华东师大版初中八年级数学上册14-2勾股定理的应用课件

第14章勾股定理14.2勾股定理的应用知识点1确定几何体表面上两点间的最短路线长基础过关全练1.如图,一只蚂蚁从圆柱体的下底面点A沿着侧面爬到上底

面点B,已知圆柱的底面半径为5cm,高为20cm(π取3),则蚂蚁

所走过的最短路径长是

(

)

A.28cm

B.29cm

C.25cm

D.22cmC解析把圆柱侧面展开,展开图(示意图)如图所示,则蚂蚁所

走过的最短路径长为线段AB的长.

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=20cm,AC为底面周长的一半,

即AC=5π=15cm,所以AB=

=25cm.故选C.2.(2023四川广安中考)如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底

面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜,此

时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜

相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程

为

cm.(杯壁厚度不计)

10解析如图,将玻璃杯侧面展开(展开图的一半),作B关于EF

的对称点B',作B'D⊥AE,交AE的延长线于点D,连结AB',

由题意得DE=

BB'=1cm,AE=9-4=5cm,∴AD=AE+DE=6cm,∵底面周长为16cm,∴B'D=

×16=8cm,∴AB'=

=10cm,由两点之间线段最短可知,蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的

最短路程为AB'=10cm.故答案为10.3.如图(示意图),长方体盒子的长,宽,高分别为12cm,8cm,30

cm,在AE中点M处有一滴蜜糖,有一只小虫从G点爬到M处去

吃,有很多种走法,请你求出最短路线长.

解析如图(示意图),将长方体的两个面展开,连结GM,则GM

的长就是从G点爬到M处的最短路线长,

在Rt△GEM中,GE=12+8=20(cm),EM=

×30=15(cm),由勾股定理得GM=

=25(cm),即从G点爬到M处的最短路线长是25cm.知识点2用勾股定理作长度为无理数 的线段4.如图,在由边长为1的小正方形组成的4×4的网格中,下列线

段长为

的是

(

)A.AB

B.AC

C.AD

D.AED解析根据勾股定理得AE=

=

,AD=

=

,AC=

=

,AB=

=

.故选D.5.(数形结合思想)(2024江西南昌期末)图1为4×4的方格,每个

小格的顶点叫做格点,每个小正方形边长为1.(1)图1中正方形ABCD的面积为

,边长为

.(2)①依照图1中的作法,在图2的方格中作一个正方形,同时

满足下列两个要求:Ⅰ.所作的正方形的顶点必须在方格的格点上;Ⅱ.所作的正方形的边长为

.②请在图2中的数轴上标出表示实数

的点P,保留作图痕迹.10图1图2解析

(1)10;

.(2)①如图所示的正方形即为所作.②如图,点P即为所作.知识点3应用勾股定理及其逆定理解决实际问题6.(梯子滑动模型)(教材变式·P126T4)一架5m长的梯子,斜靠

在一竖直的墙上,这时梯子的底端距墙角4m,若梯子的顶端

下滑1m,则梯子的底端将滑动

(

)A.0m

B.1mC.(

-3)m

D.(

-4)mD解析由题意,画出示意图如图.

在Rt△AOB中,OB=4m,AB=5m,∴OA=

=

=3(m),在Rt△COD中,OC=OA-AC=3-1=2(m),CD=AB=5m,∴OD=

=

=

(m),∴BD=OD-OB=(

-4)m,即梯子的底端将滑动(

-4)m.故选D.7.一个长为4,宽为3,高为12的长方体牛奶盒的示意图如图所

示,从上底一角的小圆孔插入一根到达底部的直吸管,吸管在

盒内部分a的长度范围是(牛奶盒的厚度、小圆孔的大小及

吸管的粗细均忽略不计)

(

)

A.5≤a≤12

B.12≤a≤3

C.12≤a≤4

D.12≤a≤13D解析

a的最小值就是牛奶盒的高度,为12,由题意知,牛奶盒

底面对角线的长为

=5,当吸管在盒内的部分、牛奶盒的高及底面对角线正好构成直角三角形时,a的值最大,为

=13,即吸管在盒内部分a的长度范围是12≤a≤13,故选D.8.(情境题·国防教育)如图,在某次海上演习中,两艘航母护卫

舰从同一港口O同时出发,1号舰沿东偏南60°方向以9节(1节

=1海里/时)的速度航行,2号舰沿南偏西60°方向以12节的速

度航行,离开港口2小时后它们分别到达A,B两点,此时两舰的

距离是

(

)

A.9海里

B.12海里C.15海里

D.30海里D解析由题意得AO=2×9=18(海里),BO=2×12=24(海里),∠

AOE=60°,∠COB=60°,∠EOC=90°,∴∠AOC=∠EOC-∠EOA

=30°,∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°,在Rt△AOB中,AB=

=

=30(海里),∴此时两舰的距离是30海里.故选D.9.《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题:“今有池一丈,

葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各

几何?”题意:有一个池塘,其底面是边长为10尺的正方形,一

棵芦苇AB生长在它的中央,高出水面部分BC为1尺.如果把芦

苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部B恰好

碰到岸边的B'(示意图如图),则水深为

尺.

12解析依题意画出示意图,设芦苇长AB=AB'=x尺,则水深AC=

(x-1)尺,因为B'E=10尺,所以B'C=5尺,在Rt△AB'C中,52+(x-1)2=x2,解得

x=13,∴AC=13-1=12尺,即水深为12尺.

10.(教材变式·P122例4)(2024广东佛山南海期中)一块地

ABCD如图所示,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,

BC=12m,求这块地的面积.

解析如图,连结AC,∵∠ADC=90°,AD=4m,CD=3m,∴AC2=

AD2+CD2=42+32=25,又∵AC>0,∴AC=5m,又∵BC=12m,AB=

13m,∴AC2+BC2=52+122=169,AB2=169,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴

=S△ABC-S△ADC=

×5×12-

×3×4=30-6=24m2.

能力提升全练11.(风吹树折模型)一棵大树在一次强台风中折断倒下,大树

折断前高度估计为18m,倒下后树顶落在距树根部大约12m

处.这棵大树折断处离地面约

(

)

A.3m

B.4m

C.5m

D.6mC解析设这棵大树折断处离地面约xm,根据题意得,x2+122=

(18-x)2,解得x=5,所以这棵大树折断处离地面约5m.故选C.12.(跨学科·语文)(2024陕西榆林实验中学期中,20,★★☆)明

朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算

秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离

地.送行二步恰竿齐,五尺板高离地……”其大意为:如图,秋

千OA静止的时候,踏板离地高一尺(AC=1尺),将它往前推进

两步(EB=10尺),此时踏板升高,离地五尺(BD=5尺),求秋千绳

索(OA或OB)的长度.

解析设OA=OB=x尺,∵EC=BD=5尺,AC=1尺,∴EA=EC-AC=5-1=4(尺),∴OE=OA-AE=(x-4)尺,在Rt△OEB

中,OE=(x-4)尺,OB=x尺,EB=10尺,根据勾股定理得x2=(x-4)2+102,整理得8x=116,∴x=14.5,∴秋千绳索的长度为14.5尺.素养探究全练13.(模型观念)(情境题·现实生活)(2023河南南阳新野期末)如

图,东西公路AB和南北公路CD在点M处交会,在∠CMB的平

分线上的N处是一所小学,且MN=168m,假设拖拉机行驶时,

周围130m以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路AB上

沿AB方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由;若

受影响,已知拖拉机的速度为40km/h,那么学校受影响的时

间为多少秒?(

≈1.4)解析会受到影响.理由:过N作NP⊥AB于P(图略),则∠MPN

=90°,∵∠CMB=90°,N在∠CMB的平分线上,∴∠NMP=45°,∴∠MNP=∠NMP=45°,∴PM=PN,在Rt△MNP中,由勾股定理,得PM2+NP2=MN2,即2NP2=1682,∴NP=

≈120(m),∵120<130,∴会受到影响.以点N为圆心,130m为半径画弧交AB于点E,F,则NE=NF=130m,在Rt△

EPN中,由勾股定理,得EP2=NE2-NP2,∴EP=

=50(m),∵NP⊥AB,∴EP=FP,∴EF=2EP=100m,∵40km/h=

m/s,∴

=9(s),故学校受影响的时间为9秒.微专题勾股定理在折叠问题中的应用例

如图,在长方形纸片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm.把长方

形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,则AF

的长为

(

)

A.

cm

B.

cm

C.7cm

D.

cmA解析

A∵把长方形纸片沿直线AC折叠,∴CD=AE=AB=8

cm,CE=BC=AD=6cm,∠D=∠E=∠B=90°,∵∠CFE=∠AFD,

∴△CEF≌△ADF(A.A.S.),∴CF=AF,∴DF=CD-CF=8-AF,

∵AF2=DF2+AD2,∴AF2=(8-AF)2+36,∴AF=

cm.故选A.变式1.(改变折痕的位置)(2024吉林长春新解放学校期中)如图,在

长方形ABCD中,AB=8,BC=10,点E在边CD上,将长方形沿AE

折叠使点D恰好落在边BC上的点F处,则EF的长度为

(

)A.4.5

B.5

C.5.5

D.6B解析

∵AB=8,BC=10,∴DC=8,AD=10,又∵将长方形沿

AE折叠使点D恰好落在边BC上的点F处,∴AF=AD=10,DE=

EF,在Rt△ABF中,AB=8,AF=10,∴BF=

=6,∴FC