2024学年高二数学上学期同步精讲精练(人教A版选择性必修第二册)4.2.1等差数列的概念(精练)(原卷版+解析)

4.2.1等差数列的概念（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．(2023·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习）在等差数列中，若，则的值为（

）A．90 B．100 C．180 D．2002．(2023·云南保山·高一期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支，把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…、癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戍、乙对亥…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2022年是壬寅年，那么中国共产党成立时的1921年是（

）A．戊辰年 B．壬戌年 C．辛酉年 D．庚午年3．(2023·北京市第一六一中学高二期中）数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高二课时练习）若，，，…，为各项都大于0的等差数列，公差，则（

）．A． B．C． D．5．(2023·广东珠海·高二期末）已知数列，，点在直线上，则（

）A．2 B．3 C．4 D．56．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．7．(2023·四川·遂宁中学高一期末）在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（

）A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺8．(2023·四川遂宁·模拟预测（文））已知数列的前n项和为，满足，则（

）A．4043 B．4042 C．4041 D．4040二、多选题9．(2023·全国·高二课时练习）（多选）在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（

）A． B．C． D．中的第506项是中的第2022项10．(2023·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值等于（

）A． B． C． D．三、填空题11．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是______．12．(2023·江苏南京·高二期末）写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列的通项公式：___________．（1）是无穷等差数列；（2）数列为单调递减数列；（3）数列的最小项有且仅有第5项．四、解答题13．(2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；14．(2023·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）已知数列满足，，．(1)设，求数列的通项公式；(2)求n为何值时，最小．B能力提升15．(2023·江苏·高二课时练习）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”：4

7

10

13

16

…7

12

17

22

27

…10

17

24

31

38

…13

22

31

40

49

…16

27

38

49

60

……

…

…

…

…

…(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？(2)“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？16．(2023·江苏·高二课时练习）诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次．(1)从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？(2)你认为这颗彗星会在2500年出现吗？为什么？C综合素养17．(2023·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，前项和满足，求数列的通项公式．18．(2023·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知数列满足：，且．(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．4.2.1等差数列的概念（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．(2023·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习）在等差数列中，若，则的值为（

）A．90 B．100 C．180 D．200答案：C【详解】因为为等差数列，故，故，而，故选：C.2．(2023·云南保山·高一期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支，把十天干和十二地支依次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…、癸对寅，其中天干比地支少两位，所以天干先循环，甲对戍、乙对亥…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、…，以此用来纪年，今年2022年是壬寅年，那么中国共产党成立时的1921年是（

）A．戊辰年 B．壬戌年 C．辛酉年 D．庚午年答案：C【详解】解：根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1921年到2022年经过101年，且2022年为“壬寅”年，以2022年的天干和地支分别为首项，则，则1921年的天干为辛，，则1921年的地支为酉，所以1921年为辛酉年．故选：C．3．(2023·北京市第一六一中学高二期中）数列{}中，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（

）A． B． C． D．答案：C【详解】依题意，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，由得，所以故选：C4．(2023·全国·高二课时练习）若，，，…，为各项都大于0的等差数列，公差，则（

）．A． B．C． D．答案：B【详解】由题意，可知，，故选项C、D错误；由，，，则，即，故选：B.5．(2023·广东珠海·高二期末）已知数列，，点在直线上，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D【详解】因点在直线上，所以，所以数列是以为公差，1为首项的等差数列，所以，故选：D6．(2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．答案：D【详解】因为，所以．又，故，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，则．故选：D．7．(2023·四川·遂宁中学高一期末）在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（

）A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺答案：B【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，则立冬到大雪增加，大雪到雨水先增加一个再减少,设大雪的晷长为,则,解得,故选：B.8．(2023·四川遂宁·模拟预测（文））已知数列的前n项和为，满足，则（

）A．4043 B．4042 C．4041 D．4040答案：A【详解】由知：为等差数列，又，，则公差，所以，故，则，可得，而也满足，所以，则.故选：A二、多选题9．(2023·全国·高二课时练习）（多选）在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（

）A． B．C． D．中的第506项是中的第2022项答案：AC【详解】因为，，所以，故C正确；数列中项的序号被4除余3的项是第3项、第7项、第11项、…，所以，，故A正确，B错误；对于D，设数列中的第k项是数列中的第m项，则，所以当时，，即数列中的第506项是中的第2023项，故D错误．故选：AC10．(2023·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则的值等于（

）A． B． C． D．答案：BD【详解】设方程的四根分别为、、、，则数列、、、是首项为的等差数列，设其公差为，由等差数列的性质可得，①若、为方程的两根，则、为方程的两根，由韦达定理可得，可得，，则，，此时，，则；②若、为的两根，、为方程的两根，同理可得，，则.综上所述，.故选：BD.三、填空题11．(2023·全国·高二课时练习）在等差数列中，，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是______．答案：【详解】由题意知，设等差数列的公差为，则，即，即，解得.故答案为：.12．(2023·江苏南京·高二期末）写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列的通项公式：___________．（1）是无穷等差数列；（2）数列为单调递减数列；（3）数列的最小项有且仅有第5项．答案：(答案不唯一)【详解】由题意可得，满足（1）是无穷等差数列；（2）数列为单调递减数列；（3）数列的最小项有且仅有第5项，故答案为：（答案不唯一）四、解答题13．(2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；答案：证明见解析，.【详解】证明：，，，则，即，解得，所以，，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.14．(2023·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）已知数列满足，，．(1)设，求数列的通项公式；(2)求n为何值时，最小．答案：(1)(2)或(1)解：由且，即，即又，，所以．当时，，当时，上式也成立．所以数列的通项公式为；(2)解：由（1）可知．当时，，即；当时，；当时，，即，所以当或时，的值最小．B能力提升15．(2023·江苏·高二课时练习）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”：4

7

10

13

16

…7

12

17

22

27

…10

17

24

31

38

…13

22

31

40

49

…16

27

38

49

60

……

…

…

…

…

…(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？(2)“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？答案：(1)答案见解析．(2)20200(1)观察“正方形筛子”得，每一行都成等差数列，每一列也都成等差数列，第行和第列的公差相等，为；(2)由（1）得第100行的第一个数是，第100行的公差是201，所以第100行的第100个数是．16．(2023·江苏·高二课时练习）诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年……人类都可以看到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次．(1)从发现那次算起，彗星第8次出现是在哪一年？(2)你认为这颗彗星会在2500年出现吗？为什么？答案：(1)2321年(2)不会(1)1740，1823，1906，1989，…，构成等差数列首项，公差，通项公式为故，即彗星第8次出现是在2321年.(2)由，解得，故这颗彗星不会在2500年出现.C综合素养17．(2023·全国·高三专