新教材2024年秋高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦余弦和正切公式第3课时两角和与差的正切公式教师用书含答案新人教A版必修第一册

第3课时两角和与差的正切公式1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(逻辑推理)2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(数学运算)3．熟识两角和与差的正切公式的常见变形，并能敏捷应用．(数学运算)依据同角三角函数的商数关系tanθ＝sinθcosθ，怎样由sin(α＋β)以及cos(α＋β)的公式将tan(α＋β)用tanα，tanβ来表示？如何将tan(α－β)用tanα学问点两角和与差的正切公式名称简记符号公式运用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝tanα，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβ两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝tanα，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tanα·tanβT(α±β)体现了tanαtanβ与tanα±tanβ的内在联系．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立． ()(2)对随意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα[答案](1)√(2)×2．(1)已知tanα＝2，则tanα+(2)tan56[答案](1)－3(2)3类型1公式的正用、逆用【例1】(源自人教B版教材)求下列各式的值．(1)tan75°；(2)tan17°+[解](1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°+(2)tan17°+(3)因为tan45°＝1，所以1-tan15公式T(α±β)的正用、逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要留意常值代换，如tanπ4＝1，tanπ6＝要特殊留意tanπ4+α[跟进训练]1．(1)若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则tanA．17B．16C．5(2)计算：3-(1)A(2)1[(1)tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα(2)原式＝tan60类型2公式的变形应用【例2】求值：(1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°；(2)(1＋tan18°)(1＋tan27°)．[解](1)∵tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1．(2)(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2．[母题探究]1．将例2(1)中的角同时增加1°结果又如何？[解]∵tan45°＝tan(68°－23°)＝tan68∴1＋tan68°tan23°＝tan68°－tan23°，即tan68°－tan23°－tan68°tan23°＝1．2．能否为例2(1)归纳出一个一般结论？若能，试证明．[解]一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k×180°＋90°，k∈Z)，则tanα－tanβ－tanαtanβ＝1．证明：∵tan45°＝tan(α－β)＝tanα∴1＋tanαtanβ＝tanα－tanβ，即tanα－tanβ－tanαtanβ＝1．两角和的正切公式的常见4种变形(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．(2)1－tanαtanβ＝tanα(3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．(4)tanαtanβ＝1－tanα[跟进训练]2．若α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．[解]∵α＋β＝45°，∴tan(α＋β)＝tan45°＝1．∴原式＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝1＋(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2．类型3公式的综合应用【例3】(源自苏教版教材)如图，有三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝π4[证明]由题图可知tanα＝12，tanβ＝1从而得tan(α＋β)＝tanα因为α，β∈0，所以α＋β∈(0，π)．在区间(0，π)内，正切值为1的角只有1个，即tanπ4＝1．故α＋β＝π探究利用公式T(α±β)求角的步骤(1)求值：依据题设条件求角的某一三角函数值．(2)确定所求角的范围(范围探讨的过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，依据范围找出角．[跟进训练]3．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为210，2求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．[解](1)由条件得cosα＝210，cosβ＝2∵α，β为锐角，∴sinα＝1-cos2sinβ＝1-cos2因此tanα＝sinαcosα＝7，tanβ∴tan(α＋β)＝tanα(2)∵tan2β＝tan(β＋β)＝2tanβ1∴tan(α＋2β)＝tanα∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β1．若tanα＝3，tanβ＝43，则tan(α－βA．3B．－3C．13D．－C[tan(α－β)＝tanα2．与1-A．tan66° B．tan24°C．tan42° D．tan21°B[原式＝tan453．已知sinα＝55，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则角α＋βA．π4B．3π4C．πB[因为sinα＝55，且α所以cosα＝255，tanα＝所以tan(α＋β)＝tanα又α＋β∈π2，3π2，故α4．计算tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝________．1[由tan(α＋β)＝tanαtanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得：tan10°＋tan35°＝tan45°(1－tan10°tan35°)＝1－tan10°tan35°，所以tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝1．]回顾本节学问，自主完成以下问题：1．你能分析一下T(α±β)公式的特征吗？[提示]公式的右边为分式形式，其中分子为tanα，tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同，与分母上的加减号相反．符号改变规律可简记为“分子同，分母反”．2．两角和与差的正切公式揭示了tanαtan