含解析初中数学《图形的相似》训练30道

含解析初中数学《图形的相似》专题训练30道(精)

1.如图，在团ABCD中，AEDBC,AFDCD,垂足分别为E,F,且BE=DF

(1)求证：回ABCD是菱形；

(2)若AB=5,AC=6,求I3ABCD的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)S平行四边形ABCD=24

【分析】

(1)利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；

(2)连接BD交AC于O,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题;

【详解】

(1)口四边形ABCD是平行四边形，

□AEDBC,AFDCD,

□□AEB=nAFD=90°,

□BE=DF,

□□AEBQQAFD,

□AB=AD,

口四边形ABCD是菱形；

(2)连接BD交AC于O,

□四边形ABCD是菱形，AC=6,

□ACDBD,

AO=OC=:AC=yx6=3,

□AB=5,AO=3,

□BO=4AB1-AO1=\/52-32=4，

□BD=2BO=8,

S平行四边形ABCD=5XACXBD=24.

A

【点睛】

本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确

添加辅助线是解题的关键.

2.如图，在锐角三角形/8C中，点。，E分别在边4C,48上，于点G,4FDDE于点F,DEAF=nGAC.

(1)求证：△/OEEiD/BC；

(2)若4>3,AB=5,求二的值.

3

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

【分析】

(1)由于AGUBC,AFUDE,所以UAFE=AGC=90。，从而可证明AED=ACB,进而可证明LADEEIUABC；

AnAPApAP

(2)ADEABC,=——,又易证1EAFCAG,所以——=——»从而可求解.

ABACAGAC

【详解】

(1)DAGnBC,AF1DE,

□□AFE=DAGC=90°,

□□EAF=rGAC,

□□AED=OACB,

□□EAD=OBAC,

□□ADEDDABC,

(2)由⑴可知：DADEDnABC,

ADAE3

□==-

ABAC5

由(1)可知：□AFE=EJAGC=90。，

试卷第2页，共41页

□□EAF=DGAC,

□□EAFECCAG,

AFAE

□一=一,

AGAC

AF3

i.-------——

AG5

考点：相似三角形的判定

3.如图，在AABC中，过点C作CD〃AB,E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F,交CB的延长线

于点G,连接AD,CF

⑴求证：四边形AFCD是平行四边形.

3

（2）若GB=3,BC=6,BF=-,求AB的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）AB=6.

【解析】

【分析】

(1)由E是AC的中点知AE=CE,由AB//CT^D/AFE=/CDE,据此根据“AAS”即可证AAEFDACED,从而

得AF=CD,结合AB〃CD即可得证;

CRRF9

⑵证AGBFAGCD得—=—据此求得CD=]由AF=CD及AB=AF+BF可得答案.

【详解】

。卜.正是AC的中点,

AE=CE,

VAB//CD,

.•./AFE=/CDE,

在△AEF和JZED中,

ZAFE=ZCDE

v</AEF=NCED,

AE=CE

.-.△AEF□ACED(AAS),

.-.AF=CD,

又AB//CD,即AF〃CD,

四边形AFCD是平行四边形;

(2)vABZ/CD,

/.△GBFAGCD，

3

GBBF口--

——=——，即32，

GCCDz—=

3+6CL)

9

解得：CD=-,

•・•四边形AFCD是平行四边形,

9

/.AF=CD=-,

2

93

...AB=AF+BF=-+-=6.

22

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性

质及定理是解题的关键.

4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEUBC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且LAFE=LB

(2)若AB=8,AD=66,AF=46,求AE的长.

【答案】（1）见解析（2）6

【解析】

【分析】

（1）利用对应两角相等,证明两个三角形相似」ADFUEDEC.

(2)利用LADFLEDEC,可以求出线段DE的长度；然后在在RtLADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.

【详解】

解：（1）证明：□四边形ABCD是平行四边形,

□ABDCD,ADUBC

□□C+nB=180°,nADF=nDEC

□□AFD+1AFE=18O°,UAFEHB

试卷第4页，共41页

□□AFD=^C

在IZADF与EJDEC中，□ZZAFDnllC,DADF=DDEC,

□□ADFOCDEC

（2）口四边形ABCD是平行四边形，

□CD=AB=8.

由（1）知□ADFDEJDEC,

ADAF

LJ.......--------，

DECD

aADCD6>/3x8”

□DE=-----------=------r=r-=12

AF4百

在RtQADE中，由勾股定理得：AE=>/DE2-AD2=112?-（6国=6

5.感知:如图□，在四边形ABCD中，AB"D,E3B=90。,点P在BC边上，当口APD=90。时,可知口ABP口OPCD.（不

要求证明）

图①图②图③

探究：如图.，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当B=LC=APD时^,求证：ABPPCD.

拓展：如图口，在DABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC±.若DB=0C=HDPE=45。，

BC=6/，BD=4,则DE的长为.

【答案】探究：见解析；拓展：

【解析】

【分析】

感知：先判断出口BAP=HDPC,进而得出结论；

探究：根据两角相等，两三角形相似，进而得出结论；

拓展:利用△BDPUDCPE得出比例式求出CE,结合三角形内角和定理证得ACDAB且AC=AB；最后在直角AADE

中利用勾股定理来求DE的长度.

【详解】

解：感知：□□APD=90。,

□□APB+QDPC=90°,

□□B=90°,

□□APB+nBAP=90°,

□□BAP=DDPC,

□ABCD,DB=90o,

□□C=DB=90°,

□□ABPCDPCD；

探究：□□APC=nBAP+ZB,DAPC=nAPD+aCPD,

□□BAP+口B=口APD+□CPD.

□□B=DAPD,

□□BAP=DCPD.

□□B=DC,

□□ABPOnPCD；

拓展：同探究的方法得出，△BDP」JCPE,

BDBP

II......-------,

CPCE

□点P是边BC的中点，

□BP=CP=3五，

□BD=4,

□4_3&

口北一苕’

9

□CE=-,

2

□□B=DC=45°,

□□A=180°-QB-E]C=90。,

即ACDAB且AC=AB=6,

93

□AE=AC-CE=6——=,，AD=AB-BD=6-4=2,

22

在Rt^ADE中，DE=Jm+AE?=+2?=1.

故答案是：—.

【点睛】

此题是相似综合题.主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角的性

质.解本题的关键是判断出△ABP」_PCD.

6.（1）在正方形ABCD中，G是CD边上的一个动点（不与C、D重合），以CG为边在正方形ABCD外作一

个正方形CEFG,连结BG、DE,如图□.直接写出线段BG、DE的关系：

（2）将图口中的正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度a,如图口，试判断（1）中的结论是否成立？

试卷第6页，共41页

若成立，直接写出结论，若不成立，说明理由；

(3)将(1)中的正方形都改为矩形，如图口，再将矩形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度a,如图口,

若AB=a,BC=b；CE=ka,CG=kb,(a1))试判断(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由.

【答案】(1)BG=DE,BGDDE；(2)BG=DE,BGDE；(3)BGDE成立，BG=DE不成立，理由见解析.

【解析】

【分析】

(1)由正方形的性质得出BC=CD,CE=CG,BCD=LECG=90°,由SAS证明BCGDCE,得出BG=

DE,DCBG=CDE,延长BG交DE于H,由角的互余关系和对顶角相等证出UCDE+DGH=90。，由三角形

内角和定理得出E3DHG=9O唧可；

(2)由正方形的性质可得BC=CD,CE=CG,DBCD=C1ECG=9O。,然后求出IBCG=E!DCE,由SAS证明E1BCG

和UDCE全等，由全等三角形对应边相等可得BG=DE,全等三角形对应角相等可得CBG=DCDE,然后求出

□DOH=90°,再根据垂直的定义证明即可；

(3)根据矩形的性质证明IBCGDEIDCE,得到器=2,根据相似三角形对应角相等可得□CBG=：)CDE,然后

求出口DOHn%。，再根据垂直的定义证明即可.

【详解】

(1)解：BG=DE,BGQDE；理由如下：

□四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形,

□BC=CD,CE=CG,□BCD=DECG=90°,

在DBCG和DDCE中，

BC=DC

<ZBCG=ZECG,

CG=CE

□□BCGDCE(SAS),

□BG=DE,DCBG=nCDE,

延长BG交DE于H,如图所示:

□□CBG+JBGC=90°,UDGH=LBGC,

□□CDE+DDGH=90°,

□□DHG=90°,

□BGDDE；

(2)解：成立；理由如下：

□四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形,

□BC=CD,CE=CG,□BCD=DECG=90°,

□□BCD+DDCG=口ECG+口DCG,

BPDBCG=nDCE,

在「BCG和DCE中，

8C=CD

</BCG=NDCE,

CG=CE

□□BCGOnDCE(SAS),

□BG=DE,□CBG=QCDE,

□□CBG+UBHC=90°,□BHC=DDHO,

□□CDE+DDHO=90°,

在DDHO中，匚DOH=180。一(ZZCDE+ZIDHO)=180°-90°=90°,

□BGDDE.

(3)BGDE成立，BG=DE不成立.

结合图n说明如下：

□四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，且AB=a,BC=b,CG=kb,CE=ka(a^b,k>0),

试卷第8页，共41页

□BCD=DECG=90°.

□□BCG=1DCE.

□□BCGJQDCE.

□——=-,DCBG=CCDE.

DEa

XDnBHC=CDHO,rCBG+!BHC=90°,

□□CDE+DDHO=90°.

□□DOH=90°.

□BGODE.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、对顶角相等、三角形内角和定理及相似三角形的判定与性

质；熟记性质并准确识图确定出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点.

7.在AABC中，NAC8=90，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上.

(1)如图1,点D在BC边上，CD:BD=1:2,AD与BE相交于点P,过点A作A尸〃3C,交BE的延长线于

Ap

点F,易得器的值为；

(2)如图2,在^ABC中，NACB=90,点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P,

DC:BC=\:2,求而的值；

(3)在(2)的条件下，若CD=2,AC=6,则BP=.

32

【答案】(1)(2)(3)6

【解析】

【分析】

(1)易证1AEF-JCEB,则有AF=BC.设CD=k,贝ijDB=2k,AF=BC=3k,由AF「BC可得「APFDDPB,然

后根据相似三角形的性质就可求出工的值；(2)过点A作AFDDB,交BE的延长线于点F,设DC=k,由DC：

BC=1：2得BC=2k,DB=DC+BC=3k.易证DAEFCIEICEB,则有EF=BE,AF=BC=2k.易证EIAFPZMDBP,然

Ap

后根据相似三角形的性质就可求出了万的值;

FPBF

（3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据刀力的值求出言的值，就可求出

oror

BP的值.

【详解】

解：（1）如图1中,

□AFDBC,

□□F=DEBC,

□□AEF=CBEC,AE=EC,

□□AEFJDCEB(AAS),

□AF=BC.

设CD=k,则DB=2k,AF=BC=3k,

□AFBC,

□□APFODDPB,

PAAF3

；_；==一,

PDBD2

3

故答案是：-

（2）如图2,过点A作AFnDB,交BE的延长线于点F,

设DC=k,由DC：BC=1：2得BC=2k,DB=DC+BC=3k.

□E是AC中点,

□AE=CE.

试卷第10页，共41页

□AFDDB,

□□F=ni.

在LJAEF和DCEB中，

NF=Z1

<Z2=Z3,

AE=CE

□□AEFnnCEB,

□EF=BE,AF=BC=2k.

□AFDDB,

□□AFP3」DBP,

-P-A--FP=AF~—2k=—2.

PDBPBD3k3'

(3)当CD=2时，BCM,

□AC=6,

□EC=AE=3,

□EB=^ECZ+BC'=5

□EF=BE=5,BF=10.

——,

BP3

BF_5

••~一，

BP3

33

□BP=-BF=-x10=6.

55

故答案为6.

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构

造全等三角形是解决本题的关键.

8.如图，口0是1ABC的外接圆，点。在BC边上，1BAC的平分线交口0于点D,连接BD、CD,过点D作

BC的平行线与AC的延长线相交于点P.

(1)求证：PD是口0的切线；

(2)求证：OABDaDDCP；

(3)当AB=5cm,AC=12cm时，求线段PC的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)CP=16.9cm.

【解析】

【详解】

【分析】(1)先判断出「BAC=2DBAD,进而判断出匚BOD=E1BAC=90。，得出PDEIOD即可得出结论；

(2)先判断出DADBRP,再判断出DDCP加ABD,即可得出结论;

(3)先求出BC,再判断出BD=CD,利用勾股定理求出BC=BD=M\最后用aABDyDCP得出比例式求解

2

即可得出结论.

【详解】(1)如图，连接0D,

BC是口0的直径，

□□BAC=90°,

□AD平分DBAC,

□LBAC=2_BAD,

□B0D=2DBAD,

□匚BOD=1BAC=90。，

□DPDBC,

□DODP=JBOD=90°,

□PDDOD,

□OD是口。半径，

□PD是口0的切线；

(2)CPODBC,

□□ACB=1P,

□□ACB=ZADB,

□□ADB=DP,

□□ABD+QACD=180°,□ACD+nDCP=180°,

□UDCP=UABD,

□匚ABDEIZIDCP；

(3)DBC是口O的直径，

□□BDC=OBAC=90°,

试卷第12页，共41页

在RtAABC中，BC=y]AB2+AC2=13cm,

□AD平分DBAC,

□□BAD=DCAD,

□□BOD=DCOD,

BD=CD,

在RtABCD中，BD2+CD2=BC2,

□BD=CD=^BC=1^,

22

□□ABDZDDCP,

ABBD

L1=,

CDCP

130

5

13口CP

2

□CP=16.9cm.

【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握切线的判定方法、相似三角形的判定与

性质定理是解题的关键.

9.如图，在平行四边形N88中，点E在边8c上，连结4E并延长，交对角线8。于点尸、DC的延长线于点

【解析】

【分析】

由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC,ADiBC,即可证得AADFIDEBF,△GEClIdGAD,然后由相似

三角形的对应边成比例，求得答案.

【详解】

□四边形ABCD是平行四边形，

□AD=BC,ADDBC,

□□ADFUCEBF,△GECEGAD,

EFBEEGEC

——=——,——=——,

AFADAGAD

CE2

I_I=f

BE3

_B_E_—3CE——2

AD5AD5，

FE_3EG_2

----=>——,

AF5AG5

FE3EG2

--——，=一,

AESAE3

隹J.

EG16

【点睛】

此题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.解题关键在于注意掌握数形结合思想的应用.

10.如图，如,AC相交于点尸，^AB,BC,CD,DA,ADAP=ZCBP.

(1)求证：AADP^ABCP；

(2)直接回答△4Z*与ABCP是不是位似图形？

(3)若AB=8,CZ)=4,OP=3,求"的长.

【答案】（1）详见解析；（2）不是；（3）AP=6

【解析】

【分析】

（1）根据己知条件可知ZZMP=NC8P,根据对顶角相等可知ZZ见4=NCP8,由此可证明AADPS/CP；

（2）根据位似图形的定义（如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行,

那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.）

ApBPAPAB

（3）由△ADPUDBCP,可得市=再，而DAPB与DDPC为对顶角，贝|可证△APBLJDDPC,从而得病=定,

再根据AB=8,CO=4,OP=3即可求得AP的长.

【详解】

⑴证明:：ZDAP=NCBP,ZDPA=NCPB,

□AADP^RCP；

试卷第14页，共41页

（2）点A、D、P的对应点依次为点B、C、P,对应点的连线不相交于一点，故/MOP与ABCP不是位似图形；

（3）解:口AADP^ABCP

APBP

□——=—

DPCP

□ZAPB=NDPC,

□AAPBSADPC,

APAB

,15P~~DC

□鼠”

43

QAP=6.

【点睛】

本题考查相似三角形的性质和判定，位似图形的定义.熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键.

11.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EFOAM,垂足为F,交AD的延长线于点E,

交DC于点N.

（1）求证：r.ABMnnEFA；

（2）若AB=12,BM=5,求DE的长.

【答案】（1）见解析；（2）4.9

【解析】

【详解】

试题分析：（1）由正方形的性质得出AB=AD,06=90°,ADOBC,得出匚AMBQEAF,再由22B7AFE,即可

得出结论；

（2）由勾股定理求出AM,得出AF,由UABMCIEIEFA得出比例式，求出AE,即可得出DE的长.

试题解析：（1）口四边形ABCD是正方形，

□AB=AD,□B=90°,AD1BC,

□OAMB=CEAF,

XDEF3AM,

□□AFE=90°,

□□B=AFE,

□□ABMDDEFA；

(2)口口8=90。，AB=12,BM=5,

口AM=7IF7?=13,AD=12,

□F是AM的中点，

□AF=yAM=6.5,

□□ABMHDEFA,

BMAM

I_~,

AFAE

513

R即rl一=一,

6.5AE

□AE=16.9,

□DE=AE-AD=4.9.

考点：1,相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质.

12.如图，在AABC中，AB=AC.A0为BC边上的中线，。石，于点E.

（1）求证：MDES&CAD；

（2）若AB=13,8c=10,求线段。石的长.

【答案】（1）见解析；（2）DE嘿

【解析】

【分析】

对于（1）,由已知条件可以得到UB=UC,AABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得ADBC,[ADC=90°；

接下来不难得到「ADC=「BED,至此问题不难证明；

对于（2）,利用勾股定理求出AD,利用相似比，即可求出DE.

【详解】

解：（1）证明：EIA3=AC,

NB=NC.

又1AD为BC边上的中线，

DAD1.BC.

□ZBED=ZCDA=90\

试卷第16页，共41页

D^BDE^ACAD.

(2)UBC=\0,UBD=5.

在RtAAQ中，根据勾股定理，得AD=JAB2-BD?=12・

RDDF

由(1)得^BDESACAD9□—=—，

CAAD

5DE

即Hn1TF

QDE=—.

13

【点睛】

此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.

13.在矩形ABC。的C£＞边上取一点E,将ABCE沿8E翻折，使点C恰好落在AD边上点尸处.

(1)如图1,若BC=2B4,求NCBE的度数;

图1

(2)如图2,当4B=5,且=时，求8c的长;

(3)如图3,延长EF,与Z4BF的角平分线交于点M,BM交AD于点、N,当NF=AN+FD时，求—出的

值.

AN

D

B

图3

3

【答案】(1)15。：(2)3石；(3)-

【解析】

【分析】

(1)根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到N4所=30。，再由折叠的性质可得到NCBE=15。；

(2)由三等角证得MABsAEE4，从而得£出=2,EF=CE=3,再由勾股定理求出DE,则BC=AZ)=3逐;

(3)过点、N作NG上BF于点G,可证得A/VFGSAB再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分

线的性质即可得解.

【详解】

(1)口矩形A3CD,

□ZA=90°,AD/IBC

由折叠的性质可知BF=BC=2AB,NCBE=；/CBF,

aZAFB=30°,

口NFBC=ZAFB=30°,

□ZCBE=15°

(2)由题意可得NA=ND=90。，

ZAFB+NDFE=90°,

NFED+NDFE=90。

OZAFB=ZDEF

□"ABs^EDF

AFAB

--=---，

DEDF

□£F=CE=3,

试卷第18页，共41页

由勾股定理得DF=>/32-22=>/5，

□BC=AD=AF+FD=3x/5;

（3）过点N作尸于点G.

□ZWGF=ZA=90°

又UNBFA=ZNFG

□^NFG^ABFA.

NGFGNF

---=----=----.

ABFABF

□NF=AN+FD,^NF=-AD=-BC=-BF

222

_N_G_—_F__G—_N__F—_1

AB~FA~BF~2,

又C1BM平分N4斯，NGA.BF,ZA=90°,

□NG=AN,

DNG=AN=-AB,

FGBF-BGBC-AB

DFA

NFLAB+LBC2

AB3

整理得:

BC5

【点睛】

本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合

应用，是中考真题.

14.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将

其底部作为点4在他们所在的岸边选择了点8,使得"8与河岸垂直，并在8点竖起标杆8C,再在48的延长

线上选择点D竖起标杆DE,使得点£与点C、Z共线.

已知：CBV1AD,ED3AD,测得8c=Im,DE=1.5m,80=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,

求河宽N8.

【答案】河宽为17米.

【解析】

【分析】

由题意先证明A43c再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长.

【详解】

解：口CBM。,EDUAD,

□□C8/=□£■/5/=90。，

□口。8=口£4。，

□A4BC匚AADE,

ADDE

---=---,

ABBC

又DAD=AB+BD,BD=8.5,BC=T,DE=1.5,

AB+S.51.5

-------=—,

AB1

□43=17,

即河宽为17米.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.

15.【基础巩固】

(1)如图1,在LABC中，D为AB上一点，UACD=B.求证：AC2=AD«AB.

【尝试应用】

(2)如图2,在1ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，1BFE=DA.若BF=4,BE=3,求AD

试卷第20页，共41页

的长.

【拓展提高】

(3)如图3,在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是ABC内一点，EFQAC,AC=2EF,EDF=yBAD,

AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长.

【答案】(1)见解析；⑵AD=y；(3)572-2

【解析】

【分析】

(1)根据题意证明ADCJACB,即可得到结论；

(2)根据现有条件推出口BFEDEIBCF,再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案；

(3)如图，分别延长EF,DC相交于点G,先证明四边形AEGC为平行四边形，再证E1EDF"EGD,可得)=二,

EGDE

根据EG=AC=2EF,可得DE=&EF,再根据器=转，可推出DG=&DF=5及，即可求出答案.

DFEF

【详解】

解：(1)证明：IZmACDMEIB,DA=DA,

□□ADCUDACB,

ADAC

----------

ACABf

□AC2=AD«AB；

(2)口四边形ABCD是平行四边形，

□AD=BC,QA=DC,

XariBFE=DA,

□□BFE=DC,

又□□FBE=EICBF,

□□BFEQDBCF,

BFBE

-----，

BCBF

□BF2=BE*BC,

B

□四边形ABCD是菱形,

□ABDDC,DBAC=yIBAD,

□ACEF,

□四边形AEGC为平行四边形，

□AC=EG,CG=AE,口EAC=E1G,

□□EDF=|DBAD,

□□EDF=QBAC,

□□EDF=OG,

又□□DEF=E1GED,

□□EDFJDEGD,

EDEF

□---------,

EGDE

□DE2=EF*EG,

又□EG=AC=2EF,

□DE2=2EF2,

□DE=及EF,

eDGDE

又一,

U—DF=EF

□DG=&DF=5近，

DC=DG-CG=5五-2.

试卷第22页，共41页

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键.

16.如图，正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD上的点，且AEDBF,垂足为G.

(1)求证：AE=BF；(2)若BE=G，AG=2,求正方形的边长.

【答案】(1)见解析；(2)正方形的边长为卡.

【解析】

【分析】

(1)由正方形的性质得出AB=BC,口ABC=UC=90。，□BAE+CAEB=90°,由AEE3BF,得出DCBF+DAEB

=90°,推出E1BAE=IZ]CBF,由ASA证得匚ABEEJC3BCF即可得出结论；

(2)证出IBGE=_ABE=90。，BEG=AEB,得出BGEQLABE,得出BE2=EG・AE,设EG=X,贝ljAE=

AG+EG=2+x,代入求出x,求得AE=3,由勾股定理即可得出结果.

【详解】

(1)证明：口四边形ABCD是正方形，

□AB=BC,ABC=C=90°,

□□BAE+DAEB=90°,

□AEDBF,垂足为G,

□□CBF+DAEB=90°,

□□BAE=aCBF,

在口ABE与DBCF中，

ZBAE=ZCBF

AB=BC,

ZABE=ZC=90°

□□ABEQQBCF(ASA),

□AE=BF；

(2)解：口四边形ABCD为正方形，

□□ABC=90°,

□AEDBF,

□□BGE=OABE=90°,

□□BEG=OAEB,

□□BGEQQABE,

BE_EG

1.1=----,

AEBE

即：BE2=EG・AE,

设EG=x,则AE=AG+EG=2+x,

□（）2=x・（2+x）,

解得：xi=l,X2=-3（不合题意舍去），

□AE=3,

□AB=1AE,-BE?=小2-（1）2=瓜.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正

方形的性质，证明三角形全等与相似是解题的关键.

17.如图，在UABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DAED=OB,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,

「ADDF

且就F

（1）求证：nADFanACG；

【答案】（1）证明见解析；（2）1.

【解析】

【分析】

AnDF

（1）欲证明ADFCMACG,由下==可知，只要证明「ADF=C即可.

ACCG

AT1

（2）利用相似三角形的性质得到寸=7，由此即可证明.

AG2

【详解】

(1)证明：□□AED=L1B,nDAE=DDAE,□□ADF=OC,

ADDF

o—=—auADFanACG.

ACCG9

试卷第24页，共41页

(2)解：□□ADFODACG,

ADAF

L'------=-------,

ACAG

「AD1

又口一=-,

AC2

AF1

L,=一,

AG2

AF।

□—=1

FG

18.如图，在CMBC中，点。，E,F分别在BC,/C边上，DEQAC,EFJAB.

(1)求证：UBCEDUEFC.

⑵设正=5'

□若5c=12,求线段BE的长；

口若口后尸。的面积是20,求C14BC的面积.

【答案】(1)见解析；(2)□5£=4；045

【解析】

【分析】

(1)由平行线的性质得出FCE,UDBE=UFEC,即可得出结论；

RFAF

(2)口由平行线的性质得出笠=算=；1,即可得出结果；

ECFC2

□先求出F公C=彳2，易证□封《口口氏4c由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果.

【详解】

(1)证明：口。£口力。，

D\JDEB=DFCEf

□E尸」48,

QQDBE=\JFEC,

EFC；

(2)解：\JUEFDABf

BEAFi

——_——

ECFC29

口EC=BC-BE=12-BE,

□BE1

12—BE2

解得：BE=4；

AF\_

□□~FC2

FC2

□一=

AC3

\JEFUABf

WEFCQUBAC,

(生)(2)2i

S.ABCAC，2=<3，=9'

99

□SAABC=-SAEFC=-x20=45.

44

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质.

19.已知：如图，在菱形/8CZ)中，点E、尸分别在边N8、上，BE=DF,CE的延长线交加的延长线于点G,

CF的延长线交BA的延长线于点H.

(1)求证：\JBECQDBCH-

(2)如果求证：AG=DF.

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

⑴先证明口小)尸口口。8£,进而得至IJQDCFEBCE,再由菱形对边CD〃8H,得到n4=ELDCF,进而ZIBCE=DH

即可求解.

RFAFRFAd

(2)由区得到黑=黑，再利用ZG〃8C,平行线分线段成比例定理得到当=黑，再结合已知条

ABEBABBC

件即可求解.

【详解】

解：⑴口四边形力5CD是菱形,

口CD=CB,UD=DBfCDHAB.

口DF=BE,

□□CZ)FOAC^£(SAS),

试卷第26页，共41页

nnDCF=JBCE.

□CDHBH,

□□〃=□。。凡

QQBCE=r\H.5,

UnBECUUBCH.

Q)DBE2=AB・AE,

BEAE

U..---9

ABEB

□AG//BC,

AEAG

II=—-,

BEBC

BEAG

n——=——,

ABBC

□DF=BE,BC=AB,

DBE=AG=DF9

即AG=DF.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是

熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

k

20.如图，A为反比例函数)，=—(x>0)图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B,。8=4.连接AB,且

x

OA=AB=2-JlO.

⑴求k的值；

(2)过点8作BC，。/?,交反比例函数y=±(x>0)的图象于点C,连接OC交于点。，求第的值.

X

3

【答案】⑴k=12；⑵$

【解析】

【分析】

(1)过点A作交x轴于点”，交。C于点"，易知0H长度，在直角三角形OHA中得到AH长度，从

而得到A点坐标，进而算出k值；(2)先求出D点坐标，得到BC长度，从而得到AM长度，由平行线得到

/\ADMs/\BDC,所以=—

BDBC2

【详解】

解:

(1)过点A作AHJLOB交x轴于点”，交0C于点

・・・OA=A3=2X/15,O3=4

:.OH=2

/.AH=6

.•.A（2,6）

."=12

12

⑵将x=4代入y='

x

得C（4,3）

:.BC=3

13

•;MH=-BC=-

22

二.AM=-

2

您由，

:.AH//BC

:./\ADMs/\BDC

.AP_AM_3

"~BD~~BC~2

【点睛】

本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出k

21.如图，ZABD=NBCD=90°,DB平分UADC,过点B作8Mlic。交AD于M.连接CM交DB于N.

试卷第28页，共41页

D

(1)求证：BD2=ADCD；(2)若CD=6,AO=8,求MN的长.

【答案】(1)见解析；(2)MN=三不.

【解析】

【分析】

(1)通过证明AABDsABCD,可得=——,可得结论；

BDCD

(2)由平行线的性质可证即可证AM=MD=MB=4,由Br>2=AZ>C0和勾股定理可求MC的

长，通过证明AMNBsACND,可得弛•=%»=2,即可求MN的长.

【详解】

证明：(1)DDB平分/4JC,

：.ZADB=ZCDB,且NAfiD=/8O90°,

•.MfiD^ABCD

ADBD

-BD-CD

BD-=ADCD

(2)•:BM//CD

\ZMBD=ZBDC

•.NAQB=NM8O,且NABD=90。

[BM=MD,NMAB=ZMBA

BM=MD=AM=4

,BD2=ADCD,且C£>=6,AD=8,

■.BD2=48,

­.BC2=BD2-5=12

■.MC2=MB2+BC2=28

■.MC=2-Ji

-,-BM//CD

：.MANB^>\CND

【点睛】

考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键.

22.如图，在矩形ABC。中，E是8c的中点，DF±AE,垂足为尸.

(1)求证：AABE^ADFA；

（2）若AB=6,BC=^,求OF的长.

【答案】（1）见解析；（2）DF二巫

5

【分析】

根据矩形的性质可得，々=90。，AD//BC.再根据“两直线平行，内错角相等”可得NA£B=NW,再由垂直

的定义可得4>E4=90。.从而得出=再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似“可得出结论；

根据中点的定义可求出BE=2,然后根据勾股定理求出AE=2ji6.再根据相似三角形的性质求解即可.

【详解】

证明：(1)口四边形488是矩形,

口4=90。，AD//BC.

□ZAEB=NDAF,

QDFA.AE,

□ZDM=90°.

QZB-ZDFA,

试卷第30页，共41页

口/\ABEsM)FA.

解：(2)匚△AB£sA£)E4,

ABAE

U------=------.

DFAD

DBC=4,E是BC的中点，

□BE=-fiC=-x4=2.

22

□在AfAABE中，AE=yjAB2+BE2=>/62+22=2>/10-

又口A£>=3C=4,

62M

-----=--------,

DF4

DF=6>/iO

5

【点晴】

本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.

23.如图，四边形ABCD中，AC平分」DAB,UADC=DACB=90°,E为AB的中点，

(1)求证：AC2=AB«AD；

(2)求证：CEEJAD；

(3)若AD=4,AB=6,求王的值.

AF

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶任」.

AF4

【分析】

(1)由AC平分C1DAB,CADC=nACB=90°,可证得AADCIEIACB,然后由相似三角形的对应边成比例，证得

AC2=AB«AD.

(2)由E为AB的中点，根据在直角三角形