勾股定理及证明-2020-2021学年八年级数学下册常考题（人教版）（解析版）

专题06勾股定理及证明

★知识归纳

•勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为。，b,斜边长为c,那么

a2+b2=。2.

要点梳理：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解,

这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

a1=c2-h2,b2=c2-a2,c2=（a+b）2-2ab.

•勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图⑴中“力小⑦=（a+4=c2+4x%8,所以川+川入？.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图中S埒.⑦=，=9-a）2+4xl%所以1=/+/•

At/>/2

1

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

£皿5=g+胆+'）=2XL：+。，所以

•勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2.用于解决带有平方关系的证明问题；

3.利用勾股定理，作出长为后的线段.

★实操夯实

选择题（共13小题）

1.在Rt^ABC中，两条直角边的长分别为5和12,则斜边的长为（）

A.6B.7C.10D.13

【解答】解：由勾股定理得，斜边长=452+122=13,

故选：D.

2.如图，OP=1,过点P作尸P」O尸且尸Pl=l,得OP1=M；再过点Pl作PlP2,OPl且尸1尸2=1,得。尸2=«;

又过点P2作P2P3,0尸2且P2P3=1,得OP3=2…依此法继续作下去，得OP2（M7=（)

2

5P

p,2

OP

A.V2015B.V2016C.V2017D.V2018

【解答】解：；OP=1,0尸|=圾，0尸2=“，OP3=T=2,

**•OP44[2+]2=5/5,

OP2017=V2018.

故选：D.

3.直角三角形两直角边长为“，江斜边上高为/z,则下列各式总能成立的是（）

A.ab—h2B.a2+/>2—2/z2

—工D,J-+J-=J-

222

abhabh

【解答】解：根据直角三角形的面积可以导出：斜边。=也.

h

再结合勾股定理：cr+lr=c1.

22

进行等量代换，得。2+廿=三与

h2

两边同除以a%-‘得」_一

a2b2h2

故选：D.

4.如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（）

3

A.3cw2B.4czM2C.5cm2D.6cm1

【解答】解：由勾股定理得：.2+42=5(cm),

，阴影部分的面积=5X1=5(C/M2)；

故选：C.

5.如图，在RtAABC中，NAC8=90°,AB=4.分别以AC,BC为直径作半圆，面积分别记为Si,52,则Si+52

的值等于()

A.2TCB.3nC.4TTD.8TT

【解答】解：；51=工71(AC)2=2^462,S2=—nBC2,

2288

...SI+S2=1TT(AC2+BC2)——nAB2—2TT.

88

故选：A.

6.若一直角三角形的两边长分别是6,8,则第三边长为()

A.10B.2A/7C.10或幺々D.14

【解答】解：设第三边为X,

①当8是斜边，则62+X2=82,

②当8是直角边，则62+82=/解得犬=10,

4

解得x=2V7.

，第三边长为10或20.

故选：C.

7.如图，在数轴上，点A,3对应的实数分别为1,3,BC±AB,BC=1,以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴

正半轴于点P,则尸点对应的实数为()

01231P4

A.V5+1B.V5C.V5+3D.4-V5

【解答】解：•.•点4,8对应的实数分别为1,3,

."8=2,

/.ZABC=90",

・"0=融2+802=322+]2=旄,

则”=旄，

尸点对应的实数为加+1,

故选：A.

8.如图，在RI/V1BC中，N8C4=90°,△布8中48边上的高等于AB的长度，中8。边上的高等于BC

的长度，△“AC中AC边上的高等于AC的长度，且△3B,△Q8C的面积分别是10和8,则△4CH的面积是

()

Q

H

5

A.2B.4C.6D.9

【解答】解：在RtZ\ABC中，ZBCA=90°,

222

：.AC+BC=ABf

：.AA^+^BC2=A/IB2,

222

中AB边上的高等于AB的长度，Z^Q8c中BC边上的高等于BC的长度，。中AC边上的高等于

AC的长度，且△B48,△QBC的面积分别是10和8,

.•.△ACH的面积是10-8=2.

故选：A.

9.下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称图形的是（）

n廖

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

8、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，故此选项符合题意；

。、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C.

10.如图，分别以直角^ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用51、5：2、S3表示，若S2=7,53=2,那么

5i=()

6

A.9B.5C.53D.45

【解答】解：在RtZkABC中，AB2=BC2+AC2,

S2=B&S3=AC2,

Sl=S2+53.

VS2=7,53=2,

・・・Si=7+2=9.

故选：A.

11.如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（）

D.169

根据勾股定理得出：AB={AC?-BC2132-122二5,

：.EF=AB=5,

・•・阴影部分面积是25,

7

故选：B.

12.在△ABC中，A8=AC=5,BC=6,M是2c的中点，MNLAC于点、N,则MN=()

A.A?.B.A/61C.6D.11

5

【解答】解：连接AM,

'：AB^AC,点M为BC中点、,

.'.AM-LCM(三线合一)，BM=CM,

'：AB=AC^5,8c=6,

:.BM=CM=3,

在RtZ\ABM中，AB=5,BM=3,

=22

,根据勾股定理得：AMVAB-BM=>/52-32=4,

又SMMC=—MN-AC=—AM'MC,

22

丝.

AC5

故选：A.

13.ZVIBC中，AB=17,4c=10,高AO=8,则△ABC的周长是（）

A.54B.44C.36或48D.54或33

【解答】解：分两种情况：

①如图1所示：

8

BD

图1

YAQ是8c边上的高，

.•./ADB=N4OC=90°,

•■•SD=VAB2-AD2=V172-82=I5,CD=VAC2-AD2=V102-82=6,

BC=BD+CD=15+6=21；

此时，ZViBC的周长为：AB+BC+AC=17+10+21=48.

②如图2所示：

同①得：80=15,CD=6,

：.BC=BD-CD=\5-6=9；

此时，△ABC的周长为：AB+BC+AC^17+10+9=36.

综上所述：△A8C的周长为48或36.

故选：C.

二.填空题(共3小题)

14.平面直角坐标系上有点A(-3,4),则它到坐标原点的距离为5

【解答】解：•点A(-3,4),

.•.它到坐标原点的距离='(一,2+42=5,

9

故答案为：5.

15.如图，在RtZVlBC中，N4CB=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离CD=卫3

一5一

【解答】解：在RtZ\ABC中，乙4cB=90°,

:.AC2+BC2=AB2,

VBC=12,AC=9,

;MB=VAC2+BC2=V92+122=I5,

■:XABC的面积=LU8C=LB。,

22

•.•V^x.-x_—ACXBC—_9X12—_36,

AB155

故答案为：36.

5

16.如图，在RtZiABC中，ZC=90°,BE,AF分别是NABC,NCAB平分线，BE,AF交于点。，OM_LAB,AB

=10,AC=8,则OM=2.

【解答】解：过。作。G,AC于G,OHLBC于H,连接OC,

10

TAF平分NCA8,BE平分NA8C,

OG=OH=OM,

VZC=90°,AB=10,AC=8,

BC=yjio2_g2=6

：.S.MBC=—AC-BC=工XA3OM+^AC-OG+工BUOH,

2222

.■蒋X8X6=/xI。XOM+98义°G+/x6XOH,

：.OM=2,

故答案为：2.

三.解答题(共12小题)

17.如图，已知△ABC中，ZACB=90°,过点B作BZ)〃AC,交NACB的平分线CQ于点。，CD交AB于点E.

(1)求证：BC=BD；

(2)若AC=3,AB=6,求CO的长.

11

【解答】（1）证明：u：ZACB=90°,平分NAC8,

：.ZBCD=ZACD=^-ZACB=^X90°=45°,

22

•/80〃AC,

：.ZD=ZACD=45°,

：.ZD=ZBCD,

：.BC=BD；

(2)解：在RtAACB中，BC=寸AB2_AC2={62_32=35/"^,

:.BD=3M，

VZBCD=ZD=45°,

；.NCBD=90°,

,CD=VBC2+BD2=V(3V3)2+(3V3)2=3a^-

18.以“、人为直角边，以c为斜边作全等的直角三角形aACE和△BDE,把这两个直角三角形拼成如图所示形状,

使A、E、8三点在一条直线上.求证：a2+b2^c2.

【解答】证明：由图可得，—X(a+b)Ca+b)=—ab+—c2+—ab,

2222

999

整理得a+2ab+b4_2ab+c

22-

则a2-^2ab+b2=2ab+c2,

故a2+b2=c1.

12

19.如图，在△ABC中，ZC=90°,NB=30°,A。是△ABC的角平分线，DELAB,垂足为E,DE=1,求BC

的长.

【解答】解：是△ABC的角平分线，ZC=90°,DEA.A13,

：.DC=DE=\,

在RtZXOEB中，ZB=30°,

：.BD=2DE=2,

:.BC=CD+BD=3.

20.如图，在四边形ABC。中，AB=AD=4,乙4=60°,ZADC=150°,CD=3,求BC的长.

【解答】解：连接08,如右图所示,

'：AB=AD=4,ZA=60",

...△A3。是等边三角形，

：.BD=AB=4,/AOB=6(T,

VZADC=\50°,

A90°,

又,：CD=3,

22=22=5,

BC=VBD<D74+3

13

即8C的长是5.

21.在△ABC中，AD平分N8AC交8C于点。，在AB上取一点E,使得EA=ED.

(1)求证：DE//AC；

(2)若ED=EB,BD=2,E4=3,求AD的长.

【解答】(1)证明：・.・A。平分NBAC,

AZ1=Z2,

,:EA=ED,

AZ1=Z3,

AZ2=Z3,

：.DE//AC；

(2)解法一：•;ED=EB,ED=EA,

:・EA=EB=3,ZB=Z4.

：.AB=6t

又・・♦£)£〃AC,

JZ4=ZC.

14

AZB=ZC.

又=AD=AD,

.••△84力g△CAD

.・・ZADB=ZADC.

VZADB+ZADC=180°,

AZADB=ZADC=9Q°,

在中，由勾股定理得：AD=VAB2-BD2=W2,

解法二：,:ED=EB,ED=EA,

AZB=Z4,ED=EB=EA=3.

・,.A5=6,

在aAB0中，N8+N4+N3+N1=180°,

VZ1=Z3,ZB=Z4,

.••NB+N4+N3+N1=2/3+2/4=180°.

・・・N4O5=N3+N4=90°.

在RtAABO中，由勾股定理得：AD=7AB2-BD2=V2,

22.如图，在四边形A3CO中，AB=AD=6fNA=60°,BC=10,CD=8.

15

(1)求NAQC的度数；

(2)求四边形A8C7)的面积.

【解答】解：（1）连接BC,

'：AB=AD=6,NA=60°,

...△A3。是等边三角形，

：.BD=6,4力8=60°,

V£fC=10,CO=8,

则BlJr+CD2=82+62=100,BC2=IO2=IOO,

:.B0+C0=B2

：.ZBDC=90a,

Z4DC=150°；

（2）S=SA,ABD+SABDC

=XAD'^-AD+—BD*DC

222

=_LX6X返X6+^X8X6

222

=9-\/54-24.

23.在△ABC中，AC=2\,BC=\3,点。是AC所在直线上的点，BDLAC,BD=\2.

16

(1)根据题意画出图形，求A。的长;

(2)若点E是AB边上的动点，连接CE,求线段OE的最小值.

【解答】解：(1)①当NAC8为锐角时，

如图所示：

'：BD±AC,8c=13,80=12,

C£>=7BC2-BD2=V132-122=5,

：.AD=AC-CD=2]-5=16：

②当/AC8为钝角时，

同理可得:40=21+5=26,

故AD为16或26；

(2)①当乙4c8为锐角时，

当时，DE最短，

J4B=VAD2+BD2=V162+122=2。,

VAAD«DB=AAB*D£,

22

.•.DE=¥X12=9.6,

20

当NAC8为钝角时，

则AB=7AD2+BD2=V262+122=2^2051

17

同理可得：―=AD・BD—12X26—156届

AB2V205205

线段DE使得最小值为9.6或受返恒.

205

22

a+

24.已知P=2ab+b+^±.(/,^O,a手-h)

b(a+b)b

(1)化简P.

(2)如图所示，若a,6是RtZ\A8C的两条直角边，且/A=3O°,求产的值.

a2+2ab+b2+a-b(a+b)2+a-ba+b+a-b2a即2a.

【解答】解：(1)P=

b(a+b)bb(a+b)bbbb

(2)Va,。是RiA48C的两条直角边，且NA=3O°,

.\AB=2a.

又•；AB2=°2+b2,

.\4a1=a1+h2,

.,.3t72=Z72,

**•b—.

.D_2a_2a_2^3

bV3a3

即尸的值是空号.

3

18

B

25.如图，在平面直角坐标系中，点A（4,如）,点8在x轴的正半轴上,且OB=5.

（1）写出点8的坐标；

（2）求AB的长.

【解答】解：（1）如图，：点8在1的正半轴上，且。8=5,

:.点B的坐标是（5,0）；

（2）如图，过点4作ACLOB于点C,

:点4（4,加）,

；.8C=5-4=1,AC=«.

在直角AABC中，由勾股定理得：A，=正2+BC2=5/（5）2+12.即AB=2.

26.尺规作图：作无理数相.

作法：

①在数轴上点A,B,C分别表示-2,-1,0,分别以点A,8为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点。;

19

②连接C£>,以点C为圆心，CD长为半径画弧，交数轴正半轴于点尸.则点P表示的数就是无理数

(1)判断△AC。的形状，并说明理由；

(2)说明点P表示的数就是无理数遂的理由.

—________>

-3-2-101723V

【解答】解：(1)△ACD是直角三角形，

理由：由题意可得，

AD=AB=BD=BC=l,

・•・△A3。是等边三角形，NBDC=NBCD,

：.ZDAB=60°,ZDBA=60°,

,:NDBA=NBDC+/BCD,

：.ZBCD=30Q,

/.ZADC=1800-ZDAB-ZBCD=90°,

・・・△AC。是直角三角形；

(2)•••△ACO是直角三角形，AD=],AC=2,ZADC=90°,

"：22

CPVAC-AD=722-12=

♦：CD=CP,

CP—yf2,

♦.•点C表示的数为0,

.••点？表示的数就是无理数

27.如图1,RtZXABC中，ACLCB,AC=15,AB=25,点力为斜边上动点.

(1)如图2,过点。作DE_L48交CB于点E,连接AE,当AE平分/C48时，求CE；

20

(2)如图3,在点。的运动过程中，连接CQ,若△4C。为等腰三角形，求AD

【解答】解：(1)-：AC±CB,AC=15,AB=25

BC=20,

平分/CA8,

NEAC=ZEAD,

'：AC±CB,DELAB,

：.ZEDA=ZECA=90°,

"：AE^AE,

.•.—ADE(44S),

:.CE=DE,AC=AD=15,

设CE=x,则8E=20-x,BD=25-15=10

在RtABED中

/.x2+l02=(20-x)2,

，x=7.5,

：.CE=1.5.

(2)①当AQ=AC时，△ACO为等腰三角形

VAC=15,

21

：.AD=AC=\5.

②当C£>=AO时，△ACD为等腰三角形

,:CD=AD,

：.ZDCA=ZCAD,

・・・/C45+NB=90°