2024-2025学年度北师版九上数学1.1菱形的性质与判定（第二课时）【课件】

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定（第二课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS课前导入数学九年级上册BS版课前预习01菱形的判定.（1）定义法：有一组

相等的平行四边形是菱形.（2）判定定理：①对角线

的平行四边形是菱形；②四条边

的四边形是菱形.（3）其他：对角线

的四边形是菱形.邻边

互相垂直

相等

互相垂直平分

数学九年级上册BS版课前导入02一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.平行四边形菱形的性质菱形两组对边平行四条边相等两组对角分别相等邻角互补两条对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角边角对角线复习引入问题

菱形的定义是什么？性质有哪些？根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法：且AB=AD，∵四边形

ABCD是平行四边形，∴四边形

ABCD是菱形.数学语言有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.ABCD思考

还有其他的判定方法吗？猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能证明这一猜想吗？对角线互相垂直的平行四边形是菱形我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形.那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？证明：∵

四边形

ABCD是平行四边形，

∴

OA=OC.

又∵

AC⊥BD，

∴

BD是线段

AC的垂直平分线.

∴

BA=BC.

∴

□ABCD是菱形（菱形的定义）.ABCOD

已知：如图，四边形

ABCD是平行四边形，对角线

AC与

BD相交于点

O

，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证一证对角线互相垂直的平行四边形是菱形.AC⊥BD几何语言描述：

在

□ABCD中，∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形.ABCD菱形

ABCDABCD□ABCD菱形的判定定理：归纳总结数学九年级上册BS版典例讲练03

已知四边形ABCD为平行四边形，有下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.其中能使▱ABCD为菱形的有

（填序号）.【思路导航】根据菱形的判定定理对各个条件进行逐一判断即可.①③

【解析】根据菱形的判定定理和定义：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知①③符合，②④不符合.故答案为①③.【点拨】菱形的判定方法有多种：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形；④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.菱形是特殊的平行四边形，判定四边形是菱形时，常在平行四边形的基础上加上菱形独有的条件.

1.下列说法中，正确的是（

B

）A.两组邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直的四边形是菱形B2.如图，在四边形

ABC

D中，已知点E，F分别是线段

A

D，

BC

的中点，点G，H分别是线段

B

D，

AC

的中点.当四边形

ABC

D的

边满足

时，则四边形EGFH是菱形.AB

＝

CD

如图，在▱ABCD中，BC＝2AB,AB⊥AC,分别在边BC,A,D上的点E与点F关于AC对称，连接EF,AE,CF,DE.（1）试判断四边形AECF的形状，并说明理由；（1）解：四边形AECF为菱形.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CAF＝∠ACE.

如图，设AC与EF相交于点O.

∵点E与点F关于AC对称，∴OE＝OF且EF⊥AC.

∴△AOF≌△COE（AAS）.∴OA＝OC.

又∵OE＝OF，EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形.如图，在▱ABCD中，BC＝2AB,AB⊥AC,分别在边BC,A,D上的点E与点F关于AC对称，连接EF,AE,CF,DE.（2）求证：AE⊥DE.

（2）证明：∵BC＝2AB，AB⊥AC，∴∠ACB＝30°.∴∠B＝60°.∵四边形AECF为菱形，∴AE＝CE.

∴∠EAC＝∠ACB＝30°.∴∠BAE＝60°＝∠B.

∴AE＝BE＝AB，∠AEB＝60°.∴∠AEC＝120°.

【点拨】菱形的判定方法可以从边和对角线两个方面去探寻，若已知对角线互相垂直，则可以考虑证明四边形是平行四边形，解决问题的关键是要熟悉菱形的各种判定方法.

1.如图，在△

ABC

中，已知∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°，

BC

＝

6，点D为斜边

AB

上一点，以

C

D，

CB

为边作▱

C

DE

B

.

当

A

D

＝

时，则▱

C

DE

B

为菱形.6

2.（2023·张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.（1）求证：AE∥BF；

（2）若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形.证明：（2）由（1）知，△AEC≌△BFD，∴∠ECA＝∠FDB.

∴CE∥DF.

又∵CE＝DF，∴四边形DECF是平行四边形.又∵DF＝FC，∴▱DECF是菱形.

2.（2023·张家界）如图，已知点A,D,C,B在同一条直线上,且AD＝BC,AE＝BF,

CE＝DF.

已知△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE.（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：△AEB≌△ADC.

图1（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD，∠DAE＝60°.∴∠BAC＝∠DAE.

∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD，即∠DAC＝∠EAB.

∴△AEB≌△ADC（SAS）.已知△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B，C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE.如图2，当点D在BC的延长线上时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形，并说明理由.图2（2）解：四边形BCGE是平行四边形.理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.∴∠BCG＝180°－∠ACB＝120°.∵△ADE是等边三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°.∵FG∥BC，∴∠EGC＝∠ACB＝60°，∠DEG＝∠BDE.

同（1）的方法，得△AEB≌△ADC（SAS），∴∠AEB＝∠ADC.

∴∠AEB＋∠DEG＝∠ADC＋∠BDE＝∠ADE＝60°.∴∠BEG＝∠AEB＋∠DEG＋∠AED＝60°＋60°＝120°.∴∠BEG＋∠EGC＝180°.∴BE∥CG.

又∵FG∥BC，∴四边形BCGE是平行四边形.（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由.图2（3）解：当CD＝BC时，四边形BCGE是菱形.理由如下：由（2）知，四边形BCGE是平行四边形，△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD.

又∵CD＝BC，∴BE＝BC.

∴▱BCGE是菱形.【点拨】动态过程的探究问题，只需抓住变化过程中的不变量，如图形的形状、点的运动轨迹等.在本题中只需抓住共顶点的三角形旋转前后全等，即变化中永远相等的量.

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，∠A＝60°.点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C

匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运

动.设点P，Q运动的时间是ts.过点P作PM⊥