AtBt=0,选项A正确；

A"6-At=|碰||At|cos45°=2,选项B正确；

Afe=|A6||Bt|COS1350=-2,选项C不正确；

直角三角形ABC中cosB=,

1期1

即期|cosB=|Bt|,选项D正确.

二、填空题（每小题5分，共15分）

10.已知非零向量a,b满足|a|=巾+1,|b|=巾-1,^.\a-b|

=4,则|a+b|=.

如图所示，设OA=a,Ofe=b，则|BA|=|a-b|，以OA,OB

为邻边作平行四边形OACB,

则|0t|=|a+b|，由于（#+1）2+（巾-1）2=42,故10Al2+|洲

2=|BA|2,

所以^OAB是直角三角形，ZAOB=90°,从而OAJ_OB,

所以平行四边形OACB是矩形，根据矩形的对角线相等得|8|=

|BA|=4,

gp|a+b|=4.

答案：4

11已知正方形ABCD的边长为a,点E是AB边上的动点则

的值为.

如图，在RUADE中，氏|cosZADE=a,

所以Dfc=|Bt||Dt|cos(Bt,Dt)=-a|Bt|=-a2.

DC

AEB

答案:-a2

12.已知向量|0A|=1,|Ofe1=^3,OA=0,点C在NAOB

内，且NAOC=30。，设Ot=mOA+nOfe,(m,n£R),则:=

,ZOBA=.

loAi=i,icrhi=小,oAofe=o,

所以OA_LOB,

所以1=2=2|OA|,

所以NOBA=30°,

又因为NAOC=30°,

所以8,

故(mOA+nOfe)(06-OA)=0,

从而-mOA2+nOfe2=0,

所以3n-m=0,

即m=3n,所以'=3.

答案：330°

三、解答题（每小题10分，共40分）

13.已知在矩形ABCD中』At)|=4事,|A6|=8.设期=a,Bt

=b,Bt)=c,^<|a-b-c|.

延长直线AB，使得直线AB上一点B，满足AB=BB\同理，延长直

线AD,使得直线AD上一点D满足AD=DD"如图所示,

则b+c=BlV,a-b-c=a-(b+c)=a-_BlV=

血，，则|a-b-c|=|g，|=^/(2x4V3)2+(2x8)2=8巾.

14.已知点。是四边形ABCD内一点，判断结论：“若OA