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数学思想（4）整体思想类型一数据分析中的整体思想1.(2023山东泰安东岳中学期末,5,★★☆)若x,y,z的平均数是6,则5x+3,5y-2,5z+5的平均数是

(

)A.6

B.30

C.33

D.32D∵x,y,z的平均数是6,∴x+y+z=18,∴(5x+3+5y-2+5z+5)÷3=[5(x+y+z)+6]÷3=(5×18+6)÷3=96÷3=32.类型二三角形中的整体思想2.(2024安徽合肥肥东期末,8,★★☆)已知点D在△ABC内,若∠ABD=

∠ABC,∠ACD=

∠ACB,则∠BDC等于

()A.3∠A

B.

∠A

C.120°+

∠A

D.60°+

∠A

C∵∠ABD=

∠ABC,∠ACD=

∠ACB,∴∠ABD+∠ACD=

(∠ABC+∠ACB),∴∠DBC+∠DCB=

(∠ABC+∠ACB),∵∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∴180°-∠BDC=

(180°-∠A),∴∠BDC=120°+

∠A.类型三勾股定理中的整体思想3.(★★☆)已知△ABC中,∠B=90°,若c-a=6,b=2

,则△ABC的面积为

.8∵∠B=90°,b=2

,∴a2+c2=(2

)2=68,∵c-a=6,∴(c-a)2=c2-2ac+a2=36,∴ac=16,∴S△ABC=

ac=

×16=8.类型四二元一次方程组中的整体思想4.(★☆☆)已知二元一次方程组

则x+y的值为

()A.-1

B.-3

C.1

D.3C

①+②得3x+3y=3,解得x+y=1.5.(2024山东枣庄峄城期末,18,★★☆)【阅读感悟】已知实数x、y满足

求5x+2y和4x-5y的值.解本题的常规思路是利用消元法求解方程组,解得x、y的值后,再代入需要求值的代数式得到答

案,运算量比较大.其实,仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系,本题还可以通过适当变形,

整体求得代数式的值,如由①+②可得5x+2y=12,由①×2-②可得4x-5y=3,这样的解题思想称为

“整体思想”.【解决问题】(1)已知二元一次方程组

求3x+y和x-3y的值.(2)有甲、乙、丙三种规格的钢条,已知甲种2根,乙种1根,丙种3根,共长23米;甲种4根,乙种2根,丙种5根,共长40米.求1根丙种钢条长多少米.(1)

①+②得3x+y=4,①-②得x-3y=2.(2)设甲种钢条的长度为x米,乙种钢条的长度为

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