苏科版初中八年级数学上册2-4线段、角的轴对称性第二课时角的轴对称性课件

第2章轴对称图形2.4线段、角的轴对称性第二课时角的轴对称性基础过关全练知识点4角平分线的性质1.(2024江苏无锡梁溪月考)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若点P到BC的距离是4,则AD的长为

()A.8

B.6

C.4

D.2A解析过点P作PE⊥BC于E,则PE=4.∵AB∥CD,PA⊥AB,∴

PD⊥CD.∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD

=PE,∴PE=PA=PD.∵PA+PD=AD,∴AD=2PE=8.故选A.

2.(2022北京中考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.

若AC=2,DE=1,则S△ACD=

.

1解析过D点作DH⊥AC于H,如图,

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DH=DE=1,∴S△ACD=

×2×1=1.故答案为1.3.(新独家原创)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适

当长为半径作弧,交AB于点F,交AC于点E,分别以点E,F为圆

心,大于

EF长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部交于点G,作射线AG交BC于点D.若AC=5,BC=12,AB=13,则CD=

.

解析如图,过D作DH⊥AB于H.∵AD平分∠CAB,∴CD=

DH.∵S△ABC=

AC·BC=S△ACD+S△ABD=

AC·CD+

AB·DH,∴AC·BC=AC·CD+AB·DH.设CD=DH=x,∴5×12=5x+13x,∴x=

,即CD=

.4.(教材变式·P58T9)如图,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,

垂足为E,AB=12,BC=8.(1)求△CBD与△ABD的面积之比.(2)若△ABC的面积为50,求DE的长.解析(1)如图,过点D作DF⊥BC于F.

∵BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF.∵AB=12,BC=8,∴S△CBD∶S△ABD=

∶

=BC∶AB=8∶12=2∶3,∴△CBD与△ABD的面积之比2∶3.(2)∵△ABC的面积为50,△CBD与△ABD的面积之比为2∶3,

∴△ABD的面积为30.又∵AB=12,∴

×12DE=30,∴DE=5.5.(2024江苏扬州广陵月考)如图,△ABC中,AD平分∠BAC,

DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF.(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.解析(1)证明:如图,连接BD,CD.

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠

CFD=90°.∵DG⊥BC且平分BC,∴BD=CD.在Rt△BED与Rt

△CFD中,

∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF.(2)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD,在△AED和△AFD中,

∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF.设BE=x,则CF=x.∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF,∴5-x=3

+x,解得x=1,∴BE=1,∴AE=AB-BE=5-1=4.6.(2024江苏南通如皋期末)已知△ABC,两个完全一样的三角

板如图摆放,它们的一组对应直角边分别在AB,AC上,且这组

对应边所对的顶点重合于点M,点M一定在

()

A.∠A的平分线上B.AC边的高上C.BC边的垂直平分线上D.AB边的中线上知识点5角平分线的判定A解析如图,连接AM.

由题意得,MG=MH,MG⊥AB,MH⊥AC,∴AM平分∠BAC.故

选A.7.(2024江苏徐州铜山月考)如图,已知:△ABC的两条外角平

分线交于点D.求证:AD是∠BAC的平分线.

证明如图,分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC,

垂足分别为E、F、G,∵BD平分∠CBE,DE⊥BE,DF⊥BC,∴DE=DF.同理DG=DF,

∴DE=DG,∴点D在∠EAG的平分线上,∴AD是∠BAC的平

分线.8.(2024江苏南通海安期末,14,★☆☆)如图,AD是△ABC的角

平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=9,DE=2,AB=5,则AC的长是

()

A.2

B.3

C.4

D.5C能力提升全练解析过D作DF⊥AC于F.

∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DF=DE=2.

∵S△ADB=

AB·DE=

×5×2=5,△ABC的面积为9,∴△ADC的面积为9-5=4,∴

AC·DF=4,∴

AC×2=4,∴AC=4,故选C.9.(2024江苏南京秦淮月考,9,★★☆)如图,∠EAC和∠ACF是

△ABC的外角,∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点P,

PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论正确的个数为

()D①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°;③∠ACB=2∠

APB;④S△PAC=S△MAP+S△NCP.A.1

B.2

C.3

D.4解析①过点P作PD⊥AC于D.

∵BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,∴PM=PN,PM=PD,∴PN=PD.∵PN⊥BF,PD⊥AC,∴点P在∠ACF的平分线上.故①正确.②∵PM⊥BE,PN⊥BF,∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°,∴

∠ABC+∠MPN=180°.在Rt△PAM和Rt△PAD中,

∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),∴∠APM=∠APD.同理,Rt△

PCD≌Rt△PCN,∴∠CPD=∠CPN,∴∠MPN=2∠APC,∴∠

ABC+2∠APC=180°.故②正确.③∵AP平分∠CAE,BP平分∠

ABC,∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,∠PAM=

∠ABC+∠APB,∴∠ACB=2∠APB.故③正确.④由②可知Rt△PAM≌

Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△PCN,∴S△APD=S△APM,S△CPD=S△CPN,∴S△APM+S△CPN=S△PAC.故④正确.故选D.10.(2024江苏南京建邺月考,10,★☆☆)如图,OP是∠AOB的

平分线,PM⊥OB,N是射线OA上的动点,若PM=2,则PN的最小

值为

.2解析过P点作PH⊥OA于H,如图,

∵OP是∠AOB的平分线,PM⊥OB,PH⊥OA,∴PH=PM=2.∵点N是射线OA上的一个动点,∴PN的最小值为2.故答案为2.11.(2024江苏盐城东台期中,12,★☆☆)如图,在△ABC中,CD

是边AB上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=8,DE=2,则△

BCE的面积等于

.8解析如图,过E点作EF⊥BC于点F.

∵CD是边AB上的高,∴CD⊥BA.∵BE平分∠ABC,EF⊥BC,

∴DE=EF.∵DE=2,∴EF=2.∵BC=8,∴S△BCE=

=

=8.故答案为8.12.(2023江苏苏州期中,25,★★☆)如图,在∠AOB的两边

OA、OB上分别取点M、N,连接MN.若MP平分∠AMN,NP平

分∠MNB.(1)求证:OP平分∠AOB.(2)若MN=8,△PMN与△OMN的面积分别是16和24,求线段

OM与ON的长度之和.解析(1)证明:过点P作PC⊥OA,PD⊥MN,PE⊥OB,垂足分

别为点C,D,E,如图,

∵MP平分∠AMN,PC⊥OA,PD⊥MN,∴PC=PD.∵NP平分∠MNB,PD⊥MN,PE⊥OB,∴PD=PE,∴PC=PE,∴OP平分∠AOB.(2)∵△PMN的面积是16,MN=8,∴

MN·PD=16,即

×8×PD=16,∴PD=4,∴PE=PC=PD=4.∵△OMN的面积是24,∴四边形MONP的面积=△PMN的面积+△OMN的面积=16+

24=40,∴△POM的面积+△PON的面积=40,∴

OM·PC+

ON·PE=40,∴

OM×4+

ON×4=40,∴OM+ON=20,∴线段OM与ON的长度之和为20.13.(推理能力)已知点C是∠MAN的平分线上一点,∠BCD的

两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B、D两点,且∠

ABC+∠ADC=180°.过点C作CE⊥AM,垂足为E.(1)如图①,当点E在线段AB上时,求证:BC=DC.(2)如图②,当点E在线段AB的延长线上时,探究线段AB、AD

与BE之间的数量关系.素养探究全练(3)如图③,在(2)的条件下,若∠MAN=60°,连接BD,作∠ABD

的平分线BF交AD于点F,交AC于点O,连接DO并延长交AB于

点G,若BG=1,DF=2,求线段DB的长.解析(1)证明:如图,过点C作CF⊥AN,垂足为F.

∵AC平分∠MAN,CE⊥AB,CF⊥AN,∴CE=CF,∠CEB=∠CFD=90°,∵∠CBE+∠ADC=180°,∠CDF+∠ADC=180°,∴∠CBE=∠CDF.在△BCE和△DCF中,

∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BC=DC.(2)AD-AB=2BE.理由:如图,过点C作CF⊥AD,垂足为F.

∵AC平分∠MAN,CE⊥AM,CF⊥AD,∴CE=CF,∠CFA=∠

CEA=90°,易证△ACE≌△ACF,∴AE=AF.