2021届高三数学“小题速练”含答案解析01

2021届高三数学“小题速练”1

答案解析

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中只有一项符合题目要求.）

1.已知集合4={1,3,4,5},集合3={XGZ|X2—4X—5<0},则4口8的子集个数为（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】

由V—4万一5<0,解得一l<x<5,所以8={0,1,2,3,4},所以AcB={l,3,4},所以AcB的子集个

数为23=8，故选C.

2.已知函数g（x）=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为

A.t<-lB.t<-l

C.t<-3D.t>-3

【答案】A

【解析】

由指数函数的性质，可得函数g（x）=3"t恒过点坐标为（0,1+t）,函数g（x）是增函数，图象不经过第

二象限，r.l+tWO,解得tw-l.故选A.

3.在一组样本数据（玉，x）,（林％），…，西，/…x“不全相等）的散点图中，若所有

样本点（4％）"=1,2,…都在直线*1-3?上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A.—3B.0C.—1D.1

【答案】c

【解析】

因为所有样本点(％,y)(i=l,2,…都在直线y=-3x+l上，所以回归直线方程是y=-3x+l,可得这

两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点(x,.,y)(i=l,2,..,〃)，都在直

线上，则有=..相关系数厂=—1,故选C.

4.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设AA8c的三个内角

J(a2-h2

A,8,C所对的边分别为a,ac,面积为S,则“三斜求积”公式为5=-a2c2-幺三—,若

nI2JJ

/sinC=5sinA,3+c>=16+/,则用“三斜求积”公式求得AABC的面积为()

A@B.6C.—D.2

22

【答案】D

【解析】/sinC=5sin4，a2c=5a>ac=5,因为（a+cf=16+〃，

所以，/+。2_02=16-2ac=6,从而“BC的面积为J；52=2.

故选:D.

5.如图是当。取三个不同值2，气,%时的三种正态曲线，那么6，。2，%的大小关系是()

A.<Tj>cr3>cr2>0B.0<b]<4<%

C.cr,>cr2>cr3>0D.0<cr,<cr2<CT3

【答案】D

【解析】由图可知，三种正态曲线的〃都等于0

由〃一定时，b越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，b越大，曲线越“矮胖”，表示总体的

分布越分散，则0<巧<%<。3

故选：D

S,,2〃一34

6.设数列{4},{〃}均为等差数列，它们的前"项和分别为S,,,Tn,若宁=5"公，则K=（）

715八1719

A.—B.—C.—D.—

19313437

【答案】B

【解析】•.•数列{%},{〃}均为等差数列，它们的前〃项和分别为S“，Tn,

9（q+々9）

a

Sg_2_q+%_2a5_5

T99（优+4）b]+b92b5b5

2

Sn_2n-3S9_15«5_15

,工—3"+“•元―才'.厂TT

故选：B.

7.双曲线c的左、右焦点分别为《，工，且居恰好为抛物线V=4x的焦点，设双曲线c与该抛物线的一

个交点为A，若.月|=|百6|,则双曲线C的离心率为（）

A.B.1+73C.2+V2D.2+百

1+A/2

【答案】A

【解析】

尸2为抛物线V=4x的焦点，.•."（IQ）,耳（-1,0）

「I做|=忸法1=2,故A点坐标为。，2）或（1,一2）

|Af；|=^[1-（-1）]2+22=2>/2-则2“=2拉—2

解得1，又c=l

故选A

8.设函数r（x）是函数〃X）（X€R）的导函数，当xr0时，1（X）+乜3<0,则函数

g（x）=/（x）-《的零点个数为（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】设尸（%）=%3〃同一1,则尸（力=%3阿（0+3//（力=%3

当龙HOH寸，/'（X）+"（U<0,

当x>0时，/>0,故尸（x）<0,所以，函数y=*x）在（0,+。）上单调递减;

当无<00寸，/<0,故尸（力>0,所以，函数y=b（x）在（F,0）上单调递墙

所以网6鹏二厂⑼;一匕。，所以，函数y=E（x）没有零点，

故g（x）=〃％）-}=勺。也没有零点.

故选：D.

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得。分.)

9.在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，

其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60分以下视为不及格,

若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是()

A.成绩在[70,80)的考生人数最多B,不及格的考生人数为1000

C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分

【答案】ABC

【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)的频率最高，因此考生人数最多，故A正确;

成绩在[40,60)的频率为0.01x10+0.015x10=0.25,因此，不及格的人数为4(X)0x0.25=l()00,故B

正确；

考生竞赛成绩的平均分约为45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,故C正

确；

因为成绩在[40,70)的频率为0.45,在[70,80)的频率为0.3,

所以中位数为70+10X色生*71.67,故D错误.

0.3

故选ABC.

10.已知函数/（x）=45111（8+9）卜＞0,0＞0,冏＜|^的最大值为0，其图像相邻的两条对称轴之间

的距离为且f（x）的图像关于点［一今对称，则下列结论正确的是（）.

A.函数/（X）的图像关于直线彳=］57r对称

rrjr

B.当尤6时，函数/（X）的最小值为--—

C.若则sin"a-cos4a的值为一,

D.要得到函数/（X）的图像，只需要将g（x）=&cos2x的图像向右平移已个单位

【答案】BD

【解析】由题知：函数/（X）的最大值为&,所以A=8.

因为函数/（X）图像相邻的两条对称轴之间的距离为

所以g=T=—=7T,（o=2,/（x）=V2sin（2x+^?）

又因为/（x）的图像关于点（一合0%j称，

所以/（一五）=+=0,_%R（p=k兀,k&Z.

所以。=£+k乃，ZeZ.因为冏＜g,所以9=3

626

即/（x）=V2sin|2x+—|.

对选项A,=0大土也,故A错误.

,，一71TC八万兀兀

对选项B,X€一~—,2x+—G

66662

当2X+5=-B时，/(x)取得最小值一也，故B正确.

662

对选项C,f看-a)=V5sin(]-2a)=0cos2a=

3

得到cos2a=-.

3

因为sin，a-cos4a-(sin2a+cos2«)(sin2a-cos2tz)=-cos2a=一'，

故C错误.

对选项D,

g(x)=&cos2x的图像向右平移5个单位得到

6

y=V5cos2(x一看)=0cos(2x-q)=V2sin+=0sin(2x+7

故D正确.

故选：BD

11.在△A6C中，D,E,尸分别是边8C,AC,AB中点，下列说法正确的是()

A.AB+AC-AD=O

B.DA+EB+FC^G

c.若空+整＞=更丝，则诙是丽在就的投影向量

\AB\\AC\\AD\

D.若点P是线段AO上的动点，且满足丽=4丽+〃而，则办，的最大值为:

8

【答案】BCD

【解析】如图所示：

C

对选项A，AB+AC-AD^2AD-AD=AD^6'故A错误.

对选项B,DA+EB+FC^--(AB+AC)--(BA+BC)--(CA+CB)

222

1—.1—►1—►1—.1—-1—►

=~AB--AC--BA--BC--CA-CB

222222

=--AB--AC+-AB--BC+-AC+-BC=6,故B正确.

222222

AB祝Tn

对选项C,兰•分别表示平行于而，AC，通的单位向量,

1而1,帚'|皿

由平面向量加法可知：=・+==为44。的平分线表示的向量.

|AB|\AC\

「且ABAC#)ADcriiI生..

因为=-+-——：—，所以AD为N54C的平分线,

\AB\\AC\\AD\

又因为AO为8c的中线，所以AOL8C,如图所示:

BD

丽在就的投影为网cos3=|网?BD

BA

所以亦是丽在比的投影向量，故选项C正确.

对选项D,如图所示：

因为P在AO上，即AP,。三点共线,

设丽=曲+（1一）而，0<r<l.

又因为方方=,百+,所以丽=/丽+支"0耳已

22

2=/

因为8户=%明+则vl-t，()<r<l.

Ajcl。，1/12

号y=lm-1?----Q——x)'+一,

2228

当，=，时，取得最大值为故选项D正确.

28

故选：BCD

12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,…,

该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列

数组成的数列｛0｝称为斐波那契数列.并将数列｛0｝中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为

{5,},则下列结论正确的是()

A.g269=2B."/3)-(％)2+"%)—(%了=0

C.gi+gz+g?^,+g2019=2688D.ft+f2+于3+…+6()19=2&0I8&020

【答案】AB

【解析】对于A选项：

g|=Lg2=l，g3=2送4=3曲=Lg6=°，g7=1送8=Lg9=2，g|0=3，g|I=l，g|2=°，…，

所以数列{5,}是以6为最小正周期的数列，又2019=6x336+3,所以g2(n9=2,故A选项正确；

d

对于C选项：g]+g2+S3----Fg2()i9=336x(1+1+2+3+1+0)+(1+1+2)=2692,故C选项错误；

对于B选项：斐波那契数列总有：fn+2=fn+x+fn，

所以（%）=人2（/3-%）=力2%-为2月，=—=

(Al)fl\(^2A))

所以（以力3）—（人2）2+（力。右2）_（%）2=0,故B正确；

对于D选项：•."=为＜+2=/出叱,，，（工）2=工人，人2=人（八一工）=力人一人工,

力2=力（力一右）=力力一人人,

力/=fn+i(力+2—力)=(),+2—4+工。

所以k+力2+6+•..+#19

=1&+(/力—//)+(/力-为人)+…+(身)18>/i019-月)18人)17)+(%19月)20一方019人018)

=人019人020,故D选项错误;

故选：AB.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知(ox?-I)',>0)的展开式中第6项的系数为-189,则展开式中各项的系数和为.

【答案】128

777

【解析】由题意，通项为：7；+1=C*(ar)-*(-l)*=(-l/a-*C；-*x-*,

由于(ox?一I)，(a>0)的展开式中第6项的系数为-189,

则第六项系数为：(-1),7-5&=-189,解得：a=3,

故该二项式为(3f—I)?,

令x=l得展开式各项系数的和为：27=128.

故答案为：128.

14.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码

的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为.

75

【答案】市

【解析】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有4X4XKX4=46

种不同的取法.

恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为

3,1,1或者2,2,1,

三种号码分别出现3,1,1且6次时停止的取法有国或U^xl=240种，

r2r2

三种号码分别出现2,2,1且6次时停止的取法有A；xlxl=360种,

由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有240+360=600种取法,

60075

所以恰好取6次卡片时停止的概率为：P=

75

故答案为:

512

15.已知直线y=2x+l与圆Y+yZ+or+Zy+JO交于A、3两点，直线的+丁+2=0垂直平分弦A8，

则m的值