初中数学试卷：数学中考圆解答题汇编

2022数学中考圆解答题汇编

1.(2019浙江省温州市，22,10分)(本题满分10分)

如图，在aABC中，NBAC=90°,点E在BC边上，且CA=CE,过A,C,E三点的。。交AB于另一点F,

作直径AD,连结DE并延长交AB于点G,连结CD,CF.

(1)求证：四边形DCFG是平行四边形；

3

(2)当BE=4,CD=3AB时，求。0的直径长.

8

【解题过程】(1)连接AE.VZBAC=90°,ACF是。0的直径.

AC=EC,，CF_LAE.：AD为。0的直径，/.ZAED=90o,即GD_LAE,；.CF〃DG.

AD为。。的直径，.\ZACD=90o,AZACD+ZBAC=180°,AAB//CD,四边形DCFG为平行

四边形；

3

(2)由CD=-AB,可设CD=3x,AB=8x,.-.CD=FG=3x.

8

ZA0F=ZC0D,，AF=CD=3x,；.BG=8x-3x-3x=2x.

RF,

GE〃CF,/.△BGE^ACDE,——=——=一.

EGGF3

又：BE=4,；.AC=CE=6,.*.BC=6+4=10,AAB-71O2-62=8=8x,.\x=l.

在Rtz^ACF中，AF=3,AC=6,.\CF=732+62=375,即。0的直径长为3石.

2.(2019年浙江省绍兴市，第21题，10分)在屏幕上有如下内容：

如图，△ABC内接于圆O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的延长线于点D.

张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解答0

(1)在屏幕内容中添加条件/D=30。，求AD的长，请你解答.

(2)以下是小明，小聪的对话:

以鼓小明.遇

1F,此彳以#出八。的矢.

小期1人扣的余件，的是/人"3。・.连幼

DC”..口八

参考此对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目(可以添线、添字母)，并解答.

【解题过程】

.“£!与

.•./OCX"二.

乂“皿3

二。…K二

布;方德的嫁令运用•.军所...目的答案.

⑶-奥f器匿箱pD.设BDr.pD=»求，关于工的关京式.・

“?丫全等三.彩机似..物所废制.目的芥案•

-七三侬-8、求三△ACB—DCO.加答%

雪蠹段皿器1I案尸1Ml案•

如，加条件/人所尸60.东风的长.斯齐略・

3.(2019江苏盐城卷，24,10)如图，在RtzXABC中，NACB=90。，CC是斜边AB上的中线,以CD为

直径的。。分别交AC、8c于点M、N,过点N作NE_LAB,垂足为E.

(1)若。。的半径为2,4C=6,求BN的长;

(2)求证：NE与。。相切.

解:(1)：,(9D=OC=|,二CD=5

:・/4。5=90。78是斜边上的中线

工48=28=10

BD=CD=5

；NC=6

2

・•・在RtZLLBC中,BC=JAB-AC2=8

>A/\A^IAAAAAA<"W"M"V*Z»▼

连接nv,如图‘

VCD为直径

.：^DNC=9Q°

.：N为8c中点（等腰三角形三线合一）

1

.'.BN=-BC=4

2

B

（2）为。。上一点，连结NO

又•:BD=CD

6=0

OC=ON

C二G

NOIIAB

NELIB

NOINE

NE•与G)o相切

4.（2019-山西）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式

和定理，下面就是欧拉发现的一个定理:在^ABC中,R和r分别为外接圆和内切圆的半径Q和I分别为其外

心和内心，则0/2=犬2.2Rr.

如图1,00和01分别是4ABC的外接圆和内切圆,与AB相切于点F,设©0的半径为R,®I的半径为

r,外心0（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离0I=d，则有

cl2=R2-2Rr.

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交。0于点D,过点I作。0的直径MN,连接DM,AN.

•；ND=NN,NDMI=/NAI（同弧所对的圆周角相等），

.•.△MDI^AANLA—=—IA2IDIM?IN.①

MIN

如图2,在图1（隐去MD,AN）的基础上作©0的直径DE,连接BE,BD,BI,IF.

ODE是00的直径,.•.NDBE=90°与AB相切于点F,.\ZAFI=90°ZDBE=ZIFA.

VZBAD=ZE（同弧所对的圆周角相等）:.△AIFS/^EDB.

，生=巴:IA?BDDE?IF.②

DEBD

任务:

（1）观察发现:IM=R+r,IN=（用含R,d的代数式表示）；

（2）请判断BD和ID的数量关系,并说明理由；

（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1）,（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余

部分;

（4）应用:若4ABC的外接圆的半径为5cm,内切圆的半径为2cm，则4ABC的外心与内心之间的距离为

—cm

DD

图1图2

第21题图

【思路分析】（1）MN是直径，根据内切圆与外接圆半径与它的关系得到IN的代数式（2）由内切圆是三角

形三条角平分线的交点,转化相等的角，再利用同弧所对的圆周角相等转化角，最后得到NBID=/DBI,利用

等角对等边得证（3）由材料得到的结论及任务（1）（2）等量代换得线段等积式,从而得证结论（4）根据

结论直接应用求解.

【解题过程】（1）IN=R-d;

（2）BD=ID.理由如下：；点IMAABC的内心,二NBAD=NCAD,/CBI=NABI,「NDBC=NCAD,N

BID=ZBAD+ZABI,ZDBI=ZDBC+ZCBI,.*.NBID=NDBI,；.BD=ID;

（3）由（2）知:BD=ID,AIA2IDDE2IF,又；IA7IDIM2IN，,DE?IFIM?IN，」.

2R?r（R+d）?（Rd）.：.R2-d2=2/?r,.\d2=R2-2Rr;

（4）由屋=7?2-2尺「得I?=R2-2Rr=52-2仓42=5,Vd>0,.'.=75.

5.（2019•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，^ABC的顶点A在格点上，B是小正方

形边的中点，ZABC=50°,ZBAC=30°,经过点A.B的圆的圆心在边AC上，

（1）线段AB的长等于一

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P,使其满足/PAC=/PBC=NPCB,并简

要说明点P的位置是如何找到的（不需要证明）

【答案】（1）2'（2）如图，取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线

相交于点D,连接D0并延长，交。。于点Q,连接QC并延长，与点B,0的连线B0相交于点P,连

接AP,则点P满足NPAC=ZPBC=ZPCB

布

1-

【解析】（1）如图，RtZ\ABD中，AD=2,BD=-，由勾股定理可得AB=-

2

（2）由于点A在格点上，可得直角，根据圆周角是直角所对的弦是直径可以作出直径，又因为圆心在

AC上，所以取圆与网格线的交点E,F连接EF与AC相交，得圆心O；AB与网格线相交于点D,则点

D为AB的中点,连接DO并延长，根据垂径定理可得则DO垂直平分AB,连接B0,则/OAB=NOBA=30。,

因为NABC=50。，所以/OBC=20。，DO的延长线交。O于点Q,连接QC并延长，与点B,0的连线B0

相交于点P,连接AP,则点P满足NPAC=NPBC=/PCB.

6.(2019•湖州)已知一条弧所对的圆周角的度数为15°,则它所对的圆心角的度数是.

【答案】30°.

【解析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆心角的度数是该弧所对圆周角的度数的2倍，可知答案

为30°.

4.(2019•台州)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接

AE,若/ABC=64°,则NBAE的度数为.

【答案】52。

【解析】•..圆内接四边形ABCD,r./B+ND=180°/B=64°/D=116°,又：点D关于AC的对

称点是点E,；.ND=NAEC=116°，又：NAEC=NB+NBAE,.\NBAE=52°.

7.(2019•苏州，26,12)如图，4B为。。的直径，C为。。上一点，。是弧BC的中点，BC与4力、

0。分别交于点E、F.(1)求证：DO//AC；(2)求证：DE-DA^DC1；(3)若tan/C4O=L,求sin

2

ACDA的值.

第26题图

【解题过程】解：(1):点。是BC中点，O。是圆的半径，...OCBC,TAB是圆的直径，

=90°，：.AC//OD；

(2),:CD=BD,：.ZCAD^ZDCB,：.^\DCE<^/XDCA,：.CD2=DE-DA；

(3)'."tanZCAD=-,.•.△DCE和△£>4C的相似比为,，设：DE=a,则C£)=2a,AD=4a,AE=

22

3a,

AP1

/.——=3,即△AEC和△/»：尸的相似比为3,设EF=k,则CE=3匕BC=8kftanZCAD=~,：.AC

DE2

=6匕AB=\Ok,：.s\nZCDA=-.

5

8.（2019安徽，19题号，10分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在

《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已

知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米，ZOAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点（C,

O的连线垂直于AB）.求点C到弦AB所在直线的距离.

（参考数据：sin41.3°七0.66,cos41.3°g0.75,tan41.3°30.88）

【解题过程】解：连接CO并延长，交ABT点D,所以CDLAB,所以D为AB中点，所

求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长..............2分

在RtZXAOD中，VAD=-AB=3,ZOAD=41.3°，

2

An3

；.OD=AD•lan41.30=3X0.88=2.64,OA=-------------弋--------=4.......................8分

cos41.300.75

•••CD=CO+OD=AO+OD2.64+4=6.64..............................10分

答：运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.

9.（2019•宁波）如图1,00经过等边三角形ABC的顶点A,C（圆心O在4ABC内）,分别与AB,CB的延长线

交于点D,E,连接DE,BF，EC交AE于点F.

（1）求证:BD=BE;

（2）当AF:EF=3:2,AC=6时，求AE的长；

Ap

（3）设一=x,tanZDAE=y.

EF

①求y关于x的函数表达式；

②如图2,连接OF,OB,若4AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值.

解：(口:△ABC为等边三角形,二/BAC=NC=60°,ZDEB=ZBAC=60°,ZD=ZC=60°,ZDEB=

ZD,BD=BE.

⑵如图，过点A作AG±EC于点G,VAABC为等边三角形,AC=6,.*.BG=■5•BC=LAC=3,在RtAABG

22

Apn

中,AG=6BG=3石，；BF_LEC,BF〃AG,二——=——,VAF:EF=3:2,ABE=-BG=2,AEG=BE+BG

EFEB3

=3+2=5,.•.在RtAAEG中,AE=JAG?+EG2=2岳;

答图(1)

FH巧pi

⑶①如图，过点E作EH1AD于点H「・・NEBD=NABC=60,在RtABEH中,一=sin60=—,EH=—

EB22

iAA*111

BE,BH=-BE,——=——=x,BG=xBE,AB=BC=2BG=2xBE,AH=AB+BH=2xBE+-BE=(2x+-)BE,Rt

2EBEF22

—BE

EH_G,

△AHE中,lanEAD=-----=2

AH2x+MBE~4x+l4x+l'

答图⑵

②如图，过点O作OM_LEC于点M,设BE=a「・・一=一=x,，CG=BG=xBE=ax,.・.EC=CG+BG+BE=

EBEF

a+2ax,EM=-EC=-a+ax,BM=EM—BE=ax-4a,：BF//AG,A△EBFs△EGA,A

222

—，:AG=GBG=6ax,；.BF=—AG=,△OFB的面积=

AGEGa+ax1+x1+x1+x

BF与^6-ga),△AEC的面积=E。；。=gx疯zr(a+2ax)，:△OFB的面积是4AEC的

面积的10倍,二lOxgx—+2办)，・・・2x2—7x+6=0,解之，得XI=2,X2=g,y=(

或必

7

答图（3）

10.（2019•自贡）如图，。0中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接4力、BC,

第21题图

求证：（1）而=就；（2）AE=CE.

解：（1）连接AO,BO,CO,DO,

；AB=CD,

NAOB=NCOD,

ZAOD=ZBOC,

AAD=BC.

(2)VXD=BC,

：.AD=BC,

\"AC=AC,

ZADC=ZABC,

又；NAED^NCEB,

，/XADE^^CBE,

：.AE=CE.

11.（2019•攀枝花）在平面直角坐标系x。），中，已知4（0,2）,动点P在尤的图象上运动（不

与。重合），连接AP，过点P作PQL4P,交x轴于点。，连接A。。

（1）求线段AP长度的取值范围；

（2）试问：点P运动过程中，NQAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由。

（3）当AOP。为等腰三角形时，求点。的坐标.

解：(1)作AH_LOP,则4七4”.

•.•点P在丫=当1的图象上，

：.ZHOQ=30°,ZHOA=60°.

(0,2),/.AW=AOsin60o=.

：.AP>y/3.

（2）NQAP是定值.

法一：（共圆法）

①当点尸在第一象限的线段O”的延长线上时，

由ZQPA=ZQOA=90°,可得/APQ+N4OQ=180°,

；.P、。、0、A四点共圆

.•./PAQ=NPOQ=30。.

②当点P在第一象限的线段。，上时，

由/QPA=/QOA=90。，可得P、0、。、A四点共圆

NPAQ+NPOQ=180°,又；ZPOQ=\50°,

.../PAQ=180°-NPOQ=30°.

y

③当点尸在第三象限时，特殊角的三角函数值；

由/QPA=NQOA=90。，可得Q、P、0、A四点共圆

：.ZPAQ=ZPOQ=30°.

法二：（相似法）

①当点尸在第三象限时，

由/QPA=NQOA=90°,可得ABPQSABOA.

PBQB

：.——=­/.AQBASAPBO.

OBAB

：.ZPAQ=ZPOQ=30°,

②当点P在第一象限且点B在A尸延长线上时，

由ZQPA=NQ0A=90。，可得/BPQ=ZBOA=90°,

BPBQ

:MPQS^BOA.；.——=—

BOBA

:.△BPOSABQA.：.ZPAQ^ZPOB^30°.

③当点P在第一象限且点8在PA延长线上时,

由NQPA=NQCM=90。，可得/8尸。=N8O4=90。,

.BP__BQ

：,〉BPQsbBOA.

'BO-SA

:ZPOS^BQA.ZPAQ=ZPOQ=30°.

(3)设尸("z,—―/?/),Q(〃，0),

、:OA2+OQ1=AP2+PQ1

.\22+a2=m2+(^-fn-2)2+(a-m)2+(^-m)2

33

整理，得户包包.

3

4m-26

，。（-----------,0).

3

01^=—nr,OQ2=—m2——A/3m+—.

3993

PQ2=-m2——>/3/n+—.

~993

①当OP=OQ时，则士,"2=史,“2—J_百〃?+士

3993

整理,得小一4>/L"+3=0,解得"?=2打±3.

21(2++4,0),。2(2百-4,0).

444r-4

②当PO=P。时，则一,〃2=一〃72--6m+一

3993

整理得：2"尸+，〃-3=0,

解得解得，〃=0，或m=一石.

2

当用=乎时，Q点与。重合，舍去，

：.m=~43./.03(-2>/3,0).

③当。0=。尸时，

,,16,16r-44,4厂4

则r——m———V3tn+—=—m——v3m+-

993993

整理，得nr—>/3”?=0.

解得"尸石

；Q（¥，O）.

综上，当△OPQ为等腰三角形时.，点。的坐标为。1(26+4,0),。2(26-4,0),。3(-26,0),Q(―,0).

12.（2019•济宁）

如图，4B是G)0的直径，C是。。上一点，。是弧AC的中点，E为。。延长线上一点，ZCAE-2

ZC,AC与BD交于点H,与0E交于点立

(1)求证：AE是。。的切线；

3

(2)若Z)H=9,tanC=一，求直径A8的长.

4

解：：。是弧4c的中点，/CAE=2/C,，/EA。

=ZC,VZC=ZB,/.ZB=ZEAD,TAB是。。的直径，AZADB=90°,ZDAB+ZB=90°,

：.ZEAD+ZDAB^90°,：.ZEAO=90°,是<9。的切线；

4上0/73934

在AAQH中NAQ”=90°,DH=9,ZDAH^ZC,/.tanZDA//=——=一，；.——=一，；.AO=12,在

AD4BD4

3AD3

△8A£>中NA£>B=90°,AD—X2,；.tan/B=tan/C=一,；.tan/8=----——,.'.BD=16,VZADB—

4BD4

90。，AB=ACT+BEr=V122+162=20•

13.(2019•无锡)如图1,在矩形ABCD中，BC=3,动点P从3出发，以每秒1个单位的速度，沿射线

BC方向移动，作关于直线力的对称△Q4A,设点P的运动时间为f(s).

(1)若①如图2,当点8落在AC上时，显然△PC8'是直角三角形，求此时f的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得△PC*是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的，的值？若

不存在，请说明理由；

(2)当P点不与C点重合时,若直线PB'与直线CZ)相交于点M,且当fV3时存在某一时刻有结论/办M=45°

成立，试探究：对于，＞3的任意时刻，结论NB4M=45。是否总是成立？请说明理由.

图1图2备用