中考数学二轮培优 模型 方法 技巧突破专题2-7 二次函数中的最值问题（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题2－7二次函数中的最值问题TOC\o"1-3"\n\h\z\u一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问题型一【铅垂高系列】2023·四川凉山·中考真题2022·天津·中考真题2022·湖北襄阳·统考中考真题2023·湖南娄底·中考真题2023·湖南中考真题2023·青海西宁·中考真题2023·四川广安·中考真题2023·湖南永州·中考真题2022·四川广元·中考真题题型二【线段和差最值篇】2023·湖南张家界中考真题2022·山东淄博·统考中考真题2022·四川遂宁中考真题题型三【构造二次函数模型求最值】2023·山东东营·中考真题2023·四川巴中·中考真题2023·湖南张家界中考真题2023·山东聊城·中考真题2022·湖北襄阳中考真题2023·湖北荆州中考真题2022·江苏连云港中考真题2022·湖南岳阳·中考真题2023·宁夏·中考真题2023·湖北襄阳中考真题题型四【加权线段最值】2023·四川内江·中考真题2023·黑龙江绥化·中考真题题型五【几何构造最值篇】2022·天津·统考中考真题一题可破万题山——二次函数最值常见模型小结，一题20问母题：如图，已知抛物线过A（4，0）、B（0，4）、C（－2，0）三点，P是抛物线上一点求抛物线解析式【答案】SKIPIF1<0【铅垂高系列】本来这个属于构造二次函数型最值问题，但是比较特殊所以单独拿出来（☆）若P在直线AB上方，求四边形PBCA面积最大值，【答案】16补充二级结论SKIPIF1<0【思路分析】先分离出面积为定值的△ABC，△ABC面积为12设PSKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(上面的点减去下面的点)当SKIPIF1<0时，PH取最大值2，此时△APB面积为：SKIPIF1<0(AO是△PBH，△PAH两个三角形高之和)（☆）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，F在线段AB上，求PF最大值【答案】SKIPIF1<0【思路分析】过P作PH平行y轴，H在AB上导角可知△PFH~△AOB为等腰直角三角形，PH取最大时，PF也取到最大（★）若P在直线AB上方，作PF⊥AB，交线段AB于F，作PE∥y轴交AB于E，求△PEF周长和面积的最大值【答案】2＋2SKIPIF1<0和1【思路分析】△PEF形状固定，SKIPIF1<0若P在直线AB上方，连接OP，交AB于D，求SKIPIF1<0的最大值【答案】【思路分析】化斜为直，平行线，构造8字相似转换SKIPIF1<0（★☆）若P在直线AB上方，连接CP，交AB于D，△PDA面积为S1，△CDA面积为S2，求SKIPIF1<0的最小值【答案】SKIPIF1<0【思路分析】化斜为自第一步：面积比转换为共线的边之比SKIPIF1<0第二步：构造，共线的边之比转换成平行边之比SKIPIF1<0（★☆）点D是点B关于关于x轴的对称点，连接CD，点P是第一象限上一点，求△PCD面积最大值 【答案】12【思路分析】过动点P作y轴平行线交对边(延长)于点HSKIPIF1<0推导过程如下：以PH为底，设△PHC的高为h1，△PDH的高为SKIPIF1<0SKIPIF1<0【几何构造最值篇】（☆）点E是对称轴与x轴交点，过E作一条任意直线l，（点B、C分别在直线l的异侧），设C、B两点到直线l的距离分别为m、n，求m＋n的最大值 【答案】2SKIPIF1<0【思路分析】SKIPIF1<0特殊位置时有最小值，大多数题目都是共线时有最值，所以要重点去分析共线时的情况（☆）已知线段BC上有两点E(1，3)，F(3，1)，试在x，y轴上有两动点M和N，使得四边形FMNE周长最小。【答案】SKIPIF1<0【思路分析】作两次对称即可，普通将军饮马问题，SKIPIF1<0（★）若y轴上有两点M（0，a）和N（0，a＋2），求△CMN周长的最小值 【答案】SKIPIF1<0【思路分析】造桥选址问题，C点向上平移2个单位，得到平行四边形SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，接下来就是常规的将军饮马了（★☆）点D为抛物线顶点，直线AD上有一点Q，连接BQ，将△BDQ沿BQ折叠得△BD’Q，求OD’的最小值连接OD’，M是线段OD’的中点，求AM的最小值【答案】①4－SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【思路分析】(1)D’轨迹为圆（2）把A点变为中点，则AM是中位线，点圆最值问题（★★☆）（隐圆）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DE⊥x轴于点E，设△ADE的内心为I，试求BI的最小值．【答案】SKIPIF1<0【思路分析】易知△ADI≌△AOI(SAS)，∠AID＝∠AIO＝135°，而OA为定线段则点I在以OA为弦，所含的圆周角等于135°的圆弧上，设该圆的圆心为F，连接FO，FA，∠OFA＝90°，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【构造二次函数模型求最值】（☆）P在第一象限，作PQ∥x轴交抛物线于Q，过P、Q作x轴垂线交x轴于H、G两点，求矩形PQGH周长的最大值【答案】SKIPIF1<0【思路分析】设点坐标，用字母表示长和宽设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而P和Q点到对称轴的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，PQGH的周长为：SKIPIF1<0（★）在线段AC上有一点D，AB上有一点E，且DE∥BC，求△BDE面积的最大值【答案】3【思路分析】易知△ADE∽△ACB，利用相似比得出高之比设AD＝3m，则E点到x轴的距离为2m，△BDE的面积为：SKIPIF1<0（★★☆）P是第一象限上一点，线段PC交BC于点D，交y轴于点E，△ADP和△BDE的面积分别为S1、S2，求S1－S2的最大值【答案】SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（★★☆）抛物线对称交抛物线于点D，交x轴于点E，M是线段DE上的动点，N(n，0)为x轴上一点，且BM⊥NM．求n的变化范围当n取最大值时，将直线BN向上平移t个单位，使线段BN与抛物线有两个交点，求t的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0【思路分析】①由勾股定理构造出关于n的函数模型，【详解】①设M坐标为(1，m)∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0②SKIPIF1<0⇒设平移后：SKIPIF1<0分析：向上平移当N点落在抛物线上时，恰好有2个交点，此时N点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0继续向上平移，当△＝0，此时只有一个交点SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上SKIPIF1<0

【加权线段最值】（★）若y轴上有一动点M，求AM＋SKIPIF1<0BM的最小值及M点坐标【答案】SKIPIF1<0，M（0，2）【思路分析】胡不归问题，作垂直代换加权线段即可作MH⊥BC于H，则SKIPIF1<0，AG即所求【法一：等面积】SKIPIF1<0，再由相似求出M点坐标法二：SKIPIF1<0，再由三角函数求M点坐标法三：求出AG解析式（★）若动点D从点A出发先以V1的速度朝x轴负方向运动到G，再以V2的速度向B点运动，且V1＝2V2，当运动时间最短时，求点G的坐标（V1为定值）【答案】SKIPIF1<0【思路分析】还是胡不归问题，只不过需要翻译成加权线段和【简析】设运动总时间为t，SKIPIF1<0以A为顶点，在x轴下方构造一个30°的角，作垂线即可进行代换，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时取到最小值．

（☆☆）将线段CO绕O点进行旋转，得线段C’O，在旋转过程中，求SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0的最小值．【答案】SKIPIF1<0【思路分析】通过构造子母型相似代换SKIPIF1<0，阿氏圆模型取点SKIPIF1<0，通过SAS可知SKIPIF1<0，相似比为2，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0（★☆）点D（3，4），G是x轴上一动点，求GD－SKIPIF1<0AG的最小值【答案】SKIPIF1<0【思路分析】相减型胡不归，反方向构造相关角如图，作SKIPIF1<0于E，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当G，D，E三点共线时取到最小值，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0题型一【铅垂高系列】2023·四川凉山·中考真题如图，已知抛物线与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0过抛物线的顶点SKIPIF1<0．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线SKIPIF1<0与抛物线交于点SKIPIF1<0，与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取得最大值时，求SKIPIF1<0的值和SKIPIF1<0的最大值【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值，最大值为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出SKIPIF1<0，进而求出直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，进一步求出SKIPIF1<0，由此即可利用二次函数的性质求出答案【详解】（1）解：∵抛物线与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两点，∴抛物线对称轴为直线SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴抛物线顶点P的坐标为SKIPIF1<0，设抛物线解析式为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴抛物线解析式为SKIPIF1<0（2）解：∵抛物线解析式为SKIPIF1<0，点C是抛物线与y轴的交点，∴SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，∵直线SKIPIF1<0与抛物线交于点SKIPIF1<0，与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值，最大值为SKIPIF1<0；2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线SKIPIF1<0（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P为线段SKIPIF1<0上的动点，过P作SKIPIF1<0//SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点Q．(1)求该抛物线的解析式；(2)求SKIPIF1<0面积的最大值，并求此时P点坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)2；P（-1，0）【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由SKIPIF1<0列出函数式求解即可．【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4，∴点B的坐标为（-3，0），将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：SKIPIF1<0，解得：b=2，c=-3，∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0；（2）解：由（1）得抛物线的解析式为SKIPIF1<0，顶点式为：SKIPIF1<0，则C点坐标为：（-1，-4），由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，∵PQ∥BC，设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点PSKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，∵P在线段AB上，∴SKIPIF1<0，∴n的取值范围为-6＜n＜2，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴当n=-2时，即P（-1，0）时，SKIPIF1<0最大，最大值为2．2022·天津·中考真题已知抛物线SKIPIF1<0（a，b，c是常数，SKIPIF1<0）的顶点为P，与x轴相交于点SKIPIF1<0和点B．(1)若SKIPIF1<0，①求点P的坐标；②直线SKIPIF1<0（m是常数，SKIPIF1<0）与抛物线相交于点M，与SKIPIF1<0相交于点G，当SKIPIF1<0取得最大值时，求点M，G的坐标【答案】(1)①SKIPIF1<0；②点M的坐标为SKIPIF1<0，点G的坐标为SKIPIF1<0；【分析】（1）①将b、c的值代入解析式，再将A点坐标代入解析式即可求出a的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B点坐标，再求出直线BP的解析式，设点M的坐标为SKIPIF1<0，则点G的坐标为SKIPIF1<0，再表示出MG的长，配方求出最值得到M、G的坐标；（2）根据SKIPIF1<0，解析式经过A点，可得到解析式：SKIPIF1<0，再表示出P点坐标，N点坐标，接着作点P关于y轴的对称点SKIPIF1<0，作点N关于x轴的对称点SKIPIF1<0，再把SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的坐标表示出来，由题意可知，当SKIPIF1<0取得最小值，此时SKIPIF1<0，将字母代入可得：SKIPIF1<0，求出a的值，即可得到E、F的坐标；【详解】（1）①∵抛物线SKIPIF1<0与x轴相交于点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴点P的坐标为SKIPIF1<0．②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴点B的坐标为SKIPIF1<0．设经过B，P两点的直线的解析式为SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0．∵直线SKIPIF1<0（m是常数，SKIPIF1<0）与抛物线SKIPIF1<0相交于点M，与SKIPIF1<0相交于点G，如图所示：∴点M的坐标为SKIPIF1<0，点G的坐标为SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值1．此时，点M的坐标为SKIPIF1<0，点G的坐标为SKIPIF1<0．2022·湖北襄阳·统考中考真题在平面直角坐标系中，直线y＝mx-2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝-x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；【答案】（1）∵直线SKIPIF1<0与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，-2m）．∵SKIPIF1<0，∴抛物线的顶点坐标是D（m，2）．令x=0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．①当m=2时，-2m=-4，则SKIPIF1<0，∴点B（0，-4），C（0，-2），D（2，2）；②由上可知，直线AB的解析式为SKIPIF1<0，抛物线的解析式为SKIPIF1<0，如图，过点P作SKIPIF1<0轴交直线AB于点E．设点P的横坐标为t，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴△PAB的面积=SKIPIF1<0，∵-1＜0，∴当t=1时，△PAB的面积的最大值为3，此时P（1，1）2023·湖南娄底·中考真题如图，抛物线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．(2)点SKIPIF1<0是抛物线上的动点,当SKIPIF1<0取何值时，SKIPIF1<0的面积最大？并求出SKIPIF1<0面积的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积由最大值，最大值为SKIPIF1<0【分析】（1）将将SKIPIF1<0、SKIPIF1<0代入抛物线SKIPIF1<0即可求解；（2）由（1）可知：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，过点P作SKIPIF1<0轴，交SKIPIF1<0于点E，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即可求解；【详解】（1）解：将SKIPIF1<0、SKIPIF1<0代入抛物线SKIPIF1<0中，可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）①由（1）可知：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0，过点P作SKIPIF1<0轴，交SKIPIF1<0于点E，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴点E的横坐标也为SKIPIF1<0，则纵坐标为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的面积有最大值，最大值为SKIPIF1<02023·湖南中考真题如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，且与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的右侧），点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的一动点，设点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0．

(1)求抛物线的解析式．(2)过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，与拋物线交于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0，(2)SKIPIF1<0【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）根据题意，联立抛物线与直线，求得点SKIPIF1<0的横坐标，表示出SKIPIF1<0的长，根据二次函数的性质求得SKIPIF1<0的最大值，根据SKIPIF1<0即可求解；【详解】（1）解：∵抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线解析式为：SKIPIF1<0；（2）解：∵抛物线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的右侧）联立SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的一动点，设点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值为SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0最大，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面积的最大值SKIPIF1<02023·青海西宁·中考真题如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点SKIPIF1<0，与y轴交于点SKIPIF1<0，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线SKIPIF1<0．

(1)求直线l的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作SKIPIF1<0轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作SKIPIF1<0，垂足为M．求SKIPIF1<0的最大值及此时P点的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，此时的P点坐标是SKIPIF1<0【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据题意可设抛物线的解析式为SKIPIF1<0，再利用待定系数法求解即可；（3）由题意易证SKIPIF1<0为等腰直角三角形，即得出SKIPIF1<0．设点P的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，从而可求出SKIPIF1<0．再结合二次函数的性质可知：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值是SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最大，进而即可求解．【详解】（1）解：设直线l的解析式为SKIPIF1<0，把A，B两点的坐标代入解析式，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴直线l的解析式为SKIPIF1<0；（2）解：设抛物线的解析式为SKIPIF1<0，∵抛物线的对称轴为直线SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．把A，B两点坐标代入解析式，得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0；（3）解：∵SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0．∵在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．设点P的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值是SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最大，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，此时的P点坐标是SKIPIF1<0．2023·四川广安·中考真题如图，二次函数SKIPIF1<0的图象交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，对称轴是直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴上一动点，SKIPIF1<0轴，交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交抛物线于点SKIPIF1<0．

(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上运动（点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0、点SKIPIF1<0不重合），求四边形SKIPIF1<0面积的最大值，并求出此时点SKIPIF1<0的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出SKIPIF1<0，再把SKIPIF1<0代入二次函数解析式中进行求解即可；（2）先求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；再由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，最大值为SKIPIF1<0，此时点P的坐标为SKIPIF1<0；【详解】（1）解：∵二次函数SKIPIF1<0的对称轴为直线SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵二次函数经过点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴二次函数解析式为SKIPIF1<0；（2）解：∵二次函数经过点SKIPIF1<0，且对称轴为直线SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵二次函数SKIPIF1<0与y轴交于点C，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，最大值为SKIPIF1<0，∴此时点P的坐标为SKIPIF1<02023·湖南永州·中考真题如图，抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数）经过点SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为抛物线上的动点，SKIPIF1<0轴于H，且SKIPIF1<0．

(1)求抛物线的表达式；(2)如图，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值；【答案】(1)SKIPIF1<0,(2)SKIPIF1<0,(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0值，即可求出抛物线解析式．（2）利用抛物线的解析式可知道SKIPIF1<0点坐标，从而求出直线SKIPIF1<0的解析式，从而设SKIPIF1<0，根据直线SKIPIF1<0的解析式SKIPIF1<0可推出SKIPIF1<0，从而可以用SKIPIF1<0表达SKIPIF1<0长度，在观察图形可知SKIPIF1<0，将其SKIPIF1<0和SKIPIF1<0长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据SKIPIF1<0横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出SKIPIF1<0的最大值．【详解】（1）解：SKIPIF1<0抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为常数）经过点SKIPIF1<0，顶点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0抛物线的解析式为：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．（2）解：过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，如图所示，

SKIPIF1<0抛物线的解析式为：SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值，且最大值为：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．2022·四川广元·中考真题在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．(1)求a，b满足的关系式及c的值；(2)当a＝SKIPIF1<0时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；(3)当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【答案】(1)2a=b+1，c=-2；(2)△PAB的周长最小值是2SKIPIF1<0+2SKIPIF1<0；(3)此时Q（-1，-2），DQ最大值为SKIPIF1<0．【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=SKIPIF1<0EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，∴SKIPIF1<0，∴2a=b+1，c=-2；（2）解：当a=SKIPIF1<0时，则b=-SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为y=SKIPIF1<0x2-SKIPIF1<0x-2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A的坐标为(-2，0)，∴点C的坐标为(4，0)，△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，∵点A、C关于直线x=1对称，∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2SKIPIF1<0，AB=2SKIPIF1<0，∴△PAB的周长最小值是：2SKIPIF1<0+2SKIPIF1<0．（3）解：当a=1时，b=1，∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=SKIPIF1<0EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=SKIPIF1<0QE=-SKIPIF1<0(t2+2t)=-SKIPIF1<0(t+1)2+SKIPIF1<0，当t=-1时，DQ有最大值SKIPIF1<0，此时Q（-1，-2）．已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为C，连接，点P在线段下方的抛物线上运动．

(1)如图1，连接，，若，求点P的坐标．(2)如图2，过点P作轴交于点Q，交于点H，求周长的最大值．【答案】(1)或；(2)最大值为；【分析】（1）如图，作轴，交直线于点D，由，得，，待定系数法确定直线解析式为，设，则，，得，解得或3，于是或．（2）如图，可证得是等腰直角三角形，，周长，同（1），设，周长，得当时，最大值为．【详解】（1）解：如图，作轴，交直线于点D，

由，时，，得，，则，解得或，得,设直线解析式为，则，解得∴设，则，∴，解得，或3，或∴或．（2）解：如图，，∴∵轴∴∴∴∴周长同（1），设，则，∴周长∴当时，点P在线段下方的抛物线上，此时周长有最大值，最大值为．

题型二【线段和差最值篇】2023·湖南张家界中考真题如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数SKIPIF1<0的图象与x轴交于点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0两点，与y轴交于点SKIPIF1<0．点D为线段SKIPIF1<0上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；(2)如图，求SKIPIF1<0周长的最小值；【答案】(1)SKIPIF1<0,(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入求解即可；（2）作点O关于直线SKIPIF1<0的对称点E，连接SKIPIF1<0，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，连接AE，交SKIPIF1<0于点D，由对称性SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入上式得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以抛物线的表达式为SKIPIF1<0；（2）作点O关于直线SKIPIF1<0的对称点E，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵O、E关于直线SKIPIF1<0对称，∴四边形SKIPIF1<0为正方形，∴SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点D，由对称性SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有最小值为SKIPIF1<0的长，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为10，∴SKIPIF1<0的周长的最小值为SKIPIF1<0；2022·四川遂宁中考真题如图，在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为SKIPIF1<0，点C的坐标为SKIPIF1<0．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，E为SKIPIF1<0边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的最小值【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0周长的最小值为SKIPIF1<0【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）设SKIPIF1<0为D关于直线SKIPIF1<0的对称点，SKIPIF1<0为D关于直线BC的对称点，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由对称的性质可知当SKIPIF1<0、E、F、SKIPIF1<0在同一直线上时，SKIPIF1<0的周长最小，最小值为SKIPIF1<0的长度，再证明SKIPIF1<0为等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可；【详解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴抛物线的解析式为SKIPIF1<0．（2）如图，设SKIPIF1<0为D关于直线SKIPIF1<0的对称点，SKIPIF1<0为D关于直线BC的对称点，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由对称的性质可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0、E、F、SKIPIF1<0在同一直线上时，SKIPIF1<0的周长最小，最小值为SKIPIF1<0的长度．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴B的坐标为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形．∵BC垂直平分SKIPIF1<0，且D的坐标为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又∵D、SKIPIF1<0关于x轴对称，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0周长的最小值为SKIPIF1<0．2022·山东淄博·统考中考真题如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D（1，4）在直线l：y＝SKIPIF1<0x+t上，动点P（m，n）在x轴上方的抛物线上．

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；(2)过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥l于点N，当1＜m＜3时，求PM+PN的最大值【答案】(1)y=SKIPIF1<0x²+2x+3(2)最大值SKIPIF1<0【分析】（1）利用顶点式可得结论；（2）如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0的值最大，求出四边形DTBP的面积的最大值，可得结论；【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为D（1，4），∴根据顶点式，抛物线的解析式为SKIPIF1<0；（2）解：如图，设直线l交x轴于点T，连接PT，BD，BD交PM于点J，设SKIPIF1<0，

点SKIPIF1<0，在直线l：SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴直线DT的解析式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0的值最大，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴直线BD的解析式为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵二次项系数SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，最大值为11，∴SKIPIF1<0的最大值SKIPIF1<0题型三【构造二次函数模型求最值】2023·山东东营·中考真题如图，抛物线过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，矩形SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t为何值时，矩形SKIPIF1<0的周长有最大值？最大值是多少？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0时，矩形SKIPIF1<0的周长有最大值，最大值为SKIPIF1<0【分析】（1）设抛物线的函数表达式为SKIPIF1<0，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；（2）由抛物线的对称性得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，再得出SKIPIF1<0，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为SKIPIF1<0．∵当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴点C的坐标为SKIPIF1<0．将点C坐标代入表达式，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．∴抛物线的函数表达式为SKIPIF1<0．（2）解：由抛物线的对称性得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．∴矩形SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，矩形SKIPIF1<0的周长有最大值，最大值为SKIPIF1<0．2023·四川巴中·中考真题在平面直角坐标系中，抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其顶点的横坐标为SKIPIF1<0．

(1)求抛物线的表达式．(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0