2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第一章　§1.2　常用逻辑用语含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第一章§1.2常用逻辑用语§1.2常用逻辑用语课标要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识梳理1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；(4)若p是q的充要条件，则A＝B.2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(√)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(√)(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(√)(4)命题“∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命题．(×)2．(必修第一册P30例4(1)改编)(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是()A．p是真命题B．綈p：∀x∈R，x＋2>0C．綈p是真命题D．綈p：∃x∈R，x＋2>0答案CD解析当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为綈p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；綈p是真命题，故C正确．3．(必修第一册P22T2(5)改编)设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________．答案(－∞，3)解析由题意知，x∈A⇒x∈B，x∈B⇏x∈A，即AB，所以a<3.题型一充分、必要条件的判定例1(1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则m∥n是l⊥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析当m∥n时，l⊥α，当l⊥α时，m∥n，综上所述，m∥n是l⊥α的充要条件．(2)在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当a1>0，且q>1时，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N*)，即{an}为递增数列；当{an}为递增数列时，即对一切n∈N*，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且0<q<1时，上式也成立，显然无法得出a1>0，且q>1.则“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．思维升华充分、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断．(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．跟踪训练1(1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“φ＝eq\f(π,2)”是“f(x)是奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析f(x)是奇函数等价于cos(－2x＋φ)＝－cos(2x＋φ)，即cos(－2x＋φ)＝cos(π－2x－φ)，故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，所以φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.则“φ＝eq\f(π,2)”是“f(x)是奇函数”的充分不必要条件．(2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件．题型二充分、必要条件的应用例2在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|－1<x<3}，当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)．充分不必要条件的等价形式p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．典例已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．答案(1，＋∞)解析由|x|≤1，即－1≤x≤1，由题意知p是q的充分不必要条件，所以a＞1.思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)≤2x≤32))))，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．(1)若m＝3，求A∪B；(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)依题意，得2－2≤2x≤25，解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}，当m＝3时，解不等式x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}．(2)选①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有AB，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m<－2，,2＋m≥5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m≤－2，,2＋m>5，))解得m>4或m≥4，即有m≥4，所以正实数m的取值范围是m≥4.选②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则有BA，于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，解得0<m≤3或0<m<3，即有0<m≤3，所以正实数m的取值范围是0<m≤3.题型三全称量词与存在量词命题点1含量词的命题的否定例3(1)(多选)下列说法正确的是()A．“正方形是菱形”是全称量词命题B．∃x∈R，ex<ex＋1C．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5”答案ABC解析对于A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确；对于B，当x＝1时，e<e＋1成立，故B正确；对于C，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确；对于D，命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确．(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：________________________.答案至少有一个实数是无理数命题点2含量词的命题的真假判断例4(多选)下列命题中的真命题是()A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2答案ACD解析指数函数的值域为(0，＋∞)，所以∀x∈R,2x－1>0，故A正确；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以∀x∈N*，(x－1)2>0是假命题，故B错误；当x＝1时，lgx＝0<1，所以∃x∈R，lgx<1，故C正确；函数y＝tanx的值域为R，所以∃x∈R，tanx＝2，故D正确．命题点3含量词的命题的应用例5(1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．(－∞，2] D．(－∞，5]答案B解析由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知，不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立，因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1.即实数m的取值范围是(－∞，1]．(2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是()A．－1B．0C．1D．2答案ABC解析若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题，则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，符合条件的为A，B，C选项．思维升华含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．跟踪训练3(1)下列命题为真命题的是()A．任意两个等腰三角形都相似B．所有的梯形都是等腰梯形C．∀x∈R，x＋|x|≥0D．∃x∈R，x2－x＋1＝0答案C解析对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，故A错误；对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误；对于C，因为∀x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正确；对于D，因为∀x∈R，x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，故D错误．(2)(多选)已知命题p：∀x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是()A．命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m”B．命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”C．当命题p为真命题时，1≤m≤2D．当命题q为假命题时，a<4答案ACD解析命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m”，故A正确；命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0”，故B错误；若命题p为真命题，则当x∈[0,1]时，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正确；若命题q为假命题，则∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0为真命题，即a<x＋eq\f(4,x)恒成立，因为x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，当且仅当x＝eq\f(4,x)，即x＝2时取等号，所以a<4，故D正确．课时精练一、单项选择题1．命题“∃x>0，sinx－x≤0”的否定为()A．∀x≤0，sinx－x>0B．∃x>0，sinx－x≤0C．∀x>0，sinx－x>0D．∃x≤0，sinx－x>0答案C解析由题意知命题“∃x>0，sinx－x≤0”为存在量词命题，其否定为全称量词命题，即∀x>0，sinx－x>0.2．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：ab≠0，q：a≠0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：eq\r(a)>eq\r(b)答案A解析对于A，ab≠0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b≠0))⇒a≠0，故p是q的充分条件；对于B，a2＋b2≥0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∈R，,b∈R))⇏a≥0且b≥0，故p不是q的充分条件；对于C，x2>1⇔x>1或x<－1⇏x>1，故p不是q的充分条件；对于D，当a>b时，若b<a<0，则不能推出eq\r(a)>eq\r(b)，故p不是q的充分条件．3．设λ∈R，则“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行，则3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，经检验，当λ＝1或λ＝－3时，两直线平行．即“λ＝1”是“直线3x＋(λ－1)y＝1与直线λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要条件．4．已知p：eq\f(1,x)>1，q：x>m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，1]答案C解析由eq\f(1,x)>1可得x(x－1)<0，解得0<x<1，记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，若p是q的充分条件，则A是B的子集，所以m≤0，所以实数m的取值范围是(－∞，0]．5．下列说法正确的是()A．“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是真命题B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1<0”D．若“1<x<3”的一个必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则实数m的取值范围是[1,3]答案D解析eq\r(2)是无理数，x2＝2是有理数，A错误；当x＝－2，y＝－1时，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要条件，B错误；命题“∃x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤0”，C错误；“1<x<3”的必要不充分条件是“m－2<x<m＋2”，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2≤1，,m＋2≥3，))两个不等式的等号不同时取到，解得1≤m≤3，D正确．6．设p：关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，q：对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么p是q的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若关于x的不等式x2＋ax＋1>0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4<0，即－2<a<2；若对数函数y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上单调递减，则0<4－3a<1，即1<a<eq\f(4,3).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))(－2,2)，∴p是q的必要不充分条件．7．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，则实数a的取值范围是()A．－4<a<0 B．－4≤a<0C．－4<a≤0 D．－4≤a≤0答案C解析命题p：∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0为假命题，即命题綈p：∀x∈R，ax2＋2ax－4<0为真命题，当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.综上可知，－4<a≤0.8．(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案C解析方法一甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(nSn＋1－n＋1Sn,nn＋1)＝eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)为常数，设为t，即eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)＝t，则Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，两式相减得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．方法二甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，则eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公差为D，则eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝D，eq\f(Sn,n)＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，当n≥2时，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，上边两式相减得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，当n＝1时，上式成立，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件．二、多项选择题9．下列命题是真命题的是()A．∃a∈R，使函数y＝2x＋a·2－x在R上为偶函数B．∀x∈R，函数y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)的值恒为正数C．∃x∈R,2x＜x2D．∀x∈(0，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＞答案AC解析当a＝1时，y＝2x＋2－x为偶函数，故A为真命题；y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－1时，y＝0，故B为假命题；当x∈(2,4)时，2x＜x2，故C为真命题；当x＝eq\f(1,3)时，∈(0,1)，＝1，∴，故D为假命题．10．下列命题中正确的是()A．“A∪B＝A”是“B⊆A”的充分不必要条件B．“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”C．“幂函数y＝为反比例函数”的充要条件是“m＝0”D．“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”答案BCD解析对于A，由A∪B＝A可得B⊆A，故充分性成立，由B⊆A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B⊆A”的充要条件，故A错误；对于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，设为x1，x2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m－32－4m>0，,x1x2＝m<0，))解得m<0，满足必要性，当m<0时，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，则方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根，满足充分性，所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一负根”的充要条件是“m<0”，故B正确；对于C，若幂函数y＝为反比例函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1＝1，,m2＋m－1＝－1，))解得m＝0，满足必要性，当m＝0时，函数y＝x－1为幂函数，也为反比例函数，满足充分性，所以“幂函数y＝为反比例函数”的充要条件是“m＝0”，故C正确；对于D，若函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调，则1<m<3，所以“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是“1≤m≤3”，故D正确．三、填空题11．在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sinA＝sinB”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充要解析在△ABC中，∠A＝∠B⇔a＝b⇔sinA＝sinB，故“∠A＝∠B”是“sinA＝sinB”的充要条件．12．为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：________________.答案存在一个素数不是奇数解析因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数．13．设p：4x－3<1，q：x－2a－1<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．答案(0，＋∞)解析由4x－3<1，解得x<1，即p：x<1，记A＝{x|x<1}；由x－(2a＋1)<0，解得x<2a＋1，即q:x<2a＋1，记B＝{x|x<2a＋1}，因为p是q的充分不必要条件，所以AB，即2a＋1>1，解得a>0，所以a的取值范围是(0，＋∞)．14．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的________________．(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)答案必要不充分条件解析由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”是逻辑中的必要不充分条件．15．已知等比数列{an}的首项为1，则“a2021<a2024”是“a2023<a2025”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析设等比数列的公比为q，若a2021<a2024，则a2021－a2024<0，即a2021(1－q3)<0.因为a1＝1>0，所以a2021＝a1q2020>0，所以q3>1，所以q>1；若a2023<a2025，则a2023－a2025<0，即a2023(1－q2)<0.因为a1＝1>0，所以a2023＝a1q2022>0，所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.所以“a2021<a2024”是“a2023<a2025”的充分不必要条件．16．已知函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析依题意知f(x)max≤g(x)max.∵f(x)＝x＋eq\f(4,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，∴f(x)max＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(17,2).又g(x)＝2x＋a在[2,3]上单调递增，∴g(x)max＝8＋a，因此eq\f(17,2)≤8＋a，则a≥eq\f(1,2).§1.1集合课标要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集{x|x∈U，且x∉A}∁UA常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(×)(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．(√)2．(必修第一册P14T4改编)设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁RA)∩B等于()A．{x|2<x≤3}B．{x|7<x<10}C．{x|2<x<3或7≤x<10}D．{x|2<x≤3或7<x<10}答案C解析因为∁RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．3．(必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________.答案2解析因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2.4．(必修第一册P9T5改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．答案[2，＋∞)解析因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.题型一集合的含义与表示例1(1)(2023·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为()A．1B．2C．3D．4答案D解析集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直线x＋y＝0上的所有点，因为直线x＋y＝0经过圆心(0,0)，所以直线与圆相交，所以A∩B的元素个数为2，则A∩B的子集个数为4.(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为()A．2B．3C．0D．－2答案B解析因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}．当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性；当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性；当m＝3时，A＝{0,3,2}，符合题意．综上所述，m＝3.思维升华解决集合含义问题的关键点(1)一是确定构成集合的元素．(2)确定元素的限制条件．(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1(1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为()A．3B．4C．5D．6答案B解析因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的个数为4.(2)若含有3个实数的集合既可表示成eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2024＋b2024＝________.答案1解析因为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，显然a≠0，所以eq\f(b,a)＝0，即b＝0；此时两集合分别是{a,1,0}，{a，a2,0}，则a2＝1，解得a＝1或a＝－1.当a＝1时，不满足互异性，故舍去；当a＝－1时，满足题意．所以a2024＋b2024＝(－1)2024＋02024＝1.题型二集合间的基本关系例2(1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则()A．A⊆B B．B⊆AC．A∩B＝∅ D．A∪B＝R答案A解析因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}，所以A⊆B.(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(0,1)答案A解析∵B⊆A，∴①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．②若B≠∅，即ax＋1≤0有解，当a>0时，可得x≤－eq\f(1,a)，要使B⊆A，则需要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,－\f(1,a)<－1，))解得0<a<1；当a<0时，可得x≥－eq\f(1,a)，要使B⊆A，则需要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－\f(1,a)≥3，))解得－eq\f(1,3)≤a<0，综上，实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)).思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练2(1)已知集合M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是()A．MN B．NMC．M⊆∁RN D．N⊆∁RM答案B解析因为M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM.(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，当x∈Z时，集合A的非空真子集的个数为________；当B⊆A时，实数m的取值范围是________．答案254{m|m≤－2或－1≤m≤2}解析易得A＝{x|－2≤x≤5}．若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅，B⊆A；②当m>－2时，B＝{x|m－1<x<2m＋1}≠∅，因此，要使B⊆A，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,2m＋1≤5，))解得－1≤m≤2.综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2或－1≤m≤2}．题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于()A．{x|0≤x<2} B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C．{x|3≤x<16} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))答案D解析因为M＝{x|eq\r(x)<4}，所以M＝{x|0≤x<16}；因为N＝{x|3x≥1}，所以N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3))))).所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16)))).(2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论中正确的是()A．M∩(∁RN)＝∅B．M∪(∁RN)＝RC．(∁RM)∪(∁RN)＝∁RMD．(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM答案BD解析∵N∩(∁RM)＝∅，∴N⊆M，如图，若N是M的真子集，则M∩(∁RN)≠∅，故A错误；由N⊆M可得M∪(∁RN)＝R，故B正确；由N⊆M可得∁RN⊇∁RM，故C错误，D正确．命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．0D．－eq\f(1,2)答案BCD解析由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＝0，满足题意；当B≠∅时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，－eq\f(1,m)＝2或－eq\f(1,m)＝－3，解得m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(1,3)，综上，m＝0或－eq\f(1,2)或eq\f(1,3).(2)(2024·本溪模拟)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为()A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案A解析因为B＝{x|x>a}，所以∁RB＝{x|x≤a}，又A∩(∁RB)＝A，所以A⊆∁RB，又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0,1]．思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3(1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则()A．(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}B．(∁RA)∩B＝{x|1<x<2}C．A∩B＝{x|2<x<3}D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集答案ACD解析由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以∁RA＝{x|0≤x≤2}，对于A，因为B＝{x|1<x<3}，所以(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确；对于B，因为B＝{x|1<x<3}，所以(∁RA)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B错误；对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正确；对于D，因为A∩B＝{x|2<x<3}，所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正确．(2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为()A．(－∞，1] B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案B解析因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅，则a－1≤1，解得a≤2.题型四集合的新定义问题例5(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a；③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有()A．G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群B．G＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k)，k∈Z，k≠0))))∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群C．实数集关于数的加法构成群D．G＝{m＋eq\r(2)n|m，n∈Z}关于数的加法构成群答案CD解析对于A，若G＝{－1,0,1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G，满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1，但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误；对于B，因为a＝eq\f(1,2)∈G，且b＝3∈G，但a·b＝eq\f(1,2)×3＝eq\f(3,2)∉G，故B错误；对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R，满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0，∀a∈R，∃b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确；对于D，若G＝{m＋eq\r(2)n|m，n∈Z}，则对所有的a＝m1＋eq\r(2)n1，b＝m2＋eq\r(2)n2∈G，有a＋b＝(m1＋m2)＋eq\r(2)(n1＋n2)∈G，∀a，b，c∈G，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)成立，即①成立，当a＝b＝0时，a＋eq\r(2)b＝0，满足②的e＝0，即②成立，∀a＝m＋eq\r(2)n∈G，∃b＝－m－eq\r(2)n∈G，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故D正确．思维升华集合新定义问题的“三定”(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．跟踪训练4(多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为()A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集C．封闭集一定是无限集D．若A为封闭集，则一定有0∈A答案BD解析对于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误；对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确；对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确．课时精练一、单项选择题1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM＝{1,3}，则()A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M答案A解析由题意知M＝{2,4,5}．2．(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于()A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}C．{－2} D．{2}答案C解析方法一因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}．方法二因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．3．(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集个数为()A．2B．4C．8D．16答案B解析A＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，故子集个数为22＝4.4．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是()A．(∁UA)∩B B．A∩BC．(∁UA)∩(∁UB) D．A∩(∁UB)答案D解析由Venn图表示集合U，A，B如图，由图可得(∁UA)∩B＝∁BA，A∩B＝A，(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB，A∩(∁UB)＝∅.5．(2024·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于()A．0或4 B．1或4C．0 D．4答案A解析∵B⊆A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2，当m＝4时，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，满足题意；当m＝m2时，得m＝0或m＝1，当m＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，满足题意；当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性．综上，m可取0,4.6．已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁RN，则()A．M∩N≠∅ B．M⊆NC．N⊆M D．M＝N答案A解析因为x∉∁RN，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠∅，故A正确；由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B，C，D错误．7.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为()A．(－∞，1]∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)C．[1,2) D．(1,2]答案A解析B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝R，即∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}，所以∁U(A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．8．设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为()A．7B．8C．9D．10答案B解析当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}；当|