新课标人教版重庆市永川中学八级上期中数学试题含解析

2015-2016学年重庆市永川中学八年级（上）期中数学试卷一．精心选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分）每个小题只有一个答案正确，请将正确答案的代号填在答题卡上相应位置.1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去3．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）4．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A．125° B．120° C．140° D．130°5．如图，已知∠CAB=∠DAB，则添加下列一个条件不能使△ABC≌△ABD的是（）A．AC=AD B．BC=BD C．∠C=∠D D．∠ABC=∠ABD6．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．57．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处8．已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°9．如图，点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）A．180° B．360° C．540° D．720°10．下列命题：①关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形；②有一个外角为60°的等腰三角形是等边三角形；③关于某直线对称的两条线段平行；④正五边形有五条对称轴；⑤在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．其中正确的有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（）A． B． C． D．12．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC度数为（）°．A．100 B．105 C．120 D．108二、认真填一填（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请把每小题的正确答案填在答题卡相应的位置上．13．若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是cm．14．五边形的内角和为度，十二边形的外角和为度．15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm，则BC=cm．16．在△ABC中，BC=8，∠BAC=110°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E．则△ADE的周长为；∠DAE的度数为．17．用一块等边三角形的硬纸片（如图甲）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图乙），在△ABC的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为．18．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC=12，则S1﹣S2的值为．三、耐心答一答（第19、20各7分，第21-24题各10分，第25-26题各12分，共78分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，并解答在答题卡相应的位置.19．已知：如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2．20．如图，CD平分△ABC的外角∠BCE，且CD∥AB，求证：AC=BC．21．（10分）（2015秋•永川区校级期中）如图，AB=EF，BC⊥AE于C，FD⊥AE于D，CE=DA．求证：（1）△ABC≌△EFD；（2）AB∥EF．22．（10分）（2015秋•永川区校级期中）已知：如图，AB=AD，∠D=∠B，∠1=∠2，求证：（1）△ADE≌△ABC；（2）∠DEB=∠2．23．（10分）（2011秋•曲阜市期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）试证明△DFE是等腰直角三角形．24．（10分）（2015秋•永川区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=12cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？25．（12分）（2015秋•永川区校级期中）如图1，在等边△ABC的边AC的延长线上取一点E，以CE为边作等边△CDE，使它与△ABC位于直线AE的同侧．（1）同学们对图1进行了热烈的讨论，猜想出如下结论，你认为正确的有（填序号）．①△ACD≌△BCE；②△ACP≌△BCQ；③△DCP≌△ECQ；④∠ARB=60°；⑤△CPQ是等边三角形．（2）当等边△CED绕C点旋转一定角度后（如图2），（1）中有哪些结论还是成立的？并对正确的结论分别予以证明．26．（12分）（2015秋•永川区校级期中）如图1，P（2，2），点A在x轴正半轴上运动，点B在y轴负半轴上运动，且PA=PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（8，0），求点B的坐标；（3）求OA﹣OB的值；（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．2015-2016学年重庆市永川中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．精心选一选（本大题共12小题，每小题4分，共48分）每个小题只有一个答案正确，请将正确答案的代号填在答题卡上相应位置.1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故正确；B、是轴对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，故错误．故选A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去【考点】全等三角形的应用．【专题】应用题．【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确；D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．故选：C．【点评】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．3．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2），故选：C．【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为（）A．125° B．120° C．140° D．130°【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．【分析】根据矩形性质得出EF∥GH，推出∠FCD=∠2，代入∠FCD=∠1+∠A求出即可．【解答】解：∵EF∥GH，∴∠FCD=∠2，∵∠FCD=∠1+∠A，∠1=40°，∠A=90°，∴∠2=∠FCD=130°，故选D．【点评】本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，关键是求出∠2=∠FCD和得出∠FCD=∠1+∠A．5．如图，已知∠CAB=∠DAB，则添加下列一个条件不能使△ABC≌△ABD的是（）A．AC=AD B．BC=BD C．∠C=∠D D．∠ABC=∠ABD【考点】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，已知有∠DAB=∠CAB和隐含条件AB=AB，看看再添加的条件和以上两个条件是否符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：A、∵在△ABC和△ABD中∴△ABC≌△ABD（SAS），正确，故本选项错误；B、根据BC=BD，AB=AB和∠CAB=∠DAB不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；C、∵在△ABC和△ABD中∴△ABC≌△ABD（AAS），正确，故本选项错误；D、∵在△ABC和△ABD中∴△ABC≌△ABD（ASA），正确，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．6．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3 B．4 C．6 D．5【考点】角平分线的性质．【专题】几何图形问题．【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．7．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】应用题．【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．故选C．【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．8．已知等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【专题】分类讨论．【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2=80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．故选：C．【点评】根据等腰三角形的性质分两种情况进行讨论．9．如图，点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（）A．180° B．360° C．540° D．720°【考点】三角形内角和定理．【分析】先根据三角形外角的性质得出∠A+∠B=∠1，∠E+∠F=∠2，∠C+∠D=∠3，再根据三角形的外角和是360°进行解答．【解答】解：∵∠1是△ABG的外角，∴∠1=∠A+∠B，∵∠2是△EFH的外角，∴∠2=∠E+∠F，∵∠3是△CDI的外角，∴∠3=∠C+∠D，∵∠1、∠3、∠3是△GIH的外角，∴∠1+∠2+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．故选B．【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键．10．下列命题：①关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形；②有一个外角为60°的等腰三角形是等边三角形；③关于某直线对称的两条线段平行；④正五边形有五条对称轴；⑤在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．其中正确的有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】命题与定理．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：①关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形，正确；②有一个外角为60°的等腰三角形是等边三角形，错误；③关于某直线对称的两条线段平行或相交，故原命题错误；④正五边形有五条对称轴，正确；⑤在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半，正确．其中正确的有3个，故选：C．【点评】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．11．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（）A． B． C． D．【考点】剪纸问题．【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．【解答】解：严格按照图中的顺序向右上翻折，向左上角翻折，剪去左上角，展开得到结论．故选：B．【点评】本题考查的是剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．12．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC度数为（）°．A．100 B．105 C．120 D．108【考点】翻折变换（折叠问题）；线段垂直平分线的性质．【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC，根据翻折的性质可得OE=CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°，又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°，∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=27°，∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB=∠OBC=36°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE，∴∠COE=∠OCB=36°，在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．故选D．【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．二、认真填一填（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请把每小题的正确答案填在答题卡相应的位置上．13．若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是10cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分别从10cm为腰长或5cm为腰长，去分析求解即可求得答案，注意三角形三边关系的应用．【解答】解：若10cm为腰长，则第三边的长是10cm；若5cm为腰长，∵5+5=10，∴不能组成三角形，舍去；综上：若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是10cm．故答案为：10．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意三角形三边关系的应用是关键．14．五边形的内角和为540度，十二边形的外角和为360度．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：五边形的内角和是（5﹣2）×180=540°，十二边形的外角和是360°．故答案是：540，360．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．15．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm，则BC=4cm．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题．【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可．【解答】解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC=AB=4cm．故答案为：4．【点评】本题比较容易解答，要求熟记30°角所对的直角边是斜边的一半．16．在△ABC中，BC=8，∠BAC=110°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E．则△ADE的周长为8；∠DAE的度数为40°．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，EC=EA，根据三角形周长公式和等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∴DB=DA，EC=EA，△ADE的周长=DE+DA+EA=DE+DB+EC=BC=8；∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，∵DB=DA，EC=EA，∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，∴∠DAB+∠EAC=70°，∴∠DAE=110°﹣70°=40°，故答案为：8；40°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．17．用一块等边三角形的硬纸片（如图甲）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图乙），在△ABC的每个顶点处各需剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为120°．【考点】等边三角形的性质；多边形内角与外角．【专题】几何图形问题．【分析】由题意可知∠A=60°，∠AMD=∠AND=90°，对角又互补，则∠MDN的度数为120°．【解答】解：四边形ANDM角的度数之和为360°，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，因为要做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子，所以∠AMD=∠AND=90°，所以∠MDN=120°．故填120°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，比较简单．18．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC=12，则S1﹣S2的值为2．【考点】三角形的面积．【分析】S△ADF﹣S△CEF=S△ABE﹣S△BCD，所以求出△ABE的面积和△BCD的面积即可，因为AD=2BD，BE=CE，且S△ABC=12，就可以求出△ABE的面积和△BCD的面积．【解答】解：∵BE=CE，∴BE=BC，∵S△ABC=12，∴S△ABE=S△ABC=×12=6．∵AD=2BD，S△ABC=12，∴S△BCD=S△ABC=4，∵S△ABE﹣S△BCD=（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+S四边形BEFD）=S△ADF﹣S△CEF，即S△ADF﹣S△CEF=S△ABE﹣S△BCD=6﹣4=2．故答案为2．【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．三、耐心答一答（第19、20各7分，第21-24题各10分，第25-26题各12分，共78分）每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，并解答在答题卡相应的位置.19．已知：如图，已知△ABC，分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A1B1C1和△A2B2C2．【考点】作图-轴对称变换．【分析】根据关于坐标轴对称的点的坐标特点画出图形即可．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．20．如图，CD平分△ABC的外角∠BCE，且CD∥AB，求证：AC=BC．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】由角平分线的定义求得∠1=∠2；然后根据平行线的性质可以推知∠1=∠A，∠2=∠B，所以由等量代换证得∠B=∠A；最后根据“等角对等边”证得结论．【解答】证明：如图，∵CD平分△ABC的外角∠BCE，∴∠1=∠2，又∵CD∥AB，∴∠1=∠A，∠2=∠B，∴∠A=∠B，∴AC=BC．【点评】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．关键是运用平行线的性质和角平分线的性质证∠B=∠A．21．（10分）（2015秋•永川区校级期中）如图，AB=EF，BC⊥AE于C，FD⊥AE于D，CE=DA．求证：（1）△ABC≌△EFD；（2）AB∥EF．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）由已知条件根据HL判定Rt△ABC≌Rt△EFD即可；（2）由三角形全等的性质和平行线的判定证明即可．【解答】（1）证明：∵CE=DA，∴AC=ED，∵BC⊥AE于C，FD⊥AE于D，在Rt△ABC与Rt△EFD中，，∴Rt△ABC≌Rt△EFD；（2）由（1）得Rt△ACB≌Rt△EDF∵BC⊥AE于C，FD⊥AE于D，∴∠A=∠E，∴∠ACB=∠EDF=90°，∴AB∥EF．【点评】主要考查全等三角形的判定，常用的判定方法有ASA，AAS，SSS，SAS，HL等．由平行线得到角相等是正确解答本题的关键．22．（10分）（2015秋•永川区校级期中）已知：如图，AB=AD，∠D=∠B，∠1=∠2，求证：（1）△ADE≌△ABC；（2）∠DEB=∠2．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据ASA证明△ADE≌△ABC；（2）根据全等三角形的性质和等式的性质证明即可．【解答】证明：（1）∵∠1=∠2，∵∠D+∠1=∠B+∠DEB∴∠DAE=∠BAC，∠D=∠B，∠1=∠2在△ABC和△ADE中，，∴△ADE≌△ABC（ASA），（2）∵∠D=∠B，∠BOE=∠AOD，如图：∴∠DEB=∠1，∵∠1=∠2，∴∠DEB=∠2【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．23．（10分）（2011秋•曲阜市期中）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．（1）求证：△ADF≌△CEF；（2）试证明△DFE是等腰直角三角形．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】证明题．【分析】（1）根据在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，利用F是AB中点，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，即可证明：△ADF≌△CEF．（2）利用△ADF≌△CEF，∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，和∠AFC=90°即可证明△DFE是等腰直角三角形．【解答】证明：（1）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，又∵F是AB中点，∴∠ACF=∠FCB=45°，即，∠A=∠FCE=∠ACF=45°，且AF=CF，在△ADF与△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（SAS）；（2）由（1）可知△ADF≌△CEF，∴DF=FE，∴△DFE是等腰三角形，又∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFD+∠DFC=∠CFE+∠DFC，∴∠AFC=∠DFE，∵∠AFC=90°，∴∠DFE=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的理解和掌握，稍微有点难度，属于中档题．24．（10分）（2015秋•永川区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=AC=12cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】动点型．【分析】（1）△BPD≌△CPQ，利用已知条件求出BP=CQ，PC=BD．利用SAS证明△BPD≌△CQP．（2）由点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，所以BP≠CQ，又由△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，得到BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm，从而求出点P，点Q运动的时间为4÷2=2秒，即可解答．【解答】解：（1）△BPD≌△CPQ，理由如下∵t=1s，∴BP=CQ=2×1=2cm，∵AB=12cm，点D为AB的中点，∴BD=6cm．又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，∴PC=8﹣2=6cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CPQ中，∴△BPD≌△CQP．（2）∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，∴BP=PC=4cm，CQ=BD=6cm，∴点P，点Q运动的时间为4÷2=2s，∴Q点的运动速度为6÷2=3（cm/s）．【点评】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．25．（12分）（2015秋•永川区校级期中）如图1，在等边△ABC的边AC的延长线上取一点E，以CE为边作等边△CDE，使它与△ABC位于直线AE的同侧．（1）同学们对图1进行了热烈的讨论，猜想出如下结论，你认为正确的有①②③④⑤（填序号）．①△ACD≌△BCE；②△ACP≌△BCQ；③△DCP≌△ECQ；④∠ARB=60°；⑤△CPQ是等边三角形．（2）当等边△CED绕C点旋转一定角度后（如图2），（1）中有哪些结论还是成立的？并对正确的结论分别予以证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出各角都是60°，各边相等，再利用全等三角形的判定和性质证明即可；（2）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可．【解答】解：（1）∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=