2023-2024学年福建省福州三中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州三中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−3x<0}，B={1,2,3,4}，则(A.{4} B.{3,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3}2.已知z=2+i，则z(z−−i)=A.2−i B.1+2i C.−6+2i D.6−2i3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足anA.38 B.916 C.7244.若函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)向左平移φ个单位后在区间[0,π2]A.π3 B.π2 C.π65.如图所示是一个以AB为直径，点S为圆心的半圆，其半径为4，F为线段AS的中点，其中C，D，E是半圆圆周上的三个点，且把半圆的圆周分成了弧长相等的四段，若将该半圆围成一个以S为顶点的圆锥的侧面，则在该圆锥中下列结果正确的是(

)A.△CEF为正三角形 B.SA⊥平面CEF

C.SD/​/平面CEF D.点D到平面CEF的距离为26.若命题“∃a∈[1,3]，ax2+(a−2)x−2>0”是假命题，则x不能等于A.−1 B.0 C.1 D.27.若x>0，y>0，且1x+1+1x+2y=1，则A.2 B.23 C.128.下列不等式中，所有正确的序号是(

)

①4tan14>1②tan(π−2)>sin2③10sinA.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面直角坐标系中四点A(0,−1)，B(1,−1)，C(−2,−7)，D(−1,t)，O为坐标原点，则下列叙述正确的是(

)A.AB=(1,0)B.若OA+OB=λOD，则t=2

C.当t=−4时，A，B，D三点共线D.若10.在下列底面为平行四边形的四棱锥中，M，S，T，P，Q是四棱锥的顶点或棱的中点(如图)，则PQ/​/平面MST的有(

)A. B.

C. D.11.设点A(x1,y1)(x1≠0)是抛物线y2=4x上任意一点，过点A作抛物线A.(y1+y2)y1y2=−8 B.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在(2x−y)6的展开式中，含x513.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=14.已知动点P，Q分别在圆M：(x−lnm)2+(y−m)2=1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin=bsinA，b=23．

(1)求角B的大小；

(2)求2a−c的取值范围．16.(本小题15分)

已知等差数列{an}与正项等比数列{bn}满足a1=b1=3，且b3−a3，20，a5+b2既是等差数列，又是等比数列．17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PD与底面所成的角为45°，E为PD的中点．

(1)求证：AE⊥平面PCD；

(2)若AB=2，G为△BCD的内心，求直线PG与平面PCD所成角的正弦值．18.(本小题17分)

如图，已知椭圆C1：x24+y2=1和抛物线C2：x2=2py(p>0)，C2的焦点F是C1的上顶点，过F的直线交C2于M、N两点，连接NO、MO并延长之，分别交C1于A、B两点，连接AB，设△OMN、△OAB的面积分别为S△OMN19.(本小题17分)

已知函数f(x)=xlnx−x+1，其导函数为f′(x)．

(1)求函数f(x)的极值点；

(2)若直线y=ax+b是曲线y=f′(x)+ex的切线，求a+b的最小值；

(3)证明：ln23+ln38参考答案1.B

2.D

3.D

4.B

5.C

6.C

7.C

8.D

9.AB

10.AB

11.BCD

12.−192

13.−214.215.解：(1)∵A+C=π−B，asin=bsinA，∴asin=bsinA，

∴acos=bsinA，∴sinAcos=sinBsinA，∴cos=sinB=2sincos，∴sin=，

∴B=，

(2)由正弦定理得===2332=4，

∴2a−c=8sinA−4sinC=8sinA−4in(−A)=8sinA−4(32cosA+sinA)=6sinA−23cosA=43(32sinA−cosA)

=43sin(A−)，

当且仅当<A<，sin16.解：(1)由题意可得，b3−a3，20，a5+b2为常数列，公比为1，公差为0，

所以b3−a3=20=a5+b2．

又a1=b1=3，设公差为d、公比为q(q>0)，

则3q2−(3+2d)=20(3+4d)+3q=20，解得q=3d=2，

所以17.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以CD⊥PA，而CD⊥AD，AD∩PA=A，

所以CD⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，

所以CD⊥AE，

因为PA=AD，E为PD的中点，PD与底面所成的角为45°，

所以AE⊥PD，又因为PD∩CD，

所以AE⊥平面PCD；

(2)解：以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

因为正方形中，AB=2，由(1)可得AP=2，

则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，

E(0,1,1)，AC=(2,2,0)，AE=(0,1,1)，

由(1)可知平面PCD的法向量为AE=(0,1,1)，

因为G为△BCD的内心，设圆G与△BCD切于Q，M，N，如图所示：

由△BCD为等腰直角三角形，可得G在对角线AC上，

设AC，BD的交点为M，则M为圆的切点，圆的半径为r，

M(1,1,0)，

则r=CG⋅22=GM，而CG+MG=CM=12AC，

可得MG=2−12AC，

可得G(2,2,0)，

所以PG=(2,2,−2)

AE18.解：(1)抛物线C2的焦点为F(0,1)，故p=2．

(2)若直线MN与y轴重合，则该直线与抛物线C2只有一个公共点，不合乎题意，

所以，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+1，点M(x1,y1)、N(x2,y2)，

联立x2=4yy=kx+1，可得x2−4kx−4=0，

Δ=16k2+16>0恒成立，则x1x2=−4，

OM⋅ON=x1x2+y1y2=x1x2+x124x224=−4+1=−3．

(3)设直线NO、19.解：(1)f(x)定义域为{x|x>0}，

则f′(x)=lnx+x⋅1x−1=lnx，

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以函数f(x)的极小值点为x=1，没有极大值点；

(2)令g(x)=y=f′(x)+ex=lnx+ex，则g′(x)=1x+e,x>0，

设切点为(t,g(t))(t>0)，则g(t)=lnt+et，g′(t)=1t+e，

则切线方程为y−(ℎt+et)=(1t+e)(x−t)，

即y=(2+c)x+mt−1，又y=ax+b是曲线的切线方程，

则a=1t+eb=lnt−1，则a+b=1t+e+lnt−1，

令ℎ(t)=1t+e+lnt−1,t>0，则ℎ′(t)=1t−1t2=t−1t2，t>0，

令ℎ′(t)=0，得t=1，

所以