广东省普通高中2021届高考数学仿真试卷(三)(含答案解析)

广东省普通高中2021届高考数学仿真试卷(三)

一、单选题(本大题共15小题，共90.0分)

1.下列命题中正确的是()

A.Q(CM={A}

B,若4CB=B,则4=B

C.若A={1,0,{2}},则{2}$力

D.若4={1,2,3},B={x\x£A},则AGB

2.已知函数/(x)=且/⑷=一2,则/(a-5)=()

A.B.6C.-10D.

48

3.也,乩?为不重合的直线，比,£)为不重合的平面，则下列说法正确的是()

A.若吻则如//盟B.若a_Ly,£_Ly,则aJL£

C.若利则加//%D.若则比//£

4.若sin%—a)=争sin(2a+3)的值为()

A.IB.-IC.:D.

99

5.若直线/：x=a的倾斜角为a,则a=()

A.0B.^C.ID.不存在

6.设a,b,c为△ABC中的三边长，且a+b+c=1,则Q2+炉+c?+4abc的取值范围是()

A.琮B,[§,i)C.缁9D.(摄

7.已知a>0,b>0,向量访=(a+2b,—9),n=(8,ah),若沆1元,则2a+b的最小值为()

A.9B.8C.-D.5

4

8.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移，个单位得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间

是()

A.[kn-^,kn+^kEZ)B.[kn-^,kn+^(keZ)

C.[kn-^,kn+^keZ)D.[kn-^,kn+^keZ)

9.已知函数f(x)=log2(M-2刀一3),则使f(x)为减函数的x的区间是()

A.(-8,1)B.(-1,1)c.(1,3)D.(-8,T)

10.数列｛册｝满足%=i—4=六一l(n€N*)，则=()

AA-210.DB--9C-11UD--10

u.不等式｛，£]；”@+、)2°表示的平面区域是一个()

A.三角形B.直角三角形C.梯形D.矩形

12.以点©口]和@鬣-国j为直径两端点的圆的方程是()

.*„城岳」尸,被.口『鬟承"『“:号

A.刑!，逑=弱B.।।ttijtt-।=-

0”，总：，孽飞"TV箴

C.普飨=:D.|总一士I-H-lJTF—1=—

3\警，<如4

13.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在[0,+8)上为减函数,若/(n2+an+①4f(4n_3)

对TieN*恒成立，则实数〃的取值范围是()

A.[1,+°°)B.[0,1]C.(―oo,0]D.[6—4>/2,+oo)

14.下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()

~3

A.般=点B.期=宴C.解=一蝴D.那=一二

案

15.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,方差是2,贝ijxy=()

A.98B.88C.76D.96

二、单空题(本大题共3小题，共18.0分)

16.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外

接球的表面积为.

17.设函数/(x)=]cos(3X+0),对任意xeR都有/(g-x)=f©+x),若函数g(x)=3s讥(3%+

9)-2,则g©)的值为

18.一个盒子里装有4张卡片，分别标有数2,3,4,5；另一个盒子里则装有分别标有3,4,5,6

四个数的4张卡片.从两个盒子里各任取一张卡片.则取出的两张卡片上的数不同的概率为

三、多空题(本大题共1小题，共6.0分)

19,若数列｛%｝满足的=1,an+1=2an(neN+),则a?=_(1)_；前5项的和S5=_(2)_.

四、解答题(本大题共3小题，共36.0分)

20.己知函数f(x)=Wsin(2x-g)+cos(2x-g),xeR,

oo

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)的最大值及此时x的集合.

21.如图所示，四棱锥P-4BC。中，PC1JK®ABCD,PC=CD=2,

E为AB上一点，DEAC,底面四边形ABC。满足乙4DC=

乙DCB=90°,AD=1,BC=3.

(I)求证：平面PDEJL平面PAC；

(H)求异面直线PD与AB所成角；

(IE)求直线PC与平面PCE所成角的正弦值.

22.一家污水处理厂有4、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工

艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%,B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污

物的19%.

(1)4池要用多长时间才能把污物的量减少一半；(精确到1小时)

(2)如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、8两池同时工

作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.(精确到1小时)

【答案与解析】

1.答案：D

解析：解：对于A,Cy(Cy/l)=A,不正确；

对于2,若ACiB=B,则BU4不正确；

对于C,若力={1,0,{2}},则{2}eA,不正确；

对于。，若A=[1,2,3},B={x|xa4},则aeB,正确，

故选。.

利用元素与集合、集合与集合关系的表示方法，即可得出结论.

本题考查元素与集合、集合与集合关系的表示，比较基础.

2.答案：D

解析：解：・.・函数f(x)=[2；:2,j“且f(a)=_2,

7

'k-log2(x4-l),x>1八，

・，・当Q>1时，-log2(@+1)=-2，解得a=3,

21

/(a-5)=/(-2)=2---2=-^;

当aWl时，2。-1-2=-2,无解.

•••/(a-5)=-^.

故选：D.

由分段函数的性质得：当a>l时，-log2(a+1)=-2,当aS1时，2a-1-2=-2,从而求出a,

进而能求出/(a-5).

本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用.

3.答案：D

解析：

本题考查利用空间直线与直线之间的位置关系及平面与平面之间的位置关系，根据题意分别进行判

断，即可得出结果.

解：4由m_L/,nil,在同一个平面可得m〃7i,在空间不成立，故A错误；

8.若a_Ly,0JLy,贝Ija与夕可能平行也可能相交，故B错误：

C.若m〃a,n//a,则相、〃可能平行、相交或异面，故C错误;

。.若a〃y,£〃y,利用平面与平面平行的性质与判定，可得a〃/?,故。正确.

故选D

4.答案：A

解析：

本题主要考查了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.

由已知利用诱导公式及二倍角公式求得sin(2a+勺的值.

解：vsin(^-a)=?，

nn71

:.sin(2a4--)=cos弓-（2a+%）］

7T-

=cos(——2a)=cos[2(——a)]

36

=1-2sin2(^-a)=1-2x(y)2=

故选：A.

5.答案：C

解析：解：直线/：x=a,直线与x轴垂直，所以直线的倾斜角为：p

故选：C.

直接利用直线方程判断直线的倾斜角即可.

本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的考查.

6.答案：B

解析：

本题考查解三角形，综合了函数和不等式，属于综合性较强的题，难度较大.

记/(a/，c)=a2+62+c2+4abc,则/(a/，c)=1—2ab—2c(a+b)+4abc,再根据三角形边

长性质可以证得f(a"c).

再利用不等式和已知可得必，所以f(a/,c)>l-2x^^-2c(l-c)=c3-1c2+i，

再利用求导得出结果.

解：记/(Q/，C)=+力2++4abc,则

f(a,b,c)=1—2ab—2c(a+b)+4abe,

=1-2ab(l—2c)—2c(1—2c),

=2(c+ah)2—2a2b2_2(a£>+c)+1,

=2[c+ab--]2—2a2b2+J

=4(c-1)(a--1)+p

又a,b,。为△ABC的三边长，

所以1—2Q>0,1-26>0,1-2O0,

所以f(a,b,c)<

另一方面f(a力，c)=1—2ab(1—2c)—2c(l—2c),

由于a>0,b>0,

所以ab〈(?)2=亨，

又1-2c>0,

所以/(a力，c)>1-2x咛以(1-2c)-2c(l-c)=c3-1c2+p

不妨设a2bNc,且。，b,c为△ABC的三边长，

所以0<cwg.

令y=c3-1c2+1,则y，=3c2—c=c(3c—1)<0,

所以%ntn~27~2^2+2=27*

从而最Wf(a，b,c)<a

当且仅当a=b=c=削寸取等号.

故选：B.

7.答案：B

解析:解:根据题意，向量窃=(a+2瓦-9),n=(8,afc),

若沆1五,则沅-n=8(a+2b)—9ab=0,即8(a+2b)=9ab,变形可得，+：=£

则2a+b=gx久2a+b)=gx《+)2a+b)="(5+与+B),

又由a>0,b>0,则等+2=2住+2)24,当且仅当a=b时等号成立，

baa，

则2a+b=gx(5+与+?)Ngx(5+4)=8,

则2a+b的最小值为8,

故选：B.

根据题意，由数量积的坐标计算公式可得沆-n=8(a+2b)-9帅=0,变形可得:+-=|,则有2a+

b=gx(5+与+B)，结合基本不等式的性质分析可得答案.

本题考查向量数量积的坐标计算，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题.

8.答案：C

解析：

本题主要考查函数y=As)(3X+0)的图象变换规律，正弦型函数的单调性，属于简单题.

利用函数y=Asin(s:+w)的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得函数g(x)的单调递增区间.

解：将函数=sin2x的图象向右平移9个单位得到函数g(x)=s)2(x-》=sin(2x-9的图象,

令2/CTT—/S2x—gW2/CTT+1,keZ,求得—卷WxW卜兀+泰

可得函数的增区间为阿一事卜兀+匀，k&Z,

故选：C.

9.答案：D

解析：解：由/-2x—3>0解得，久>3或x<-1,

则函数的定义域是(-8,-1)u(3,+oo),

令y=--2%-3=(x--4,即函数y在(-8,-1)是减函数，在(3,+8)是增函数，

・.・函数y=log?%在定义域上是增函数，

••・函数/'(X)的减区间是(―8,—1).

故选：D.

由/一2》-3>0求出函数的定义域，在根据对数函数和二次函数的单调性，由“同增异减”法则

求出原函数的减区间.

本题的考点是对数型复合函数的单调性，应先根据真数大于零求出函数的定义域，这是容易忽视的

地方，再由“同增异减”判断原函数的单调性.

10.答案：C

解析：

本题考查了等差数列的判定和通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

将已知式子整理可得『y-•#v=-i,即可判定数列｛/于是等差数列，根据等差数列的通项公

an+l-lQnT

式可得与=忘，即可得出的。的值.

解：•••d一［=六一156旷），

an+i-1an-1

11.

：•---------------------=—1,

即+1—1°n-1

•••数列｛为｝是等差数列，首项为±=-2,公差为-1,

10

・••@10=­•

故选：C.

11.答案：C

解析：解：不等式｛屋二:乂尢+/？。«x+y>0①或x+yWO②,

以上不等式组①表示的平面区域如图，

不等式组②中的几个二元一次不等式表示的平面区域无公共部分，

所以，原不等式组表示的平面区域是一个图中的梯形OABC.

故选C.

把原不等式组等价转化为两个不等式组，分别画出每一个不等式所表示的平面区域，然后取并.

本题考查了二元一次不等式（组）与平面区域，考查了数学转化思想，解答此题的关键是掌握利用代

特殊点法画出二元一次不等式所表示的平面区域，是基础题.

12.答案:B

解析：试题分析：由已知的两点为直径的两端点，可得连接两点的线段的中点为圆心，连接两点线

段长度的一半为圆的半径，故由中点坐标公式求出两点的中点，即为圆心坐标，利用两点间的距离

公式求出两点间的距离，求出距离的一半即为圆的半径，根据求出的圆心坐标和半径写出圆的方程

即可.解：:(1,1)和(2,-2)为一条直径的两个端点，.••两点的中点为(?“三)，且两点的距离为d=、师，

&%

半径为叵，故所求的方程为%一，f.醪詈工(=，，选艮

s纵C*鸣

考点：圆的标准方程

点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：中点坐标公式，两点间的距离公式，以及圆标准

方程与一般式方程的转化，其中根据题意求出圆心坐标和圆的半径是解本题的关键

13.答案：A

解析：解：根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在[0,+8)上为减函数，

则函数f(x)在区间(-8,0]也是减函数，

则函数f(x)在R上是减函数，

若/(/+Q九+Q)工/(4n—3)对n6N*恒成立，则有不等式?I?4-an+a>4n—3对？iGN*恒成立，

即a>-匕竺型=_〔(n+1)+旦_句对nGN*恒成立，

令t=—[(n+1)+缶-6],neN*,分析可得当n=2时，(n+1)+后—6取得最小值一1,

则此时f有最大值5,

若a>一"f+3=_[(n+1)+—-6]对neN*恒成立，

n+1L\>n+1」

必有a2g则a的取值范围为E，+8)；

故选：A.

根据题意，由奇函数的性质分析可得f(%)在R上是减函数，则/(浓4-an+a)</(4n-3)对nGN*恒

成立可以转化为a>-胃詈=-[(n+1)++一6]对n€N*恒成立，令t=一[5+1)+缶-6],

由基本不等式的性质分析可得f的最大值，据此分析可得a的取值范围，即可得答案.

本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数恒成立问题，注意〃的取值范围.

14.答案：A

解析：试题分析：选项A中函数覃=点是定义在盛上的奇函数且单调递增，符合题意；选项8中函

数般=誓图像既不关于原点对称也不关于整轴对称，是非奇非偶函数；选项C中岸=-能购第定义

域是辄土城1不关于原点对称，是非奇非偶函数；选项。中函数醪=-二是奇函数，但在I网磁和

富

鲫盘喷上单调递成故选A.

考点：基本初等函数的奇偶性及单调性

15.答案：D

解析：解：根据平均数及方差公式，可得：

9+10+11+x+y=10X5,

(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=2x5

化简得，x+y=20,①

(x-10)2+(y-10)2=8,②

①式平方得：x2+y2+2xy=400,③

代入②化简得：xy=96

故选：D.

先由平均数的公式列出x+y=20,然后根据方差的公式列方程，求出x和y的值即可求出孙的值.

本题主要考查了平均数和方差等概念，以及解方程组，属于基础题.

16.答案：227r

解析：解：由三视图还几何体，几何体是从同一个顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，

且长分别为2,3,3,

将该三棱锥放入一个长，宽，高分别为2,3,3的长方体中，

则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，

长方体的题对角线即为外接球的直径，

所以外接球的直径2R=V22+32+32=V22，

所以外接球的半径为R=名，

2

故外接球的表面积为S=4n7?2=22兀.

故答案为：227r.

先利用三视图还原几何体，几何体是从同一个顶点出发的三条棱两两垂直的三棱锥，且长分别为2,

3,3,然后将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球进行求解即可.

本题考查了由三视图求面积、体积问题，涉及了三棱锥外接球的理解和应用，解题的关键是将三棱

锥的外接球转化为长方体的外接球，属于中档题.

17.答案：一2

解析：解：由题意可得函数/0)=1。5(3%+0)的图象关于直线》=称对称，

故f(g)=cos(d)x+3)=±1,・・.Sin(3W+尹)=0,・•・g($=3s讥(3*+口)-2=-2,

故答案为：-2.

由题意可得函数f(x)的图象关于直线X=E对称，故/©)=8s(3X+乎)=±1,可得Sin(3彳+w)=

0,从而求得g©)=3s讥(3吟+9)-2的值.

本题主要考查余弦函数的图象的对称性，同角三角函数的基本关系，属于基础题.

18.答案："

ID

解析：解：设两个盒子分别为A盒、2盒，则可能取出的数字如下表

A盒2222333344445555

8盒3456345634563456

可得所有取卡片的方法共有4x4=16种

而(3,3),(4,4),(5,5)3种情况，使两次取出的卡片数字相同

•••取出的两张卡片上的数不同的概率P=1-。=摄

1616

故答案为：Y7

16

用列表的方法给出所有取卡片的方法，从中找出两张卡片相同的种数，得到两张卡片相同的概率.最

后用对立事件的概率公式，即可得到两张卡片上的数不同的概率.

本题给出取卡片的模型，求取出两张卡片数字不同的概率，着重考查了古典概型及其概率计算公式

的知识，属于基础题.

19.答案：4

31

=

解析：解：dj1,an+i=2an(nGN+),

数列｛斯｝是以।为首项，2为公比的等比数列

n-1

an=2

0-3=3,S$=~~—=31

故答案为：4,31.

确定数列｛5｝是以1为首项，2为公比的等比数列，即可求得结论.

本题考查等比数列的定义，考查数列的通项与求和，属于基础题.

=

20.答案:解：/(%)=V3sin(2x-67)+cos(2x-67)=2sin[(2x-67)+67]2s讥2%.

(l)f(x)的最小正周期7=y=7T,

(2)当2x=2/CTT+PkGZ时，函数/(x)取最大值.

即函数f（x）的最大值为2,此时X的集合为｛x|x=kn+jk€Z）.

解析：（1）利用辅助角公式、化简函数为一个角的三角函数的形式，由周期公式即可得解.

（2）根据正弦函数的图象和性质即可求出函数的最大值，以及x的值.

题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，牢记三角函数的公式，在解题

时才能灵活应用，属于中档题.

21.答案：证明：（I）•；PC_L底面ABCO,PC_L0E,

又DE1AC,而PCOAC=C,­••DE，平面PAC,

DEu平面PDE,

平面PCE_L平面PAC.

解：（11）作。加〃48,交BC于点M,连结P例，

从而ZPDM或其补角即为异面直线PD与AB所成角，

•••Z.ADC=乙DCB=90°,

四边形ABCD为直角梯形，

CD—2,AD——1,BC—3,:.AB=DM=2V2>CM-2,

•••PCABCD,PC=2,

/.PD=PM=2y[2,

•••△PDM为等边三角形，

"DM=60°,

••・异面直线PD与AB所成角为60。.

（皿）设AC与QE的交点为G,连结PG,过点C