2023-2024学年湖北省武汉市黄陂区部分学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）

2023-2024学年湖北省武汉市黄陂区部分学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是d，那么（）A．当d＝8cm时，直线与圆相交 B．当d＝4.5cm时，直线与圆相离 C．当d＝5cm时，直线与圆相切 D．当d＝10cm时，直线与圆相切3．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于E，下列说法错误的是（）A．CE＝DE B．＝ C．OE＝BE D．∠COB＝2∠BAD4．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣25．（3分）为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．126．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，，∠APB＝60°，则的长为（）A． B． C． D．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，若，∠E＝70°，则∠ABC的度数（）A．30° B．40° C．50° D．60°9．（3分）如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为（）A．π B． C．2π D．10．（3分）若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是⊙O上半圆上一点，将⊙O沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若△ABC是完美三角形，则BD：AD为（）A．3：1 B． C． D．7：2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知点A坐标为（﹣1，2），则点A′关于原点的对称点的坐标为．12．（3分）第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，小熙同学幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片，如图，该照片（中间的矩形）长29cm，宽为20cm，他想为此照片配一个四条边宽度相等的镜框（阴影部分），且镜框所占面积为照片面积的，为求镜框的宽度，他设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为．13．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的底面半径是．14．（3分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为3.2m水管AB，在水管的顶端A点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离BC＝3m处达到最高，水柱落地处离池中心距离BD＝8m，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是m．15．（3分）已知O，I分别是△ABC的外心和内心，∠BOC＝144°，则∠BIC的大小是．16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（填序号即可）．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．18．（8分）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．20．（8分）如图，等腰△ABC中AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC、CA的延长线分别交于点E、D，EF垂直DC于F．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若AF＝2，EF＝4，求AD的长．21．（10分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图1，在▱ABCD中，E是边AD上一点，在边BC上画点F，使CF＝AE；（2）如图2，△ABC内接于⊙O，D是的中点，画△ABC的中线AE；（3）如图3，在▱ABCD中，E是边AD上一点，且DE＝DC，画∠BAD的平分线AF；（4）如图4，BC是⊙O的直径，A是⊙O内一点，画△ABC的高AD．22．（10分）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．23．（10分）【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE；【拓展创新】如图3，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD＝，直接写出△BDC的面积为．24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2023-2024学年湖北省武汉市黄陂区部分学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；故选：D．【点评】此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握其概念是解决此题的关键．2．（3分）圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是d，那么（）A．当d＝8cm时，直线与圆相交 B．当d＝4.5cm时，直线与圆相离 C．当d＝5cm时，直线与圆相切 D．当d＝10cm时，直线与圆相切【分析】求圆与直线的交点个数，即确定直线与圆的位置关系，关键是把d与半径5cm进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．（d为圆心距，r为圆的半径）．【解答】解：已知圆的直径为10cm，则半径为5cm，当d＝5cm时，直线与圆相切，d＜5cm直线与圆相交，d＞5cm直线与圆相离，故A、B、D错误，C正确，故选：C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．3．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于E，下列说法错误的是（）A．CE＝DE B．＝ C．OE＝BE D．∠COB＝2∠BAD【分析】连接OD，如图，根据垂径定理得到CE＝DE，＝，＝，再＝得到∠BOC＝∠BOD，然后根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAD，从而可对各选项进行判断．【解答】解：连接OD，如图，∵AB⊥CD，∴CE＝DE，＝，＝，∵＝，∴∠BOC＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOC＝2∠BAD．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．4．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3且k≠﹣2 D．k≥﹣3且k≠﹣2【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：Δ＝4+4（k+2）≥0，∴解得：k≥﹣3，∵k+2≠0，∴k≥﹣3且k≠﹣2，故选：D．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．5．（3分）为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：依题意，得：1+n+n2＝111，解得：n1＝10，n2＝﹣11．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝mx2与一次函数y＝﹣mx﹣m的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】由二次函数图象的开口及与y轴交点的位置可确定m的正负，再利用一次函数y＝﹣mx﹣m的经过的象限确定m的正负，对比后即可得出结论．【解答】解：∵y＝﹣mx﹣m＝﹣m（x+1），∴一次函数图象经过点（﹣1，0），故B、D不合题意；A、由二次函数y＝mx2的图象开口向上，可知m＞0，由一次函数y＝﹣mx﹣m的图象经过第一、二、三象限可知m＜0，结论矛盾，A选项不符合题意；C、由二次函数y＝mx2的图象开口向下，可知m＜0，由一次函数y＝﹣mx﹣m的图象经过第一、二、三象限可知m＜0，结论一致，C选项符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象，根据二次函数的图象和一次函数图象找出每个选项中m的正负是解题的关键．7．（3分）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，，∠APB＝60°，则的长为（）A． B． C． D．【分析】连接OA，OP，OB，先求出⊙O的半径长为为1，进而可以解决问题．【解答】解：如图，连接OA，OP，OB，∵PA、PB分别与相切⊙O于点A、B，∴PA＝PB，OA⊥AB，OB⊥PB，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∵PA＝，∴∠APO＝∠APB＝×60°＝30°，∴OA＝AP•tan30°＝×＝1．故⊙O的半径长为为1，则的长＝＝π．故选：B．【点评】此题考查了切线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，若，∠E＝70°，则∠ABC的度数（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】连接DB，由同弧所对的圆周角相等，得到．∠A＝70°，由AB是⊙O的直径，得到∠ADB＝90°，所以∠ABD＝90°﹣∠A＝20°，再由，得到∠DBC＝∠DBA＝20°，进而求出∠ABC的度数．【解答】解：连接DB，∵∠E＝70°，∴∠A＝70°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，∵，∴∠DBC＝∠DBA＝20°，∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟练掌握圆周角的度数与所对的弧的度数的关系是解题的关键．9．（3分）如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为（）A．π B． C．2π D．【分析】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值．【解答】解：连接BC，由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，∴BC＝2，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，∴S扇形ABC＝＝π，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理、扇形的面积计算方法．关键是利用所学的勾股定理以及扇形面积公式求值．10．（3分）若直角三角形中两直角边之比是，则称直角三角形为完美三角形．如图，C是⊙O上半圆上一点，将⊙O沿着BC折叠，与直径AB交于圆心O右侧一点D，若△ABC是完美三角形，则BD：AD为（）A．3：1 B． C． D．7：2【分析】作CH⊥AB交AB于H，连接CD，由折叠和圆周角定理得出AC＝CD，再由完美三角形的定义得出相关边长的等量关系，最后设AH＝DH＝x，代入关系式求解即可．【解答】解：如图，作CH⊥AB交AB于H，连接CD，∵弧CDB是由⊙O部分沿BC折叠得到的，且∠ABC＝∠CBD，∴AC＝CD，又∵CH⊥AB，∴AH＝DH，∵△ABC是完美三角形，∴，，设AH＝DH＝x，则AD＝2x，∴，∴BH＝8x，∴BD＝BH﹣DH＝7x，∴BD：AD＝7x：2x＝7：2．故选：D．【点评】本题考查了圆的折叠问题，三角函数，圆周角定理，直角三角形等知识点，正确画出辅助线，理清思路是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知点A坐标为（﹣1，2），则点A′关于原点的对称点的坐标为（1，﹣2）．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【解答】解：∵点A坐标为（﹣1，2），∴点A′关于原点的对称点的坐标为：（1，﹣2）．故答案为：（1，﹣2）．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．12．（3分）第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，小熙同学幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片，如图，该照片（中间的矩形）长29cm，宽为20cm，他想为此照片配一个四条边宽度相等的镜框（阴影部分），且镜框所占面积为照片面积的，为求镜框的宽度，他设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，化成一般式为4x2+98x﹣145＝0．【分析】本题运用镜框所占面积为照片面积的找等量关系．【解答】解：根据题意可得：2（29+2x）•x+20x•2＝20×29×，整理得：4x2+98x﹣145＝0．故答案为：4x2+98x﹣145＝0．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到等量关系列出方程是解决此题的关键．13．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的底面半径是1．【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，∴圆锥的底面周长是：2π；设圆锥的底面半径是r，则2πr＝2π．解得：r＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．（3分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为3.2m水管AB，在水管的顶端A点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离BC＝3m处达到最高，水柱落地处离池中心距离BD＝8m，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是5m．【分析】建立适当坐标系，写出A，D，E坐标，设EC＝h，设出抛物线的顶点式解析式，再把A，D坐标带进去求值即可．【解答】解：以点B为原点，以BD所在直线为x轴，以BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设EC＝h，则A（0，3.2），D（8，0），E（3，h），设抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把点A（0，3.2），D（8，0），代入得：，解得：，∴抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是5m，故答案为：5．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法是解题的关键．15．（3分）已知O，I分别是△ABC的外心和内心，∠BOC＝144°，则∠BIC的大小是126°或144°．【分析】利用圆周角定理得到∠BAC＝72°或∠BAC＝108°，由于I是△ABC的内心，则∠BIC＝90°+∠BAC，然后把∠BAC的度数代入计算即可．【解答】解：∵O是△ABC的外心，∴∠BAC＝∠BOC＝×144°＝72°（如图1）或∠BAC＝180°﹣72°＝108°，（如图2）∵I是△ABC的内心，∴∠BIC＝90°+∠BAC，当∠BAC＝72°时，∠BIC＝90°+×72°＝126°；当∠BAC＝110°时，∠BIC＝90°+×108°＝144°；即∠BIC的度数为126°或144°．故答案为：126°或144°．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握内心与外心定义．16．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有①③（填序号即可）．【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向上，x＝1时取得最小值，则m≠1，可判断③；由图象知BC≠AC，从而可以判断④．【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．∴二次函数的对称轴为x＝＝1，即﹣＝1，∴2a+b＝0．故①正确；②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．又∵b＝﹣2a．∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．∴2c＝3b．故②错误；③∵抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，∴抛物线开口向上．∴x＝1时，二次函数有最小值．∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．即a+b＜am2+bm．故③正确；④由图象可得，AC≠BC．故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故⑤错误；故①③正确．故答案为①③．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．【分析】移项后配方得出x2﹣4x+4＝7+4，推出（x﹣2）2＝11，开方后得出方程x﹣2＝±，求出方程的解即可．【解答】解：移项得：x2﹣4x＝7，配方得：x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，开方得：x﹣2＝±，∴原方程的解是：x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查了解一元一次方程和用配方法解一元二次方程的应用，关键是配方后得出（x﹣2）2＝11，题目比较典型，难度适中．18．（8分）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD．【分析】过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知AE＝BE，再由垂径定理可知CE＝DE，故可得出结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AB，∵OA＝OB，∴AE＝BE，又∵在⊙O中，∴CE＝DE，∴AC＝BD【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．【分析】（1）根据Δ＝b2﹣4ac进行判断；（2）把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0即可求得k，然后解这个方程即可；【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，所以方程总有两个不相等的实数根．（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，整理，得2﹣k＝0．解得k＝2，此时方程可化为x2﹣4x+3＝0．解此方程，得x1＝1，x2＝3．所以方程的另一根为x＝1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；还有方程根的意义等；20．（8分）如图，等腰△ABC中AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC、CA的延长线分别交于点E、D，EF垂直DC于F．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若AF＝2，EF＝4，求AD的长．【分析】（1）连接OE，首先得到△ABC是等腰三角形，然后结合OA＝OB，证明OD∥AC，进而得到∠OEF＝∠EFC＝90°，即可证明出EF是⊙O的切线；（2）连接BD，首先根据勾股定理求出，然后证明出△AEF∽△ABE，得到，代入求出AB＝10，然后证明出△CEF∽△CBD，得到，求出BD＝2EF＝8，然后利用勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：如图所示，连接OE，∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C，∵OE＝OB，∴∠B＝∠OEB，∴∠OEB＝∠C，∴OE∥AC，而EF⊥DC，∴∠OEF＝∠EFC＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴AE⊥BC，∠AEB＝90°，∴BE＝CE，如图所示，连接BD，∵AF＝2，EF＝4，∠AFE＝90°，∴AE＝，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵∠AEF+∠AEO＝90°，∠OEB+∠AEO＝90°，∴∠AEF＝∠OEB，∴∠OBE＝∠AEF，∵∠AEB＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△ABE，∴，即，解得AB＝10，∵AB为⊙O的直径，∴∠D＝90°，∵EF⊥AC，∴EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∵，∴，∴BD＝2EF＝8，∴AF＝＝6．【点评】此题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质和判定，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．21．（10分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图1，在▱ABCD中，E是边AD上一点，在边BC上画点F，使CF＝AE；（2）如图2，△ABC内接于⊙O，D是的中点，画△ABC的中线AE；（3）如图3，在▱ABCD中，E是边AD上一点，且DE＝DC，画∠BAD的平分线AF；（4）如图4，BC是⊙O的直径，A是⊙O内一点，画△ABC的高AD．【分析】（1）如图1，连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，线段CF即为所求作．（2）如图2，连接OD交BC于点E，连接AE，线段AE即为所求作．（3）如图3，连接AC，BD交于点O，作直线OE交BC于F，作射线AF即可．（4）如图4，延长BA交⊙O于E，延长CA交⊙O于F，连接CE，BF，延长CE交BF的延长线于点T，作直线AT交BC于点D，线段AD即为所求作．【解答】解：（1）如图1中，线段CF即为所求作．（2）如图2中，线段AE即为所求作．（3）如图3中，射线AF即为所求作．（4）如图4中，线段AD即为所求作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是综合运用以上知识解决问题．22．（10分）小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）依据题意易得出每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式y＝﹣50x+800（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．（3）设扣除捐赠后的日销售利润为S元，则得S＝（x﹣8﹣a）（﹣50x+800），利用对称轴的位置即可求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意，可得y＝﹣50x+800（2）∵﹣50x+800≥250∴x≤11w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣50x+800）＝﹣50x2+1200x﹣6400＝﹣50（x﹣12）2+800∵﹣50＜0，∴当x≤12时，w随x的增大而增大，∴当x＝11时，w最大值＝750答：当售价为11元/千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润w最大为750元．（3）设扣除捐赠后的日销售利润为S元，∴S＝（x﹣8﹣a）（﹣50x+800）＝﹣50x2+（1200+50a）x﹣6400﹣800a∵当x≤13时，S随x的增大而增大，∴≥13∴a≥2∴2≤a≤2.5即a的取值范围为2≤a≤2.5【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．23．（10分）【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE；【拓展创新】如图3，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD＝，直接写出△BDC的面积为6．【分析】【问题背景】如图1，根据SAS证明三角形全等即可．【尝试应用】如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．证明△ECG≌△DKF（AAS），推出DF＝EG，再证明FG＝DE＝AE即可．【拓展创新】如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．利用全等三角形的性质证明CE＝BD，CE⊥BD即可．【解答】【问题背景】证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【尝试应用】证明：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．∵DK⊥CD，BF⊥AB，∴∠BDK＝∠ABK＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBK＝∠K＝45°，∴DK＝DB，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，∴∠ECG＝45°，∵BF⊥AB，CA⊥AB，∴AG∥BF，∴∠G＝∠DFK，在△ECG和△DKF中，，∴△ECG≌△DKF（AAS），∴DF＝EG，∵DE＝AE，∴DF+EF＝AE，∴EG+EF＝AE，即FG＝AE．【拓展创新】解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．．∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，同法可证△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2，∵∠AEC＝∠ADB＝45°，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴S△BDC＝•BD•CE＝×