2023-2024学年北京市昌平区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市昌平区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知角α的终边经过P(2,−1)，则cosα等于(

)A.55 B.−55 2.若sinθ>0且tanθ<0，则θ是(

)A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角3.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则A.1+2i

B.1−2i

C.−1+2i

D.−1−2i4.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A.若m⊥α，α⊥β，则m//β B.若α∩β=l，l/​/m，则m//β

C.若m⊂α，α⊥β，则m⊥β D.若m⊥α，α/​/β，则m⊥β5.已知圆锥的母线长为5，侧面展开图扇形的弧长为6π，则该圆锥的体积为(

)A.12π B.15π C.36π D.45π6.在△ABC中，a=3，b=4，cosB=13，则∠A=(

)A.π6 B.π4 C.π6或5π6 7.已知z1，z2是两个复数，则“z1，z2互为共轭复数”是“z1，A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位：m)的部分记录表．时间0：003：006：009：0012：00水深值5.07.55.02.55.0据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似地用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为(

)A.3.75 B.5.83 C.6.25 D.6.679.函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(A.1

B.3

C.3

D.10.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P为矩形ABCD所在平面内的动点，且PA=1，则PB⋅PC的最大值是(

)A.9 B.10 C.11 D.12二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的侧面积为______．12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若角α的终边与单位圆交于点P(35,m)，则cosβ=13.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，BC=2BP，则AP⋅BD14.已知函数f(x)=sinx,x∈(−π2,π2],cosx,x∈(π2,15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，CC1的中点，动点H在平面EFG内，且DH=1.给出下列四个结论：

①A1B//平面EFG；

②点H轨迹的长度为π；

③存在点三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

已知sinα=35，且α为第二象限角．

(Ⅰ)求tan(α+π4)的值；

(17.(本小题13分)

已知向量a=(3,−1)，b=(1,m)．

(Ⅰ)若a⊥(ma−b)，求实数m的值；

(Ⅱ)若m=−218.(本小题14分)

已知函数f(x)=23sinω2xcosω2x−cosωx(ω>0)，f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)求f(x)在区间[−π4,π19.(本小题15分)

在△ABC中，a2+b2+ab=c2．

(Ⅰ)求∠C；

(Ⅱ)若a=6，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在．

(ⅰ)求sinB的值；

(ⅱ)求△ABC的面积．

条件①：cosA=22；

条件②：c=2；

条件③：20.(本小题15分)

如图，在几何体ABCDEF中，侧面ADEF是正方形，平面CDE⊥平面ABCD，CD/​/AB，∠ADC=90°，AB=2CD．

(Ⅰ)求证：AD⊥CE；

(Ⅱ)求证：CE/​/平面ABF；

(Ⅲ)判断直线BE与CF是否相交，说明理由．21.(本小题15分)

已知函数f(x)=sinx+cosx，先将f(x)图象上所有点向右平移π4个单位，再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g(x)的图象．

(Ⅰ)求g(x)的解析式和零点；

(Ⅱ)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解α、β．

(ⅰ)求实数m的取值范围；

(ⅱ)求cos(α−β)的值.(用含m的式子表示参考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.A

6.B

7.D

8.C

9.C

10.B

11.8

12.−313.−1

14.[−1,1]

(−15.①②④

16.解：∵sinα=35，且α为第二象限角，∴cosα=−1−sin2α=−45，

∴tanα=sinαcosα=317.解：(Ⅰ)因为向量a=(3,−1)，b=(1,m)，

所以ma−b=(3m−1,−2m)，

因为a⊥(ma−b)，

所以a⋅(ma−b)=3(3m−1)+2m=0，

解得m=311；

(Ⅱ)若m=−2，则b=(1,−2)，

所以a⋅b18.解：(Ⅰ)f(x)=23sinω2xcosω2x−cosωx=3sinωx−cosωx=2sin(ωx−π6)；

由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，

故T=π，

所以ω=2．

故f(x)=2sin(2x−π6).

(Ⅱ)由于x∈[−π4,π6]，故2x−π6∈[−2π3,π6]，

当x=−π19.解：(Ⅰ)因为a2+b2+ab=c2，即a2+b2−c2=−ab，

由余弦定理可得：a2+b2−c2=2abcosC，

可得cosC=−12，而C∈(0,π)，

可得C=2π3；

(Ⅱ)a=6，

若选条件①：cosA=22，A∈(0,π3)，

(i)可得A=π4，则B=π−A−C=π12，

sinπ12=sin(π3−π4)=sinπ3cosπ4−cosπ3sinπ4=6−24，

由正弦定理可得asinA=csinC，

即620.证明：(Ⅰ)因为平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD=CD，

又AD⊥DC，AD⊂平面ABCD，

所以AD⊥平面CDE，

又CE⊂平面CDE，

所以AD⊥CE．

(Ⅱ)取AB中点H，连接CH，FH，

因为AB=2CD，CD/​/AB，

所以AH/​/DC且AH=DC，

所以四边形AHDC为平行四边形，则AD/​/HC且AD=HC，

因为侧面ADEF是正方形，AD/​/EF且AD=EF，

所以HC//EF且HC=EF，即四边形HCEF为平行四边形，

则HF//CE，

又HF⊂平面ABF，CE⊄平面ABF，

所以CE/​/平面ABF．

(Ⅲ)解：直线BE与CF不相交，理由如下：

由(Ⅱ)知CE/​/平面ABF，

所以CE∩平面ABF=⌀，

又BF⊂平面ABF，所以CE∩BF=⌀，

又HF//CE，BF∩FH=F，

所以BF与CE不平行，故BF与CE异面，从而BE与CF不相交．

21.解：(Ⅰ)因为函数f(x)=sinx+cosx=2sin(x+π4)，所以将f(x)图象上的所有点向右平移π4个单位，

得到y=2sinx的图象．再将y=2sinx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，

得到函数g(x)的图象．所以g(x)=2sinx，其零点为kπ(k