青岛版初中八年级数学上册2-4线段的垂直平分线第3课时最短路径问题课件

第2章图形的轴对称第3课时最短路径问题2.4线段的垂直平分线基础过关全练知识点5利用轴对称知识解决最短路径问题1.(2024湖南长沙雅礼教育集团期中)如图,A、B是两个居民

小区,快递公司准备在公路l上建一个服务中心P,使PA+PB最

短.下面四种选址方案符合要求的是

()

A

BCDA解析作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于点P,则

点P即为所求点,故选A.2.(2023山东菏泽曹县期中)如图,△ABC中,AB=3,AC=5,BC=6,

EF垂直平分BC,点P为直线EF上一动点,则AP+BP的最小值

为

()A.3

B.5

C.6

D.7B解析如图,连接CP,因为EF垂直平分BC,所以BP=CP,所以

AP+BP=AP+CP≥AC=5.故选B.

3.(新独家原创)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶

点坐标分别为A(0,-2)、B(2,-4)、C(4,-1).(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点B1的坐标.(2)在x轴上画一点P,使△PAC的周长最小.解析(1)如图所示,△A1B1C1即为所求,B1(-2,-4).(2)如图所示,作点A关于x轴的对称点D,连接CD交x轴于点P,

所以PA=PD,所以PA+PC=PD+PC=CD,因为两点之间线段最

短,所以此时PA+PC的值最小,因为AC长为定值,所以此时△

PAC的周长最小,所以点P即为所求.能力提升全练4.(2023山东聊城东昌府沙镇中学期末,12,★★☆)如图,∠

AOB=30°,M,N分别是边OA,OB上的定点,P,Q分别是边OB,

OA上的动点,记∠OPM=α,∠OQN=β,当MP+PQ+QN最小时,

关于α,β的数量关系正确的是

()A.β-α=60°

B.β+α=210°C.β-2α=30°

D.β+2α=240°B解析如图,作M关于直线OB的对称点M‘,N关于直线OA的对

称点N’,连接M‘N’交OA于Q,交OB于P,则MP+PQ+QN=M'N',此时MP+PQ+QN的值最小.易知∠OPM=∠OPM'=∠NPQ,∠OQP=∠AQN'=∠AQN,因为

∠OQN=180°-30°-∠ONQ,∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP,∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ,所以β+α=180°-30°-∠ONQ+30°+

30°+∠ONQ=210°.故选B.5.(2024山东聊城冠县期末,7,★★☆)如图所示,在△ABC中,

∠ABC=68°,BD平分∠ABC,P为线段BD上一动点,Q为边AB

上一动点,当AP+PQ的值最小时,∠APB的度数是

()

A.118°

B.125°

C.136°

D.124°D解析在BC上截取BE=BQ,连接PE,如图1所示.因为BD平分

∠ABC,所以∠ABD=∠CBD=

∠ABC=34°,因为BP=BP,所以△PBQ≌△PBE(SAS),所以PE=PQ,所以AP+PQ=AP+PE,所

以当A、P、E在同一条直线上,且AE⊥BC时(如图2所示),AP

+PE最小,最小值为AE的长,此时∠AEB=90°,因为∠ABE=68

°,所以∠BAE=90°-∠ABE=22°,所以∠APB=180°-∠ABP-∠

BAP=124°.素养探究全练6.(空间观念)(动点问题)如图,四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,

AB=25cm,DA=15cm,CB=10cm.动点E从点A出发,以2cm/s

的速度向点B移动,设移动的时间为xs.(1)当x为何值时,点E在线段CD的垂直平分线上?请说明理由.(2)在(1)的条件下,判断DE与CE的位置关系,并说明理由.

解析(1)当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上.理由如下:当x=5时,AE=2×5=10(cm),因为AB=25cm,所以BE=25-10=15(cm).因为DA=15cm,CB=10cm,所以BE=AD,AE=BC,在△ADE和△BEC中,

所以△ADE≌△BEC(SAS),所以DE=CE,所以点E在线段CD的垂直平分线上.故当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上.(2)DE⊥CE.理由如下:由(1)知△ADE≌△BEC,所以∠