三年级上册数学试题-奥数几何

图形剪拼

'J知识框架

一、本讲主要学习三大图形处理方法:

(1)理解掌握图形的分割；

(2)理解掌握图形的拼合；

(3)理解图形的剪拼.

本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试.通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分

割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力.

(1)把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割.

(2)反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合.

(3)将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼.

我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考.

(1)如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称

点，把图形先分少，再分多.

(2)图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的

多少，再结合数量来分割图形.

(3)如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼

合在一起，先拼少的，再拼多的.

(4)如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和

图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法.

二'解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形(等角直角三角形、等边三角形等)、正

方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解题。

三、解题思想：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方

法，更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用。

J例题精讲

【例1］用直线把左图分成面积相等的两部分，在右图中画虚线给出了分法，其中正确的有个。

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】填空

【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，复赛，第14题，4分

【解析】2个，第3个不是平分（本题有歧义，第一个图是三部分）

【答案】2个

【巩固】在一块长方形的地里有一正方形的水池（如下图）.试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块.

【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】解答

【解析】用连对南线的办法找出这块长方形地的中心。和正方形水池的中心A.过。、A画一条直线，这

条直线正好能把除开水池外的这块地平分为两块（如右上图）.

【答案】

【例2】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】⑴分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，

然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形.

⑵分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点彼此连接起来，得到加上右上图所示的符

合条件的图形.

【答案】

［例3］下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】直角梯形的上底为1,下底为2,要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2,AD边

长正好为3,所以AD边分成两段，找到AD的三等分点E,现在，CD=AE,DE=AB,BF=EF,

所以还要找到3C的中点P,连接就把梯形ABC©分成完全相同的两部分.如下图.

【答案】

［例4］下图是一个3义4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小

方格的完整.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】分成的两块每块有12+2=6（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们

从对称线入手，介绍一种分割技巧---染色法，先选中一个小格，找它关于中心点或中心线的对

称位置，标上相应的符号.当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于中心点的对称位置

【巩固】右图是一个4x4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小

方格的完整.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同.方格纸一共有4x4=16（个）小格，所以分

成的两块每块有16+2=8（个）小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，应用染

色法，从中心点的一侧入手染色，逐步推进.（建议教师同时呈现六幅空的4x4格图，不同的变化

在不同的图上同时呈现）如下图：

【答案】（答案不唯一）

［例5］下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的

四部分.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】要求把阴影部分分成四个大小、形状都相同的四个图形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相

等，也就是把整个图形的面积分成四份，分割后的每一部分占一份.考虑先把阴影部分分成12个

小正方形再分成四份，这样每份正好有3个小正方形.再看形状，三个小正方形只能排成"一"形

或者形.答案如下图.

11

1

11

111

【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形.你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四

个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每

一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三

角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图.

【答案】

［例6］（第九届"中环杯"小学生思维能力训练活动初赛）如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成

的.⑴请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描

粗.⑵分割后每个小图形的周长是________厘米.⑶分割后5个小图形的周长总和与原来大图

形的周长相差________厘米.

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】填空

【解析】⑴因为总共有15个小正方形，所以分成5个大小形状相同的图形后每个图形应该有15+5=3（个）

小正方形，如图.

（2）每个小图形的周长为8厘米.

（3）5个小图形的周长和：8x5=40（厘米），原图形的周长：4x4+2=18（厘米），所以相差40-18=22

（厘米）.

I口1I

【答案】（1）

再

I1I1I

⑵周长为8厘米.

⑶22厘米

【解析】通过计算，18+6=3,说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式:

通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个再由6结合染色法，如下图.

【答案】

【例7】如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形（这些较小的等边三角形的

大小不一定都相同），请在图中画出分割的结果.

【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答

【关键词】2003年，小学生数学报

【解析】分割的方法不唯一，如图所示.

【答案】

【巩固】如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画

图表示.

【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答

【关键词】2005年，小学生数学报

【解析】分割的方法不唯一，如右图所示.

【答案】

[例8]（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛）请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使

每一块里面都有"春蕾杯赛"4个字.

【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答

【解析】如下图所示:

答案不唯一.

【答案】答案不唯一

【巩固】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有"奥数读本"这四个

字中的一个，该怎么剪？

奥数

读本

【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答

【解析】图中"奥数"与"读本"中的两个字都是挨着的，所以肯定要在它们中间分割，因此，首先在他们中间

划出分割线，因为要将这个长方形分成大小、形状完全相同的4块，因为长方形是6x4的，所以

分割后的每一块都有6小块组成，可以考虑先把长方形分成相同的两部分，再把每一部分分成相

同的两部分，如下图所示.

奥数

读本

【答案】答案不唯一

奥数

读本

【例9］用同样大小的四块等腰直角三角板，能否拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、

一个平行四边形五种图形？若能，画出示意图.

【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】解答

【解析】能用四块同样大小的等腰直角三角板拼出一个三角形、一个正方形、一个长方形、一个梯形、一

个平行四边形五种图形.建议用等腰直角三角板，把不同的边进行重合，不要漏掉旋转重合，或

者准备一些等腰直角三角形的纸片，由学生拼接后贴到黑板上，具体拼法如图所示.

【答案】

【巩固】用3个等腰直角三角形拼图，要求边与边完全重合，能拼出几种图形?

【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】解答

【解析】这种类型的题需要学生亲自操作，建议教师准备材料与学生互动.一共可以拼成如下图的几种形状:

【答案】

【例10】将图1分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形.

图1

【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答

【解析】经过计数可以发现，图形是由16个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有4个这样

的小正方形，共有4排把大图形分成完全一样的4个图形，每个图形的面积都是小正方形的4倍.现

在来考虑形状.由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只

要沿大图形中间的那条竖线剪开即可，其中上面的一个是图2,再想办法把已经分成的两个图形各

分成两个形状、大小都相同的图形即可.下面以上面的图为例，继续探讨分割的办法.如果把上

图中每个小正方形的边长看作1个单位，那么这个图形中的最长边有4个单位，其次为3;显然，

要把它分成完全一样的两个图形，每个图形的最长边只能为3,具体分法见图3,用同样的方法,

可以将与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形，如下图.

【答案】

【巩固】将下图分成两块，然后拼成一个正方形.

【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答

【解析】图形的面积等于16个小方格,如果以每个小方格的边长为1,那么拼成的正方形的边长应该是4.因

为图形是缺角长方形，长为6,宽为3,应将宽加1,长减去2便可得一个正方形，所以分割成两

块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3,向上平移使宽为4）,向左平移2（原来长为6,向左平

移使长为4）.如右下图所示.

【答案】

’课堂检测

【随练1】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状

完全一样的两部分.如果分三部分呢？

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】从形状，面积两方面综合考虑，很容易就能得到答案.答案如右下图.

【答案】

【随练2】学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图

分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个

字.应怎样分?

思学思考

考学习习

习思考思

习学考学

【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答

【解析】看到这道题目，我们想到俄罗斯方块，由题意可知，所分出的每一块图形，必须由4个小正方形

组成，它的形状不外乎如右上图所示的五种俄罗斯方块，这就控制了搜索的范围.根据原题中各

个字的具体位置，上图中有些图形是必须排除的，例如，如果把图⑵与原题右下角2x2的正方形

重叠，其中"考''字出现了两次，不符合题意，因此，图⑵可以先排除掉.现在，再固定某一角上

的一个小正方形，按其中的字来考虑.如固定右上南写有“考”的小正方形来分析，只有下列4种

可能出现的情况：

思学思考

考学习习

习思考思

习学考学

【答案】

思学思考

考学习习

习思考思

习学考学

【随练3】将下列各图各自分成大小、形状都相同的三块，并且每块带一个小圆圈。

Q□

【答案】

工

一家庭作业

【作业1】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法.请你画出4种不同的分法.

【考点】图形的分割与拼接【难度】2星【题型】解答

【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们

的面积必定相等.而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三角形的某条边四等分，再将

各分点与这边相对的顶点连接起来就行了.根据上面的分析，可得如左下图所示的三种分法.又

因为4=1x4=2x2,所以，如果我们把每一个小三角形的面积看做1,那么1x4就可以视为把三

南形的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角形；而2x2可以视为先把原三角形分

成两等份，再把每一份分别分成两等份.根据前面的分析，在每次等分时，都要想办法找等底等

高的三角形.根据上面的分析，又可以得到如右下图的另两种分法.

【答案】方法不唯一

【作业2】有一块长8米、宽3米的长方形地毯，现在要把它移到长6米、宽4米的新房间里.请找出一种

剪裁方法，使剪后的各块拼合后正好能铺满房间的地面，为了使剪后的地毯尽量完整，就要使剪

裁的块数尽可能地少，应怎样剪拼？

【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答

【解析】地毯的面积为8x3=24平方米，新房间的面积为6x4=24平方米，两者虽然长、宽不相等，但面

积相等.通过对比不难发现：地毯的长比房间的长多2米，房间的宽比地毯的宽多1米，因此，

我们可以把地毯看做由12个2*1（平方米）的小长方形组成的大长方形，如左下图所示，要达到题

目的要求，只要使原地毯的长缩短一小格.即减少2米，使原地毯的宽增加一小格，即