2025年高考数学一轮复习-第三章-第二节-第1课时-函数的单调性与最值-专项训练【含答案】

第三章-第二节-第1课时-函数的单调性与最值-专项训练一、单项选择题1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝－|x| B．y＝x2－2xC．y＝sinx D．y＝x－12．函数f(x)＝－x＋1x在−2A．32 B．－8C．－2 D．23．设a∈R，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则()A．f(a2＋a＋2)＞f7B．f(a2＋a＋2)＜f7C．f(a2＋a＋2)≥f7D．f(a2＋a＋2)≤f74．函数f(x)＝ln(4x2－1)的单调递增区间是()A．12，+∞C．−12，125．已知定义在[－1，3]上的函数f(x)满足：对于任意的x1，x2∈[－1，3]，且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＜0，则不等式f(1－2x)≥f(x＋1)的解集为()A．(－∞，0] B．[0，1]C．[－1，0] D．[0，＋∞)6．已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有fxA．y＝f(x)＋x是增函数B．y＝f(x)＋x是减函数C．y＝f(x)是增函数D．y＝f(x)是减函数二、多项选择题7．已知函数f(x)＝ax+2x+2(a∈RA．f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)B．f(x)在[－1，0]上的值域为[2－a，1]C．若f(x)在(－∞，－2)上单调递减，则a＜1D．若a＞1，则f(x)在定义域上单调递增8．已知函数f(x)＝lnxA．f(x)在R上为增函数B．f(e)＞f(2)C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0D．当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为[1，2]三、填空题9．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________．10．(2024·西宁模拟)已知函数f(x)＝logax，x＞1，ax−2，x≤四、解答题11．已知函数f(x)＝x2+2x+1(1)当a＝2时，试判断x∈[1，＋∞)时f(x)的单调性，并证明；(2)当x∈(0，1]时，f(x)单调递减；x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递增，试求a的值及x∈(0，＋∞)时f(x)的最小值．12．已知a，b∈R，记max{a，b}＝a，a≥b，b，a＜b，函数f(x(1)写出f(x)的解析式，并求出f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝x2－kf(x)在(－∞，－1]上是单调函数，求实数k的取值范围．13．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，且当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.参考答案1．D[当x＞0时，y＝－|x|＝－x单调递减，A不符合题意；y＝x2－2x不具有单调性，B不符合题意；y＝sinx不具有单调性，C不符合题意；y＝x－1x故选D.]2．A[函数f(x)＝－x＋1x在(－∞，0)上单调递减，则函数f(x)在−2，−13上的最大值为f3．C[因为a2＋a＋2＝a+122＋74≥74，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(a4．A[由4x2－1＞0，可得x＜－12或x＞1所以函数f(x)＝ln(4x2－1)的定义域为−∞，又y＝4x2－1在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(4x2－1)的单调递增区间是125．B[∵对于任意的x1，x2∈[－1，3]，且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＜0，∴x1＜x2时，f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[－1，3]上单调递减，∴由f(1－2x)≥f(x＋1)得，−1≤1−2x≤3，∴不等式f(1－2x)≥f(x＋1)的解集为[0，1].故选B.]6．A[不妨令x1<x2，∴x1－x2<0，∵fx1−fx2x1−x2>－1⇔f(x1)－f(x2)<－(x1－x2)⇔f(x1)＋x令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)，又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数．]7．AC[对于A：由x＋2≠0得x≠－2，则f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，A正确；对于B：f(x)＝ax+2x+2由x∈[－1，0]，可得x＋2∈[1，2]，则1x+2当a＝1时，f(x)＝a，即f(x)在[－1，0]上的值域为{1}；当a＜1时，2−2ax+2∈[1－a，2－2a]，a＋2−2ax+2∈[1，2－a]，即f(当a＞1时，2−2ax+2∈[2－2a，1－a]，a＋2−2ax即f(x)在[－1，0]上的值域为[2－a，1].综上，当a＝1时，f(x)在[－1，0]上的值域为{1}；当a＜1时，f(x)在[－1，0]上的值域为[1，2－a]；当a＞1时，f(x)在[－1，0]上的值域为[2－a，1].B错误；对于C：f(x)＝ax+2x+2若f(x)在(－∞，－2)上单调递减，则2－2a＞0，解得a＜1.C正确；对于D：f(x)＝ax+2x+2则a＞1时，f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上单调递增．D错误．故选AC.]8．BC[易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A错误，B正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≥0或a≤－1，故C正确；当x∈[－1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1，1]时，f(x)∈(－∞，2]，故D错误．]9．14[令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t2＝－t−122＋14，当t＝12，即x＝110．(1，2][因为对任意x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2＞0，所以函数f解得1＜a≤2．]点拨：分段函数在R上具有单调性，注意衔接点处建立不等式．11．解：(1)a＝2时，f(x)＝x＋12xx≥1时，f′(x)＝1－12∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增．(2)∵f(x)＝x＋1ax＋2，∴f′(x)＝1－1∵当x∈(0，1]时，f(x)单调递减；当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递增，∴f′(1)＝1－1a＝0，∴a∵f(x)＝x＋1x＋2在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当x＝1时，f(x12．解：(1)因为|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3，当x≥12时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x－3≥则f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x＋1|＝x＋1；当x＜12时，|x＋1|2－|x－2|2＝6x则f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}＝|x－2|＝2－x.所以f(x)＝2−x，x＜12，x+1所以函数f(x)的最小值为f12＝12＋1＝(2)当x≤－1时，f(x)＝2－x，则g(x)＝x2－kf(x)＝x2＋kx－2k，因为函数g(x)在(－∞，－1]上单调，且二次函数g(x)的图象开口向上，故函数g(x)在(－∞，－1]上只能单调递减，所以－k2≥－1，解得k≤2，因此，实数k的取值范围是(－∞，2]13．解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，所以f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x