2024年高中数学第五章三角函数5.5三角恒等变换第2课时二倍角的正弦余弦和正切公式学案新人教A版必修第一册

第2课时二倍角的正弦、余弦和正切公式课标要点核心素养1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能娴熟运用二倍角的公式进行简洁的恒等变换，并能敏捷地将公式变形运用．1．通过对二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养．2．通过二倍角公式的应用，强化数学运算和数据分析的素养．1．二倍角公式记法公式推导S2αsin2α=2sinαcosαS（α+β）S2αC2αcos2α=cos2α-sin2αC（α+β）C2αcos2α=1-2sin2αcos2α=2cos2α-1利用cos2α+sin2α=1消去sin2α或cos2αT2αtan2α=2T（α+β）T2α2．二倍角公式的变形（1）升幂公式：1+cos2α=2cos2α；1-cos2α=2sin2α．（2）降幂公式：cos2α=1+cos2α2；sin2α=思索辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）二倍角的正弦、余弦的适用范围是随意角． （）（2）存在角α，使得sin2α=2sinα成立． （）（3）6α是3α的倍角，3α是3α2的倍角． （（4）对于随意的角α，cos2α=2cosα都不成立． （）（5）对随意角α，总有tan2α=2tanα1-tan[解析]（1）√由二倍角的正弦、余弦公式知，其对随意角都是适用的．（2）√当α=kπ（k∈Z）时，sin2α=2sinα．（3）√倍是描述两个数量之间的关系的，“倍”是相对而言的，故（3）正确．（4）×当cosα=1-32时（5）×二倍角的正切公式，要求2α≠π2+kπ（k∈Z）且α≠±π4+kπ（k∈Z），[答案]（1）√（2）√（3）√（4）×（5）×化简求值问题爱好探究[思索]1．你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？2．如何在倍角公式中用2α±π2=2（α±π4）[答案]1．倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的状况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，α2是α4的二倍角，α3是α6的二倍；α2n是α2n+1的二倍2．（1）sin2α=cos（π2-2α）=cos[2（π4-α）]=2cos2（π4-α）-1=1-2sin2（（2）cos2α=sin（π2-2α）=sin[2（π4-α）]=2sin（π4-α）cos（（3）cos2α=sin（π2+2α）=sin[2（π4+α）]=2sin（π4+α）cos（π学问归纳应用二倍角公式化简求值的策略（1）关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消退差异．（2）用二倍角公式求值的模式①sinα（或cosα）cosα（或sinα）sin2α（或cos2α）．②sinα（或cosα）cos2α=1-2sin2α（或2cos2α-1）．③sinα（或cosα）（3）公式逆用：主要形式有2sinαcosα=sin2α，sinαcosα=12sin2α，cosα=sin2α2sinα，cos2α-sin2α=cos2α考向例题考向一给角求值【例1】求值：（1）sinπ24·cosπ24·cos（2）1-2sin2750°；（3）tan150°+1-[解析]（1）原式=12（2sinπ24cosπ24=12sinπ12=14（2sinπ12cos=14sinπ6=18，∴原式（2）原式=cos（2×750°）=cos1500°=cos（4×360°+60°）=cos60°=12∴原式=12（3）原式=2ta=1-ta=1tan300°=-1tan60°=-∴原式=-33考向二条件求值【例2】（1）已知α∈（-π2，π2），且sin2α=sin（α-π4），（2）已知sin（π4-x）=513，0<x<π4，求[解析]（1）∵sin2α=-cos（2α+π2=-[2cos2（α+π4）-1]=1-2cos2（α+πsin（α-π4）=-sin（π4=-cos[π2-（π4-α）]=-cos（π∴原式可化为1-2cos2（α+π4）=-cos（α+π解得cos（α+π4）=1或cos（α+π4）=-∵α∈（-π2，π2），∴α+π4∈（-π故α+π4=0或α+π4=即α=-π4或α=5π（2）∵0<x<π4，sin（π4-x）=∴π4-x∈（0，π4），cos（π4-x）cos2xcos=2（cosx+sinx）=2cos（π4-x）=24方法技巧：解决条件求值问题的方法（1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；找寻角之间的关系，看是否适合相关公式的运用，留意常见角的变换和角之间的二倍关系．（2）当遇到π4±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通即时巩固1．求下列各式的值：（1）sinπ8cosπ8=（2）2sin2π12+1=；（3）cos20°cos40°cos80°=．

[解析]（1）原式=2sinπ8cosπ8（2）原式=-（1-2sin2π12）+2=2-cosπ6=（3）原式=2sin20=2sin40=2sin80=sin160°8sin20°[答案]（1）24（2）4-322．（1）已知α∈（π2，π），sinα=55，则sin2α=，cos2α=，tan2α=（2）已知sin（π4+α）sin（π4-α）=16，且α∈（π2，π），则tan4α[解析]（1）因为α∈（π2，π），sinα=5所以cosα=-25所以sin2α=2sinαcosα=2×55×（-255）cos2α=1-2sin2α=1-2×（55）2=3tan2α=sin2αcos2α=-4（2）因为sin（π4-α）=sin[π2-（π4+α）]=cos（则已知条件可化为sin（π4+α）cos（π4+α）=即12sin[2（π4+α）]=所以sin（π2+2α）=1所以cos2α=13因为α∈（π2，π），所以2α∈（π，2π从而sin2α=-1-cos所以tan2α=sin2αcos2α=-22故tan4α=2tan2α1-tan2[答案]（1）-4535-43（化简与证明爱好探究[思索]（1）公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪些主要变形？（2）用tanα能表示sin2α和cos2α吗？[答案]（1）主要变形有：1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=（sinα±cosα）2，1+cos2α=2cos2α，cos2α=1+cos2α2，sin2α=1（2）可以．sin2α=2sinαcosα=2tanα1+tacos2α=cos2α-sin2α=1-学问归纳证明三角恒等式的原则与步骤（1）视察恒等式两端的结构形式，处理原则是从困难到简洁，高次降低，复角化单角，假如两端都比较困难，就将两端都化简，即采纳“两头凑”的思想．（2）证明恒等式的一般步骤：①先视察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消退差异，达到证明的目的．考向例题考向简洁的化简与证明【例3】（1）已知cos2α2sin(α+π4)=5A．-8 B．8C．18 D．-（2）求证：cos2（A+B）-sin2（A-B）=cos2Acos2B．[解析]（1）cos2α2sin=cosα-sinα=52（cosα-sinα）2=54sinαcosα=-18所以tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=（2）左边=1+cos(2A+2B=cos=12（cos2Acos2B-sin2Asin2B+cos2Acos2B+sin2Asin2B=cos2Acos2B=右边，所以等式成立．[答案]（1）A（2）见解析方法技巧：三角函数式的化简与证明（1）化简三角函数式的要求：①能求出值的尽量求出；②使三角函数的种类与项数尽量少；③次数尽量低．（2）证明三角恒等式的方法：①从困难的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边-右边=0，左边/右边=1；③分析法，从要证明的等式动身，一步步找寻等式成立的条件．即时巩固1．3tan12°-3sin12[解析]原式=3=2=2=-23sin48[答案]-432．证明：1+sin4α+cos4α[证明]左边分子为2cos22α+2sin2αcos2α=2cos2α·（cos2α+sin2α）．左边分母为2sin22α+2sin2αcos2α=2sin2α（sin2α+cos2α）．故两式相除，即cos2αsin2α=11．sin15°sin75°的值为 （）A．12 B．14 C．32[解析]原式=sin15°cos15°=12sin30°=1[答案]B2．计算1-2sin222．5°的结果为 （）A．12 B．22 C．33[解析]1-2sin222．5°=cos45°=22[答案]B3．已知sinα=3cosα，那么tan2α的值为 （）A．2 B．-2 C．34 D．-[解析]因为sinα=3cosα，所以tanα=3，所以tan2α=2tanα1-tan2[答案]D4．已知sin（π6+α）=13，则cos（2π3-2α）的值等于[解析]因为cos（π3-α）=sin[π2-（π3-α）]=sin（π6+α所以cos（2π3-2α）=2cos2（π3-α）-1=2×（13）2[答案]-75．已知cosα=-34，sinβ=23，α是第三