《图像压缩编码方法》课件第3章

第3章小波理论在图像编码中的应用3.1引言3.2图像的二维小波变换3.3小波分解的信号边界延拓3.4适合图像压缩的小波基的选择

3.1引言

20世纪90年代初，人们利用小波变换的理论与方法对图像压缩编码的实现进行了广泛而深入的研究，小波理论在图像编码中的应用逐渐成为图像压缩领域的一个重要分支。小波变换的优越之处在于它在时域与频域上同时具有良好的局部化性质，从而可以更加有效地刻画信号的特征。对于图像而言，如果从能量的角度来看，其大部分能量一般集中在低频部分，并且其频带较窄，而其余少部分能量则集中在高频部分，其所占频带较宽。对于高频部分的能量，其中的大部分是由图像中的边缘和细节(或纹理)所产生的。而小波变换正好具有这样的特性，即图像通过小波变换后，能够有效地改变图像的能量分布，其能量主要集中在少数的低频系数上，大部分高频系数只占很少的能量，其中高频能量的大部分集中在边缘对应的系数上，同时不损失原始图像的能量信息。另外，小波变换作用在图像变换中还具有另一个特性，即能够去除图像的全局相关性，具有人的视觉特性。因此，通过小波变换能得到高性能、多用途的图像编码。目前，基于小波变换的图像编码方法已经引起了普遍关注。 3.2图像的二维小波变换

Mallat首先创立了多分辨率分析用于图像数据的压缩，给出了信号分解与合成的快速算法。该算法在小波分析中的地位等同于快速傅立叶算法(FFT)在傅氏分析中的地位。Mallat算法将数学领域的小波方法、计算机视觉中的多分辨率和信号处理中的小波分析方法统一起来。

信号通过Mallat算法可以实现一维信号的多分辨率的快速分解和快速重构，这些方法在2.2节已叙述了，这里只给出Mallat算法进行信号的小波分解与重构的框图，如图3.1所示。图3.1

Mallat算法的小波分解和重构二维的小波变换只是一维小波变换的推广。对于二维数字图像信号，离散小波变换可以通过在水平和垂直方向上分别应用滤波器h(n)、g(n)进行一维滤波来实现，重构是其逆过程，如图3.2所示。图像的小波分解可通过两次一维小波分解来完成，即首先在行方向上作一维小波分解，然后再在列方向上作一维小波分解，如图3.2所示。图3.2二维小波变换的Mallat算法小波变换的结果是每次分解产生一个低频子图LL和三个高频子图(即水平子图LH、垂直子图HL和对角子图HH)。下一次小波变换是在前次产生的低频子图LL的基础上进行的，如此重复三次。在图3.3(d)中，LL3为最低频带子图，LH3其次，HL3再次……而HH1为最高频带子图。图3.3图像的小波分解过程这里我们用L2(R)中的二维多分辨分析。考虑到小波函数的可分离性，L2(R)中的二维多分辨分析可由L2(R)中的多分辨分析推广生成。下面我们简单介绍正交小波的推广，对于双正交小波，结果是类似的。

设{Vj}j∈Z是L2(R)中的一个多分辨分析，Vj+1=Wj+Vj，φ为一维正交尺度函数，为正交小波函数。令

其中，为张量积运算。

因此(3-1)设fj+1∈V2j+1，由V2j+1=V2j⊕W2j可得，存在fj∈V2j，gj∈W2j使

fj+1=fj+gj (3-2)

利用级数展开可得(3-3)可得如下二维Mallat分解与重构算法：(3-4)

利用二维Mallat分解算法，我们可以把一幅图像Cj+1={Cj+1，k，m}k，m分解为一个低频子图(子带)Cj和三个高频子图D1j、D2j与D3j。同样，可以把低频子图分解为Cj和三个高频子图D1j、D2j与D3j，…。(3-5)图3.4给出了Lena图像的小波分解图，分解图的像素个数永远不变。从图3.4可以看出，低频系数包含着图像的主要信息，而高频系数包含着图像模糊的边缘(或轮廓)信息。由此可以表明，低频子图占了绝大部分能量，而高频子图则占有少部分能量，通过图像计算也可验证。这样的特征实际上正是由小波变换的性质决定的，从而为图像压缩奠定了良好的基础。图3.4

Lena图像的小波变换

3.3小波分解的信号边界延拓

正交小波和双正交小波的构造以及Mallat的多分辨率快速算法，极大地促进了小波变换在图像压缩编码中的应用。Mallat算法实际上相当于利用一组完全重构滤波器对图像进行逐级的分解或重构。但是长度为M的有限信号通过总和长度为L的小波滤波器卷积得到的子带信号长度总和为M+L－1，导致新信号边界外延。如果截断至标准长度为L，就引起信号的边界失真，重构信号必将产生边界畸变。解决信号边界失真的问题在图像压缩中显得尤其重要。信号分解和完全重构的实现，不仅取决于滤波器的特性，还要取决于滤波器对信号边界情况的处理。因此，我们不仅要考虑滤波器的种类(分为正交小波基和双正交基)和小波基，而且要考虑信号的边界处理情况。

一般通过对称的边界延拓方法就可以精确地重构原图像。这里不仅考虑滤波器长度的奇偶性，而且还要考虑信号长度的奇偶性。常用的有如下传统的几种延拓方法。设原始信号

长度为N，滤波器长度为L，原始信号首尾各延拓 点形成延拓后的新信号 。

(1)零填充延拓：

(2)周期延拓：(3-6)(3-7)

(3)边界重复：

(4)边界偶对称：(3-9)(3-8)

(5)边界奇对称：

从上述公式来看，第(1)种和第(2)种延拓方法使边界不连续，而第(3)、(4)和(5)种延拓方法保持信号的连续性。周期延拓在边界点造成尖锐跳变，引入了人为高频成分，使得高频子带的方差增加，与变换的目的相违背。从是否符合小波重构条件来看，只有第(4)、(5)种方法符合重构条件。与周期延拓相比，边界延拓也有周期性，因为只关心滤波器得到信号的数据点数与原始信号的数据点数是否相一致，所以没有必须考虑边界延拓更远之处，不同之处是对称周期延拓使边界连续。(3-10)由于双正交小波滤波器具有对称性，因此我们一般通过对称的边界延拓方法就可以精确地重构原图像。通常图像的长度为偶数，如果滤波器长度为偶数，则采用第(4)种边界偶对称方法；如果滤波器长度为奇数，采用边界奇对称方法。正交小波滤波器(除Haar小波外)不具有对称性，对于非对称滤波器组，先将滤波器分解为对称和反对称滤波器的组合，虽然可行的，但是存储和计算量都增加了一倍，因此此方法不是一种很好的方法。对正交小波来说，此方法更是不可取的，因为它分解为对称和反对称滤波器的长度将扩展近一倍，这样，计算量将增加近四倍。

已知构造的正交小波滤波器组h(n)和g(n)有如下的关系：

g(n)=(－1)M－nh(M－n)

M为任意奇数 (3-11)为了使滤波器h(n)和g(n)的冲激响应在时域上不重叠，取M=－1，这样，可以保证每个分析滤波器对信号延拓方向各在信号的一边，不会发生冲突，只需考虑一个分析滤波器对应的信号一边延拓，而延拓点值使得由信号和延拓点值构成的信号与滤波器卷积得到的信号在原始信号点外的值为零，小波变换的信号能量没有因截取而泄露，因此，在重构时，信号可以完整无缺地重构原信号。综合滤波器组 和 的冲激响应仍是h(n)和g(n)在时间轴上的反转，即(3-12)这些边界延拓点值和原始信号与滤波器卷积，使原始信号之外的点值必须为零，这样信息量就不会因截断至标准信号长度而丢失，因此，根据已知条件求解边界点的值。如果分析小波滤波器要求延拓原始信号的左边的边界，则分析尺度滤波器要求延拓原始信号的右边的边界。假设小波滤波器g(n)的长度为2L，在［－2L，0)区域上的点g(n)有值，而其他点h(n)为零，信号y(n)的长度为N，左边边界延拓后的信号 的长度为N+2L－1，求解延拓点的值 。由卷积 得到的原始信号点外的值为零，得到一组方程：

此方程为一个迭代过程，可以迅速求解这些点值：(3-13)同理，对于尺度滤波器来说，在信号右边界是一样的，由卷积 得到的原始信号点外的值为零，从而得到一个迭代过程，运算如下：因此，卷积得到的信号被截取的点信息为零，在分解截取时没有造成信息丢失。由此可见，信号在小波分解和重构的过程中都不会丢失信息，重构时完全吻合原信号。在量化的情况下，由于量化引起的误差将会导致延拓点的重构误差，但是这种误差比较小，几乎不可见。

虽然此方法比双正交小波采用边界对称等五种经典的延拓方法复杂一点，但是计算量没有增加多少，也比把正交小波分解为对称和反对称小波的方法要简单得多。从模拟实验的效果来看，我们运用上述方法对图像边界进行延拓，通过计算图像需要的延拓点值，然后再进行分解和重构图像，将得到如图3.5所示的一些结果。图3.5边界延拓实验 3.4适合图像压缩的小波基的选择

在小波变换编码中，小波基系数的选择关系到系统的设计和压缩的质量。选择小波基，主要从滤波器长度、滤波器的线性相位、低频能量集中程度和小波函数的消失距等方面考虑。在图像压缩应用中，滤波器长度通常在8左右，人们对相位失真比幅度失真更难以接受，因此，在滤波器的线性方面，线性相位可以减小或消除重构图像边缘的失真，要求小波滤波器具有有限的支撑集，也具有线性相位。在众多小波基中，符合要求的只有双正交小波基这一类。在保证小波变换后图像的能量大部分集中在低频里(左上角的那些子带里)而其他的子波能量比较小时，到底选择什么样的双正交小波基比较适合图像压缩呢？我们以灰度图像lena256×256×8bit为测试图像来寻找最佳小波基。用于滤波器长度为8左右的线性相位，比较合适的双正交小波基有12/4、9/7和9/3，通过实验数据来选择其中最好的小波基。表3.1～表3.8分别列出了实验数据。表3.1双正交小波的分解重构性能(不能量化)(峰值信噪比dB)表3.2

Lena图像分解一级，各子图的能量百分比表3.3小波基的消失矩与长度表3.4舍弃第一级的三个高频子图的分解重构(峰值信噪比dB)结果表明：在抛弃一些高频子波部分和低频的能量集中方面，双正交小波12/4略优于双正交9/7和9/3，比较适合小波变换图像编码。

需要指出的是，一方面，双正交小波12/4比双正交小波9/7的正则性阶数小一点，它的光滑性不如双正交小波9/7，必然对图像压缩后恢复图像在视觉效果上有影响，在压缩比低时，双正交小波12/4比9/7压缩图像效果好，特别在高保真压缩中，但在低比特率中，双正交小波12/4不如9/7；另一方面，对于图像压缩编码来说，需要确定最优小波基，这是一个十分复杂的问题。对一个最优小波基，能够同时取得最大的压缩率与最好的重构图像质量，但是压缩比与恢复图像质量是相互