2025届浙江省杭州市余杭区数学九上期末教学质量检测试题含解析

2025届浙江省杭州市余杭区数学九上期末教学质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列事件是必然事件的（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上B．打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C．射击运动员射击一次，命中十环D．若a是实数，则|a|≥02．如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，BD，则错误结论为（）A．OF=CF B．AF=BF C． D．∠DBC=90°3．将抛物线y=3x2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（）A．y=3（x﹣3）2﹣3 B．y=3x2 C．y=3（x+3）2﹣3 D．y=3x2﹣64．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（）A． B． C． D．5．如图，，，是⊙上的三个点，如果∠°，那么∠的度数为（）A． B． C． D．6．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，D是AC的中点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，点G在AB上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则纸条GD的长为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm7．如图，为的直径延长到点，过点作的切线，切点为，连接，为圆上一点，则的度数为（）A． B． C． D．8．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）9．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()A．等边三角形 B．平行四边形 C．等腰三角形 D．菱形10．关于x的二次函数y＝x2﹣mx+5，当x≥1时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＝2 C．m≤2 D．m≥2二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），则k＝_____．12．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为________.13．如图，是半圆，点O为圆心，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝65°，则∠ABD的度数为_____．14．如图所示，矩形的边在的边上，顶点，分别在边，上.已知，，，设，矩形的面积为，则关于的函数关系式为______.（不必写出定义域）15．抛物线的对称轴为__________．16．二次函数y=3x2+3的最小值是__________．17．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=，且∠ECF=45°，则CF的长为__________．18．计算sin60°tan60°－cos45°cos60°的结果为______．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在中，于，，，，分别是，的中点.（1）求证：，；（2）连接，若，求的长.20．（6分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？21．（6分）已知抛物线的顶点为，且过点.直线与轴相交于点.（1）求该抛物线的解析式；（2）以线段为直径的圆与射线相交于点，求点的坐标.22．（8分）如图，的直径，点为上一点，连接、.（1）作的角平分线，交于点；（2）在（1）的条件下，连接.求的长.23．（8分）若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：，.我们把它们称为根与系数关系定理.如果设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0).利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=====请你参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形.(1)当△ABC为等腰直角三角形时，直接写出b2-4ac的值；(2)当△ABC为等腰三角形，且∠ACB=120°时，直接写出b2-4ac的值；(3)设抛物线y=x2+mx+5与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且∠ACB=90°，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB=120°.24．（8分）已知如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C，连接AC，点P是直线AC上方的抛物线上一动点（异于点A，C），过点P作PE⊥x轴，垂足为E，PE与AC相交于点D，连接AP．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）①求直线AC的解析式；②是否存在点P，使得△PAD的面积等于△DAE的面积，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．25．（10分）对于平面直角坐标系中的两个图形K1和K2，给出如下定义：点G为图形K1上任意一点，点H为K2图形上任意一点，如果G，H两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形K1和K2的“近距离”。如图1，已知△ABC，A（-1，-8），B（9,2），C（-1,2），边长为的正方形PQMN，对角线NQ平行于x轴或落在x轴上．（1）填空：①原点O与线段BC的“近距离”为；②如图1，正方形PQMN在△ABC内，中心O’坐标为（m，0），若正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，则m的取值范围为；（2）已知抛物线C：，且-1≤x≤9，若抛物线C与△ABC的“近距离”为1，求a的值；（3）如图2，已知点D为线段AB上一点，且D（5，-2），将△ABC绕点A顺时针旋转α（0º<α≤180º），将旋转中的△ABC记为△AB’C’，连接DB’，点E为DB’的中点，当正方形PQMN中心O’坐标为（5，-6），直接写出在整个旋转过程中点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”．26．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点，请你只用无刻度的直尺，分别画出图①和图②中∠P的平分线．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D．【解析】试题解析：A、是随机事件，不符合题意；B、是随机事件，不符合题意；==C、是随机事件，不符合题意；D、是必然事件，符合题意．故选D．考点：随机事件．2、A【分析】分别根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行分析即可．【详解】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于点F，

∴AF=BF，，∠DBC=90°，

∴B、C、D正确；

∵点F不一定是OC的中点，

∴A错误．故选：A．【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．3、A【解析】根据二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减，即可得出.【详解】抛物线向右平移3个单位,得到的抛物线的解析式是故选A.【点睛】本题主要考查二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减.4、D【分析】随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详解】解：每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率，故选D．【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．5、C【分析】在弧AB上取一点D，连接AD,BD，利用圆周角定理可知,再利用圆内接四边形的性质即可求出∠的度数.【详解】如图，在弧AB上取一点D，连接AD,BD，则∴故选C【点睛】本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键.6、C【详解】∵四边形DEFG是矩形，∴GD∥EF,GD=EF,∵D是AC的中点，∴GD是△ABC的中位线，∴,∴,解得：GD=.故选D.7、A【分析】连接OC,根据切线的性质和直角三角形两锐角互余求出的度数，然后根据圆周角定理即可求出的度数．【详解】连接OC∵PC为的切线∴∵故选：A．【点睛】本题主要考查切线的性质，直角三角形两锐角互余和圆周角定理，掌握切线的性质，直角三角形两锐角互余和圆周角定理是解题的关键．8、D【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．【详解】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+3是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为（1，3）．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x−h）2＋k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．9、D【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，针对每一个选项进行分析．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；故选D．10、C【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：二次函数y＝x2﹣mx+5的开口向上，对称轴是x＝，∵当x≥1时，y随x的增大而增大，∴≤1，解得，m≤2，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、-1．【分析】直接把点（3，﹣4）代入反比例函数y＝，求出k的值即可．【详解】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（3，﹣4），∴﹣4＝，解得k＝﹣1.故答案为：﹣1．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12、答案不唯一，如y=x2﹣4x+2，即y=（x﹣2）2﹣1．【分析】由题意得，设，此时可令的数，然后再由与y轴的交点坐标为(0，2)求出k的值，进而可得到二次函数的解析式.【详解】解：设，将(0，2)代入，解得，故或y=x2﹣4x+2．故答案为：答案不唯一，如y=x2﹣4x+2，即y=（x﹣2）2﹣1．考点：1.二次函数的图象及其性质；2.开放思维.13、25°【分析】根据AB是直径可以证得AD⊥BD，根据AD∥OC，则OC⊥BD，根据垂径定理求得弧BC的度数，即可求得的度数，然后求得∠ABD的度数．【详解】解：∵是半圆，即AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AD∥OC，∴OC⊥BD，∴=65°∴＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∴∠ABD＝．故答案为：25°．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角的定理，利用垂径定理证明=65°是解决本题的关键．14、【分析】易证得△ADG∽△ABC，那么它们的对应边和对应高的比相等，可据此求出AP的表达式，进而可求出PH即DE、GF的长，已知矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到y、x的函数关系式；【详解】如图，作AH为BC边上的高，AH交DG于点P，∵AC=6，AB=8，BC=10，∴三角形ABC是直角三角形，∴△ABC的高==4.8，∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，∴DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG∴，∴，∴∴PH=，∴故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出矩形的边长.15、【分析】根据抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可找出抛物线的对称轴，此题得解．【详解】解：∵抛物线的解析式为，

∴抛物线的对称轴为直线x=故答案为：.【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确抛物线的对称轴是直线x=．16、1．【分析】根据二次函数的性质求出函数的最小值即可．【详解】解：∵y=1x2+1=1（x+0）2+1，

∴顶点坐标为（0，1）．

∴该函数的最小值是1．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．17、【解析】如图，延长FD到G，使DG=BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG(SAS)，∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF(SAS)，∴GF=EF，∵CE=3，CB=6，∴BE=，∴AE=3，设AF=x,则DF=6−x,GF=3+(6−x)=9−x，∴EF=，∴(9−x)²=9+x²，∴x=4，即AF=4，∴GF=5，∴DF=2，∴CF==,故答案为：.点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的知识点，构建三角形，利用方程思想是解答本题的关键.18、1【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【详解】解：原式=1【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）EF=5．【解析】试题分析：（1）证明△BDG≌△ADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可．试题解析：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△BDG和△ADC中，，∴△BDG≌△ADC，∴BG=AC，∠BGD=∠C，∵∠ADB=∠ADC=90°，E，F分别是BG，AC的中点，∴DE=BG=EG，DF=AC=AF，∴DE=DF，∠EDG=∠EGD，∠FDA=∠FAD，∴∠EDG+∠FDA=90°，∴DE⊥DF；（2）∵AC=10，∴DE=DF=5，由勾股定理得，EF==5．20、(1)4800元；(2)降价60元.【解析】试题分析：（1）先求出降价前每件商品的利润，乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系“每件商品的利润×商品的销售数量=总利润”列出方程，解方程即可解决问题．试题解析：（1）由题意得60×（360－280）＝4800（元）.即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设每件商品应降价x元，由题意得（360－x－280）（5x＋60）＝7200，解得x1＝8，x2＝60.要更有利于减少库存，则x＝60.即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元.点睛：本题考查了列一元二次方程解实际问题的销售问题，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．21、（1）；（2）或【分析】（1）先设出抛物线的顶点式，再将点A的坐标代入可得出结果；（2）先求出射线的解析式为，可设点P的坐标为(x,x)．圆与射线OA相交于两点，分两种情况：①如图1当时，构造和，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解；②如图2，当时，构造和，再在直角三角形中利用勾股定理，列方程求解．【详解】解：（1）根据顶点设抛物线的解析式为：，代入点，得：，抛物线的解析式为：．设直线的解析式为：，分别代入和，得：，直线的解析式为：；（2）由（1）得：直线的解析式为，令，得，由题意可得射线的解析式为，点在射线上，则可设点，由图可知满足条件的点有两个：①当时，构造和，可得：如图1：由图可得，，，．在Rt△PMD中，,在Rt△PBG中，,在Rt△BMH中，,点在以线段为直径的圆上,，可得：,即：．整理，得：，解得：；,．;②当时，如图2，构造和，可得：同理，根据BM2=BP2+PM2，可得方程：42+42=(6-x)2+x2+(x-2)2+(x-4)2,化简得，，解得：，∵．．综上所述，符合题目条件的点有两个，其坐标分别为：或．【点睛】本题主要考查二次函数解析式的求法，以及圆的相关性质，关键是构造直角三角形利用勾股定理列方程解决问题．22、（1）见解析；（2）【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径(不大于AC为佳)画弧于AC和BC交于两点，然后以这两个交点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画两段弧交于一点，过点C和该交点的线就是的角平分线；（2）连接，先根据角平分线的定义得出，再根据圆周角定理得出，最后再利用勾股定理求解即可.【详解】解：（1）如图，为所求的角平分线；（2）连接，的直径，，.平分，..在中，.【点睛】本题主要考察基本作图、角平分线定义、圆周角定理、勾股定理，准确作出辅助线是关键.23、(1)4；(2)；(3)抛物线向上平移个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使得度数由90°变为120°.【分析】（1）根据上述结论及直角三角形的性质列出等式，计算出即可；（2）根据上述结论及含120°的等腰三角形的边角关系，列出方程，解出方程即可；（3）根据（1）中结论，计算出m的值，设出平移后的函数解析式，根据（2）中结论，列出等量关系即可解出．【详解】解：(1)由y=ax2+bx+c(a≠0)可知顶点C∵，∴当△ABC为等腰直角三角形时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：=，化简得故答案为：4(2)由y=ax2+bx+c(a≠0)可知顶点C如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D，∵∠ACB=120°，∴∠A=30°∵tan30°=，即，又因为，∴化简得故答案为：(3)∵因为向左或向右平移时的度数不变,所以只需将抛物线向上或向下平移使,然后向左或向右平移任意个单位即可.设向上或向下平移后的抛物线的解析式为:,平移后，所以，抛物线向上平移个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使得度数由变为.【点睛】本题考查二次函数与几何的综合应用题，难度适中，关键是能够根据特殊三角形的性质列出关系式．24、（1）(0,3)；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）①；②当点P的坐标为（1，4）时，△PAD的面积等于△DAE的面积．【分析】（1）将代入二次函数解析式即可得点C的坐标；（2）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3即可得出抛物线的解析式；（3）①设直线直线AC的解析式为，把A（3，0），C代入即可得直线AC的解析式；②存在点P，使得△PAD的面积等于△DAE的面积；设点P（x，﹣x2+2x+3）则点D（x，﹣x+3），可得PD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，DE=﹣x+3，根据Ｓ△PAD＝Ｓ△DAE时，即可得PD=DE，即可得出结论．【详解】解：（1）由y＝ax2+bx+3，令∴点C的坐标为（0，3）；（2）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3得，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（3）①设直线直线AC的解析式为，把A（3，0），C代入得，解得，∴直线AC的解析式为；②存在点P，使得△PAD的面积等于△DAE的面积，理由如下：设点P（x，﹣x2+2x+3）则点D（x，﹣x+3），∴PD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，DE=﹣x+3，当Ｓ△PAD＝Ｓ△DAE时，有，得PD=DE，∴﹣x2+3x=﹣x+3解得x1=1，x2=3（舍去），∴y＝﹣x2+2x+3=﹣12+2+3=4，∴当点P的坐标为（1，4）时，△PAD的面积等于△DAE的面积．【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式，二次函数的综合，掌握知识点是解题关键．25、（1）①2；②；（2）或；（3）点E运动形成的图形与正方形PQMN的“近距离”为．【分析】（1）①由垂线段最短，即可得到答案；②根据题意，找出正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，的临界点，然后分别求出m的最小值和最大值，即可得到m的取值范围；（2）根据题意，抛物线与△ABC的“近距离”为1时，可分为两种情况：当点C到抛物线的距离为1，即CD=1；当抛物线与线段AB的距离为1时，即GH=1；分别求出a的值，即可得到答案；（3）根据题意，取AB的中点F，连接EF，求出EF的长度，然后根据题意，求出点F，点Q的坐标，求出FQ的长度，即可得到EQ的长度，即可得到答案．【详解】解：（1）①∵B（9，2），C（，2），∴点B、C的纵坐标相同，∴线段BC∥x轴，∴原点O到线段BC的最短距离为2；即原点O与线段BC的“近距离”为2；故答案为：2；②∵A（-1，-8），B（9，2），C（-1，2），∴线段BC∥x轴，线段AC∥y轴，∴AC=BC=10，△ABC是等腰直角三角形，当点N与点O重合时，点N与线段AC的最短距离为1，则正方形PQMN与△ABC的边界的“近距离”为1，此时m为最小值，∵正方形的边长为，由勾股定理，得：，∴，（舍去）；当点Q到线段AB的距离为1时，此