中考数学二轮培优 模型 方法 技巧突破专题2-1 将军饮马等8类常见最值问题（原卷版）

专题2-1将军饮马等8类常见最值问题TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型一两定一动型（线段和差最值问题）题型二双动点最值问题（两次对称）题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）题型四垂线段最短题型五相对运动平移型将军饮马题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马题型七化斜为直，斜大于直题型八构造二次函数模型求最值一、单动点问题【问题1】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小问题解决：连接AB，与l交点即为P，两点之间线段最短PA＋PB最小值为AB 【问题2】在直线l上求一点P，使PA＋PB最小问题解决：作B关于l的对称点B'⇒PB＝PB'，则PA＋PB＝PA＋PB'，当A，P，B'共线时取最小，原理：两点之间线段最短，即PA＋PB最小值为AB' 【问题3】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大问题解决：连接AB，当A，B，P共线时取最大原理：三角形两边之和大于第三边，在△AB'P中，|PA－PB'|≤AB' 【问题4】在直线l上求一点P，使|PA－PB|最大问题解决：作B关于直线l的对称点B'⇒PB＝PB'，|PA－PB|＝|PA－PB'|原理：三角形两边之和大于第三边，连接AB'，在△AB'P中|PA－PB'|≤AB' 二、双动点问题（作两次对称）【问题5】在直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别求点M，N，使△PMN周长最小问题解决：分别作点P关于两直线的对称点P’和P''，PM＝P'M，PN＝P''N，原理：两点之间线段最短，P'，P''，与两直线交点即为M，N，则AM＋MN＋PN的最小值为线段P'P''的长 【问题6】P，Q为定点，在直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别求点M，N，使四边形PQMN周长最小问题解决：分别作点P，Q关于直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对称点P’和Q'，PM＝P'M，QN＝Q'N原理：两点之间线段最短，连接P'Q'，与两直线交点即为M，N，则PM＋MN＋QN的最小值为线段P'Q'的长，周长最小值为P'Q'＋PQ 【问题7】A，B分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的定点，M，N分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，求SKIPIF1<0最小值问题解决：分别作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即所求原理：两点之间距离最短，A'，N，M，B'共线时取最小，则AN＋MN＋BM＝A'N＋MN＋B'M≤A'B' 三、动线段问题（造桥选址）【问题8】直线m∥n，在m，n上分别求点M，N，使MN⊥m，且AM＋MN＋BN的最小值问题解决：将点B向上平移MN的长度单位得B'，连接B'M，当AB'M共线时有最小值原理：通过构造平行四边形转换成普通将军饮马，AM＋MN＋BN＝AM＋MN＋B'M≤AB'＋MN 【问题9】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求SKIPIF1<0的最小值问题解决：将B点向左移动a个单位长度，再作B'关于直线l的对称点B''，当SKIPIF1<0共线有最小值原理：通过平移构造平行四边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 四、垂线段最短【问题10】在直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别求点A，B，使PB＋AB最小问题解决：作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于A，交SKIPIF1<0于B，SKIPIF1<0即所求原理：点到直线，垂线段最短，SKIPIF1<0五、相对运动，平移型将军饮马【问题11】在直线l上求两点M，N(M在左）且MN＝a，求AM＋AN的最小值 问题解决：相对运动或构造平行四边形策略一：相对运动思想过点A作MN的平行线，相对MN，点A在该平行线上运动，则可转化为普通饮马问题策略二：构造平行四边形等量代换，同问题9.六、瓜豆轨迹，手拉手藏轨迹【问题12】如图，点P在直线BC上运动，将点P绕定点A逆时针旋转90°，得到点Q，求Q点轨迹？ 问题解决：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．原理：由手拉手可知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,故Q点轨迹为直线七、化斜为直，斜大于直【问题13】已知：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0斜边上的高（1）求SKIPIF1<0的最大值；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值 问题解决：取BC中点M，（1）则SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0八、构造二次函数求最值这类问题一般无法通过纯几何方法来解决或几何方法比较复杂，需要通过面积法或者构造全等、相似建立等量关系，将待求的线段或图形的面积用含有自变量的式子来表示，一般是一个二次函数或者换元后是一个二次函数，然后通过配方得到最值．当然，配方的目的是为了避开基本不等式这个超纲的知识点，如果是选择题或填空题，你可以直接用基本不等式来秒杀，不需要配方．【问题14】正方形SKIPIF1<0的边长为6，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上一动点，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0边于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0长度的最大值为.问题解决：根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到SKIPIF1<0，进而根据相似比得到SKIPIF1<0，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案【详解】易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时有最大值，最大值为SKIPIF1<0题型一两定一动型（线段和差最值问题）（2023·西安·模拟预测）如图，正方形SKIPIF1<0的边长为4，点M在边SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，P为正方形内（含边上）一点，且SKIPIF1<0，G为边SKIPIF1<0上一动点，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．

透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，SKIPIF1<0），点C的坐标为（1，0），且∠AOB=30°点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0如图，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的同侧，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的一个动点，记SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．160 B．150 C．140 D．130如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．动点P满足S△PBC＝S矩形ABCD．则点P到B，C两点距离之和PB+PC的最小值为。（2023·泰州·三模）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，从点SKIPIF1<0出发向右运动，速度为每秒SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，从点SKIPIF1<0出发向右运动，速度为每秒SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．

已知SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则S的最小值为．探究式子SKIPIF1<0的最小值.小胖同学运用“数形结合”的思想：如图，取SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，可求得SKIPIF1<0的最小值为，已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是．

如图，A、B两点在直线SKIPIF1<0外的同侧，A到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，B到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，点P在直线SKIPIF1<0上运动，则SKIPIF1<0的最大值等于．已知：如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．动点SKIPIF1<0为矩形SKIPIF1<0内一点，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0周长的最小值为．2022·绥化·中考真题在平面直角坐标系中，已知一次函数SKIPIF1<0与坐标轴分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且与反比例函数SKIPIF1<0的图象在第一象限内交于P，K两点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若C为线段SKIPIF1<0上的一个动点，当SKIPIF1<0最小时，求SKIPIF1<0的面积．题型二双动点最值问题（两次对称）如图所示，E为边长是2的正方形ABCD的中点，M为BC上一点，N为CD上一点，连EM、MN、NA，则四边形AEMN周长的最小值为。（2023·淄博·一模）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，当SKIPIF1<0的周长最小时，SKIPIF1<0°．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为。（2023·西安·二模）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的动点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0周长的最小值为．

如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，对角线SKIPIF1<0相交于点O，点E、F分别是边SKIPIF1<0上的点，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0周长的最小值是．

题型三动线段问题：造桥选址（构造平行四边形）鞍山·中考真题如图，在平面直角坐标系中，已知SKIPIF1<0，在x轴上取两点C，D（点C在点D左侧），且始终保持SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0在x轴上平移，当SKIPIF1<0的值最小时，点C的坐标为．聊城·中考真题如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为．如图，在平面直角坐标系中有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．将直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0向上平移SKIPIF1<0个单位长度得到直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则折线SKIPIF1<0的长SKIPIF1<0的最小值为．广西来宾中考真题如图，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，向左或向右平移抛物线后，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对应点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当四边形SKIPIF1<0的周长最小时，抛物线的解析式为．题型四垂线段最短（2023下·湛江·二模）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0边上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为．

如图，∠MON＝45°，OP平分∠MON，点A为射线OM上一点，OA＝4，点E，F分别为射线OP，OM上的动点，连接AE，EF，则AE＋EF的最小值为_________．MMFOAENP2022·贵州毕节·中考真题如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点P为SKIPIF1<0边上任意一点，连接SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为邻边作平行四边形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0长度的最小值为．2022铜仁如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内，点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN＋NP的最小值为_________．MMDCBAPNE（2023·鸡西·三模）如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为．

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE，将△DEC绕点C旋转，在旋转过程中，直线AD与BE相交于点H，如图2，则AH的最大值为_________．AABCEDABCDEH图2图1题型五相对运动平移型将军饮马如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，把边SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0平移，点SKIPIF1<0分别对应点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为．

如图，已知点P（0，3），等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，BC在x轴上滑动时，PA+PB的最小值是。如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则△AEF周长的最小值是。广东省深圳市宝安区一模如图，在菱形ABCD中，AB＝，∠BCD＝120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN＝CD，连接CM、AM、BN，连接AN，则AM＋AN的最小值是________．

如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线AC翻折，得到△AB′C，再将△AB′C在直线AC上平移，得到△A′B″C′，则△BB″C′的周长的最小值为。2023·齐齐哈尔·中考真题如图，抛物线SKIPIF1<0上的点A，C坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且SKIPIF1<0．

将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点SKIPIF1<0，点C的对应点为点SKIPIF1<0，在抛物线平移过程中，当SKIPIF1<0的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，SKIPIF1<0的最小值为______．题型六通过瓜豆得出轨迹后将军饮马（2023·徐州·模拟预测）等边SKIPIF1<0边长为6，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上运动，连接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0下方作等边SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0周长的最小值为．如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段SKIPIF1<0绕点P逆时针旋转SKIPIF1<0得到线段SKIPIF1<0，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点SKIPIF1<0，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）

A．4 B．SKIPIF1<0 C．8 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，斜边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D是AC边上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接CE，则BE＋CE的最小值为．陕西榆林·二模如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，M为BC上一点，连接MA，将线段MA绕点M顺时针90°得到线段MN，连接CN、DN，则CN+DN的最小值为．2022·淮安·中考真题二次函数SKIPIF1<0的图像与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0点，直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的一个动点，连接SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的值最小时，直接写出SKIPIF1<0的长．

题型七化斜为直，斜大于直台州·中考真题如图，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0上的动点，连接SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点．设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为m，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的距离为n，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则m＋n的最大值为_____．如图，等边△ABC的边长为4，点D，E分别在边AB，AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，则CE的最大值为_________．AAFBDEC如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段PQ长度的最小值为。如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，P是边AB上一动点，Q是边BC上一动点，且始终有∠CPQ＝90°，则线段CQ长的取值范围为.如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为．连云港·中考真题如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则SKIPIF1<0的最大值是．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D为AC边上一动点，过点D作DE⊥BD交AB于点E．当点D从点A运动到点C时，AE的最大值为_________，点E运动的路径长为_________．CCDBEA题型八构造二次函数模型求最值2023·辽宁大连一模如图，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P为x轴上一动点，将线段SKIPIF1<0绕点P顺时针旋转90°得到SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的最小值是如图，△ABC和△ABD是两个全等的直角三角形，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD＝eq\r(,3)，BC＝BD＝1．若P、Q分别是边AC、AD上的动点，且始终保持PC＝QA，连接PQ交AB于点M，则AM长度的最大值为_____________．AABDCQPM（2023·江苏淮安·一模）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0从SKIPIF1<0出发向SKIPIF1<0运动，同时SKIPIF1<0以相同的速度从SKIPIF1<0出发向SKIPIF1<0运动，SKIPIF1<0运动到SKIPIF1<0停止．当SKIPIF1<0为时，SKIPIF1<0的面积最大．无锡中考真题如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，BC＝4，点D是AB边上的一个动点，连接CD，以CD为边向上作正方形CDEF，连接BE，则△BDE的面积的最大值