华东师大版初中八年级数学上册专项素养巩固训练卷(五)全等三角形的四大常见模型练课件

专项素养巩固训练卷(五)全等三角形的四大常见模型(练模型)1.(★☆☆)在解决线段数量关系问题时,如果条件中有角平分线,经常采用下面

构造全等三角形的解题思路,如:在图1中,若C是∠MON的平分线OP上一点,点A

在OM上,此时,在ON上截取OB=OA,连结BC,根据三角形全等的判定方法

“S.A.S.”,得出△OBC≌△OAC.模型一角平分线模型参考上面的方法,解答下列问题:如图2,在非等边△ABC中,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,且

AD、CE交于点F,求证:AC=AE+CD.证明

如图,在AC上截取AG=AE,连结FG.∵AD是∠BAC的平分线,CE是∠BCA的平分线,∴∠1=∠2,∠3=∠4.在△AEF和△AGF中,

∴△AEF≌△AGF(S.A.S.),∴∠AFE=∠AFG.∵∠B=60°,∴∠BAC+∠ACB=120°,∴∠2+∠3=

(∠BAC+∠ACB)=60°.∵∠AFE=∠2+∠3,∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°,∴∠CFD=∠CFG.在△CFG和△CFD中,

∴△CFG≌△CFD(A.S.A.),∴CG=CD,∴AC=AG+CG=AE+CD.2.(★★☆)如图1,△ABC是正三角形,△BDC是等腰三角形,BD=CD,∠BDC=120

°,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连结MN.(1)探究BM、MN、NC之间的关系,并说明理由.(2)若△ABC的边长为2,求△AMN的周长.(3)若点M、N分别是线段AB、CA的延长线上的点,其他条件不变,此时(1)中的结

论是否还成立?在图2中画出图形,并说明理由.模型二半角模型解析

(1)MN=BM+NC.理由如下:如图1,延长AC至E,使得CE=BM,连结DE.∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,BD=CD,∴∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°.∵∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30°,∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,∴∠MBD=∠ACD=∠ECD=90°.在△MBD与△ECD中,BD=CD,∠MBD=∠ECD,BM=CE,∴△MBD≌△ECD(S.A.S.),∴MD=DE,∠BDM=∠CDE.∵∠BDC=120°,∠MDN=60°,∴∠BDM+∠NDC=60°,∴∠CDE+∠NDC=60°,即∠NDE=60°,∴∠MDN=∠NDE,∵DN=DN,∴△DMN≌△DEN(S.A.S.),∴MN=EN,∴MN=EN=CE+NC=BM+NC.(2)利用(1)中的结论得出,△AMN的周长=AM+MN+AN=(AM+BM)+(NC+AN)=AB+AC=2+2=4.(3)按要求作出图形,如图2,(1)中结论不成立,应为MN=NC-BM.如图2,在CA上截取CE,使CE=BM,连接DE.∵△ABC是正三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°.∵BD=CD,∠BDC=120°,∴∠BCD=∠CBD=30°,∴∠ABD=∠MBD=∠ECD=90°.∵CE=BM,∴△BMD≌△CED(S.A.S.),∴∠BDM=∠CDE,DM=DE.∵∠BDC=120°,∴∠MDE=∠BDM+∠BDC-∠CDE=∠BDC=120°.∵∠MDN=60°,∴∠EDN=∠MDE-∠MDN=120°-60°=60°=∠MDN.在△MDN和△EDN中,ND=ND,∠MDN=∠EDN,DM=DE,∴△MDN≌△EDN(S.A.S.),∴MN=NE=NC-CE=NC-BM.

3.(★★☆)如图,已知△ABC.(1)如图1,分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE,连结BE、CD.①猜想BE与CD的数量关系是

.②若点M、N分别是BE和CD的中点,猜想∠AMN的度数,并说明理由.(2)如图2,若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且∠DAB=∠CAE=α,AD=AB,

AC=AE,DC、BE交于点P,连结AP,猜想∠APC与α之间的数量关系,并说明理由.模型三手拉手模型解析

(1)①BE=CD,理由如下:∵△ABD和△ACE是等边三角形,∴AB=AD,∠BAD=∠CAE=60°,AC=AE,∴∠CAE+∠BAC=∠BAD+∠BAC,即∠BAE=∠DAC,∴△ABE≌△ADC(S.A.S.),∴BE=CD,故答案为BE=CD.②∠AMN=60°,理由如下:连结AN,如图1所示,由①得,△ABE≌△ADC,∴BE=CD,∠ABE=∠ADC.∵点M、N分别是BE和CD的中点,∴BM=DN.∵AD=AB,∴△ADN≌△ABM(S.A.S.),∴AN=AM,∠DAN=∠BAM,∴∠BAM+∠BAN=∠DAN+∠BAN,即∠MAN=∠BAD=60°,∴△AMN为等边三角形,∴∠AMN=60°.(2)∠APC=90°+

α,理由如下:过A作AM⊥CD于M,AN⊥BE于N,如图2所示,易知△ABE≌△ADC,△ADM≌△ABN,∴∠AEB=∠ACD,AM=AN,∵AM⊥CD,AN⊥BE,∴PA平分∠DPE,∴∠APE=

∠DPE,∵∠EPC+∠ACD=∠CAE+∠AEB,∴∠EPC=∠CAE=α,∴∠DPE=180°-α,∴∠APE=

(180°-α)=90°-

α,∴∠APC=∠APE+∠EPC=90°-

α+α=90°+

α4.(★★☆)某学习小组在探究三角形全等时,发现了

下面几种典型的模型:(1)如图1,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥

直线m,垂足分别为点D、E.试猜想DE、BD、CE之间的数量关系是

新考向过程性学习试题模型四一线三等角模型

.(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并

且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α(其中α为任意锐角或钝角).此时(1)中的DE、

BD、CE之间的数量关系是否成立?如果成立,请你给出证明;若不成立,请说明理

由.(3)数学老师赞扬了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:如图3,F是∠BAC的平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,D、E分

别是直线m上A点两侧的动点(D、E、A互不重合),在运动过程中线段DE的长度

始终为n,连结BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状,并说明理

由.解析

(1)DE=BD+CE.[详解]∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°.∵BD⊥m,CE⊥m,∴∠ADB=∠CEA=90°,∴∠BAD+∠ABD=90°,∴∠ABD=∠CAE.在△ADB和△CEA中,

∴△ADB≌△CEA(A.A.S.),∴BD=AE,AD=CE,∴DE=AD+AE=BD+CE,故答案为DE=BD+CE.(2)DE=BD+CE成立.证明:∵∠BAD+∠CAE=180°-∠BAC,∠BAD+∠ABD=180°-∠ADB,∠BDA=∠

BAC,∴∠ABD=∠CAE,在△BAD和△ACE中,

∴△BAD≌△ACE(A.A.S.),∴BD=AE,AD=CE,∴DE=DA+AE=BD+CE.(3)△DEF为等边三角形.理由:由(2)得,∠ABD=∠CAE,△BAD≌△ACE,∴BD=AE.∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠FBA=∠FAC=60°,BF=FA,∴∠ABD+∠FBA=∠CAE+∠FAC,即∠