华东师大版初中八年级数学上册13-5-2线段垂直平分线课件

第13章全等三角形13.5逆命题与逆定理13.5.2线段垂直平分线知识点2线段的垂直平分线的性质定理基础过关全练1.(2024福建泉州安溪期末)如图,在△ABC中,AB的垂直平分

线交AC于D,若AC=5,BC=4,则△DBC的周长是

(

)A.8

B.9

C.10

D.11B解析∵AB的垂直平分线交AC于D,∴AD=BD,∵AC=5,BC=

4,∴△DBC的周长是BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=4+5

=9.故选B.2.(2023辽宁锦州中考)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线交

BC于点D,交AB于点E,连结CE.若CE=CA,∠ACE=40°,则∠B

的度数为

.35°解析∵CE=AC,∴∠A=∠AEC.∵∠A+∠AEC+∠ACE=180°,∠ACE=40°,∴∠AEC=∠A=70°.∵直线DE是BC的垂直平分线,∴BE=CE,∴∠B=∠BCE.∵∠AEC=∠B+∠BCE,∴∠B

=35°.知识点3线段的垂直平分线性质定理的逆定理3.(新独家原创)在“丢沙包”游戏中,A、B、C三名同学站在

一个三角形的三个顶点位置上,要求他们往中间丢沙包,谁丢

到规定的位置,谁就获胜,为使游戏公平,则沙包的最适当的

位置是在△ABC的

(

)A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边垂直平分线的交点D.三边上高的交点C解析∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点

的距离相等,∴沙包最适当的位置是在△ABC的三条垂直平

分线的交点.故选C.4.(2023陕西中考)如图,已知锐角△ABC,∠B=48°,在△ABC

内部求作一点P,使PB=PC且∠PBC=24°.(保留作图痕迹,不写

作法)

解析如图,点P即为所求.

5.(2024天津塘沽五中期中)如图,AD与BC相交于点O,OA=

OC,∠A=∠C,BE=DE.求证:OE垂直平分BD.

证明在△AOB与△COD中,

∴△AOB≌△COD(A.S.A.),∴OB=OD,∴点O在线段BD的垂直平分线上,∵BE=DE,∴点E在线段BD的垂直平分线上,∴OE垂直平分

BD.6.在△ABC中,AD垂直平分BC,点E在BC的延长线上,且满足

AB+BD=DE.求证:点C在线段AE的垂直平分线上.证明∵AD垂直平分BC,∴BD=DC,AB=AC,又∵AB+BD=DE,∴AC+DC=DE.又∵DE=DC+CE,∴AC=CE,∴点C在线段AE的垂直平分线上.能力提升全练7.(2021重庆渝中求精中学期末,17,★★☆)如图,P为△ABC

内一点,过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N,且M、N

分别在PA、PC的中垂线上.若∠ABC=80°,则∠APC的度数

为

(

)A.120°

B.125°

C.130°

D.135°C解析∵∠ABC=80°,∴∠BMN+∠BNM=180°-80°=100°,∵

M、N分别在PA、PC的中垂线上,∴MA=MP,NC=NP,∴∠

MPA=∠MAP,∠NPC=∠NCP,∴∠MPA+∠NPC=

(∠BMN+∠BNM)=50°,∴∠APC=180°-50°=130°.故选C.8.(2024吉林白城洮城期末,9,★★☆)在△ABC中,边AB,BC

的垂直平分线l1、l2相交于点P,若∠PAC=x°,则∠1的度数是

(

)

A.90°-x°

B.x°C.90°-

x°

D.60°-

x°A解析连结PB、PC,∵边AB,BC的垂直平分线l1、l2相交于

点P,∴PA=PB,PB=PC,∴∠PBA=∠PAB,∠PBC=∠PCB,PA=

PC,∴∠PCA=∠PAC=x°,∠PAB+∠PCB=∠PBA+∠PBC=∠

ABC,∴2∠ABC+2x°=180°,∴∠ABC=90°-x°,∴∠DPE=180°

-∠ABC=90°+x°,∴∠1=180°-∠DPE=90°-x°,故选A.

9.(2024河南信阳罗山期中,21,★★☆)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,AC的垂直平分线BE与CD交于点F,与AC交于点E.(1)判断△DBC的形状并证明你的结论.(2)求证:BF=AC.(3)试说明CE=

BF.

解析

(1)△DBC是等腰直角三角形.证明:∵∠ABC=45°,CD⊥AB,∴∠BCD=45°,∴BD=CD,∴△DBC是等腰直角三角形.(2)证明:∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴∠BDC=∠BEC=∠ADC=90°,∵∠BFD=∠CFE,∴∠DBF=∠ACD,在△BDF与△CDA中,

∴△BDF≌△CDA(A.S.A.),∴BF=AC.(3)证明:∵BE所在直线是AC的垂直平分线,∴CE=

AC,∴CE=

BF.10.(新考向·开放性试题)(2023江苏泰州中考,20,★★☆)如图,

CD是五边形ABCDE的一边,若AM垂直平分CD,垂足为M,且

,

,则

.给出下列信息:①AM平分∠BAE;②AB=AE;③BC=DE.请从中

选择适当信息,将对应的序号填到横线上方,使之构成真命

题,补全图形,并加以证明.

②(①)③(②)①(③)解析②;③;①(或①;②;③,选择一种即可).选择②;③;①.证明:根据题意补全图形并连结AC、AD,如图所示:∵AM垂直平分CD,∴AC=AD,∴∠CAM=∠DAM,在△ABC与

△AED中,

∴△ABC≌△AED(S.S.S.),∴∠BAC=∠EAD,∴∠BAC+∠CAM=∠EAD+∠DAM,即∠BAM=∠EAM=

∠BAE,∴AM平分∠BAE.

选择①;②;③.证明:根据题意补全图形并连结AC、AD,如图所示:∵AM垂直平分CD,∴AC=AD,∴∠CAM=∠DAM,∵AM平分

∠BAE,∴∠BAM=∠EAM,∴∠BAM-∠CAM=∠EAM-∠DAM,即∠

BAC=∠EAD,在△ABC与△AED中,

∴△ABC≌△AED(S.A.S.),∴BC=DE.素养探究全练11.(推理能力)(新考向·过程性学习试题)如图,在△ABC中,边

AB的垂直平分线l1交BC于点D,边AC的垂直平分线l2交BC于

点E,l1与l2相交于点O.(1)如图1,当∠ABC=∠ACB=25°时,直接写出∠DAE的度数.(2)如图1,当AB≠AC,且90°≤∠BAC<180°时.①若∠BAC=120°,则∠DAE=

°.②当AD⊥AE时,求∠BAC的度数.(3)如图2,连结OA,OB,OC.若△ADE的周长为9cm,△OBC的

周长为21cm,则BC=

cm,OB=

cm.

图1

图2解析

(1)80°.(2)①∵l1垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠BAD=∠B,同理∠EAC=∠C,∴∠BAD+∠EAC=∠B+∠C,∵∠BAC=120°,∴∠B+∠C=60°,∴∠BAD+∠EAC=60°,∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=120°-60°=60°.②∵AD⊥AE,∴∠DAE=90°,∵l1垂直平分AB,∴DA=DB,∴∠BAD=∠B,同理∠EAC=∠C,∴∠BAD+∠EAC=∠B+∠C,∵∠BAD+∠EAC+∠B+∠C+∠DAE=180°,∴∠BAD+∠EAC=(180°-90°)×

=45°,∴∠BAC=∠BAD+∠EAC+∠DAE=90°+45°=135°.(3)∵l1