2024-2025学年度北师版八上数学1.3勾股定理的应用【课件】

第一章勾股定理3勾股定理的应用数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS课前导入数学八年级上册BS版01课前预习1.

平面内，两点之间

最短.2.

解有关立体图形表面上的路线问题时，常常把立体图形转化为平面图形，再转化为平面上的路线问题求解.3.

勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形中缺少直角条件，则可以通过作垂线段的方法构造直角三角形，为勾股定理的应用创造条件.线段

数学八年级上册BS版02课前导入在

A点的小狗，为了尽快吃到

B点的香肠，它选择AB路线，而不选择A

C

B路线，难道小狗也懂数学？CBAAC+CB>AB（两点之间线段最短）思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看视频，你能理解小贤和一菲的做法吗？问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在

B

处，恰好一只在

A

处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬到B处，问怎么走最近？最短路程怎么求？AB蚂蚁从

A→B的路线将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最短路线.立体图形中两点之间的最短路程若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3.BA3O12侧面展开图123πABA'A'解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得

AB2=AA′2+A′B2

立体图形中求两点间的最短路程，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.归纳=AA′2+A′B2≈122+92=225，故

AB≈15cm.→最短路程数学八年级上册BS版03典例讲练如图，有一个水池，水面BE的宽为16

dm，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面2

dm.若将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的高度是

dm.17

【点拨】运用勾股定理解决实际问题时，关键是找出几何图形与实际问题的对应关系，即各边、各角的大小，再根据勾股定理直接计算或列方程解答.

一个滑梯的示意图如图所示，若将滑道AC水平放置，刚好与

AB一样长.已知滑梯的高度CE＝3.6

m，CD＝1.2

m，则滑道

AC的长度是

m.6

【解析】设滑道AC的长度为x

m，则AB＝x

m，AE＝（x－1.2）m.在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，由勾股定理，得AE2＋CE2＝AC2，即（x－1.2）2＋3.62＝x2，解得x＝6.即滑道AC的长度为6

m.故答案为6.

（1）一个圆柱形油罐的示意图如图所示，底面周长为24

m，高为10

m.从A处环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好在点A的正上方点B处，则所建的梯子最短需要多长？解：如图，把圆柱形油罐的侧面沿线段AB展开成长方形，则沿

AB建梯子最节省材料.由已知，得AC＝24

m，BC＝10

m.在Rt△ACB中，∠C＝90°，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝242＋102＝262，所以AB＝26

m（负值舍去）.故所建的梯子最短需要26

m.（2）如图，长方体的高是9

cm，底面是边长为4

cm的正方形.一只蚂蚁从点A出发，沿着长方体表面经过3个侧面爬到点B

处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？解：如图，将长方体的三个侧面展开.在Rt△ACB中，AC＝4×3＝12（cm），BC＝9

cm，∠ACB＝90°.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋92＝152，所以AB＝15

cm（负值舍去）.故这只蚂蚁爬行的最短路程是15

cm.【点拨】求立体图形表面最短路径的一般步骤：（1）把立体图形展开成平面图形（只需展开包含相关点的面）；（2）确定关键点的位置；（3）连接关键点，构造直角三角形；（4）利用勾股定理求解.求最短路径的依据是“两点之间，线段最短”.

如图，一个长方体空木箱的长、宽、高分别为12

m，4

m，3

m，则能放进空木箱中的直木棒（粗细忽略不计）最长为

m.13

【解析】如图，因为侧面对角线CB2＝32＋42＝25＝52，所以CB

＝5

m.因为AC＝12

m，所以AB2＝AC2＋CB2＝122＋52＝169＝132.因为AB＞0，所以AB＝13

m.所以能放进空木箱中的直木棒最长为13

m.故答案为13.

如图，一只蜘蛛在一个长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处.若AB＝3

cm，BC＝5

cm，BF

＝6

cm，则蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛爬过的路程是多少厘米？解：①若把长方体的正面和右面展开在同一平面内，如图1所示（单位：cm）.这种展开方式的一条直角边AC＝AB＋BC＝8（cm），另一条直角边CG＝BF＝6

cm.在Rt△ACG中，根据勾股定理，得AG2＝AC2＋CG2＝82＋62＝100；②若把长方体的正面和上面展开在同一平面内，如图2所示（单位：cm）.这种展开方式的一条直角边AB＝3

cm，另一条直角边BG＝BF＋FG＝BF＋BC＝11（cm）.在Rt△ABG中，根据勾股定理，得AG2＝AB2＋BG2＝32＋112＝130；图1图2③若把长方体的左面和上面展开在同一平面内，如图3所示（单位：cm）.这种展开方式的一条直角边GF＝BC＝5

cm，另一条直角边AF＝AE＋EF＝BF＋AB＝6＋3＝9（cm）.在Rt△AFG中，根据勾股定理，得AG2＝AF2＋GF2＝92＋52＝106.因为130＞106＞100，且102＝100，所以蜘蛛沿如图1所示的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，这时蜘蛛爬过的路程是10

cm.图3【点拨】本例没有指明从长方体一顶点运动到相对的顶点的具体路线，确定其最短路径问题时，需要进行分类讨论，比较后才能确定.如图，由点A到点B的最短路径显然是不能沿长方体的任何一条棱运动的，也就必然由点A进入到相邻的两个面，所以到点B有六条不同的路径，但不同长度的路径只有三条.（1）如图1，右侧面向前展开，这种展开方式是以（a＋b）为一条直角边长，c为另一条直角边长，此时AB2＝（a＋b）2＋

c2＝a2＋b2＋c2＋2ab；（2）如图2，上底面向前展开，这种展开方式是以（b＋c）一条直角边长，a为另一条直角边长，此时AB

2＝（b＋c）2＋a2＝a2＋b2＋c2＋2bc；（3）如图3，上底面向左展开，这种展开方式是以（a＋c）为一条直角边长，b为另一条直角边长，此时AB2＝（a＋c）2＋b2＝a2＋b2＋c2＋2ac.通过对三种展开方式的观察和分析，于是有：当c

最大时，如图1所示的展开方式中的AB最短；当a最大时，如图2所示的展开方式中的AB最短；当b最大时，