高中数学讲义100微专题039传统不等式的解法

1-微专题39传统不等式的解法一、基础学问1、一元二次不等式：可考虑将左边视为一个二次函数，作出图像，再找出轴上方的部分即可——关键点：图像与轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采纳“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于的表达式为，不等式为）①求出的根②在数轴上依次标出根③从数轴的右上方起先，从右向左画。犹如穿针引线穿过每一个根④视察图像，找寻轴上方的部分找寻轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽视，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有的表达式称为分式，即为的形式（2）分式若成立，则必需满意分母不为零，即（3）对形如的不等式，可依据符号特征得到只需同号即可，所以将分式不等式转化为（化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有肯定值的不等式（1）肯定值的属性：非负性（2）式子中含有肯定值，通常的处理方法有两种：一是通过对肯定值内部符号进行分类探讨（常用）；二是通过平方（3）若不等式满意以下特点，可干脆利用公式进行变形求解：①的解集与或的解集相同②的解集与的解集相同（4）对于其它含肯定值的问题，则要详细问题详细分析，通常可用的手段就是先利用分类探讨去掉肯定值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指对数不等式的解法：（1）先讲一个不等式性质与函数的故事在不等式的基本性质中，有一些性质可从函数的角度分析，例如：，可发觉不等式的两边做了相同的变换（均加上），将相同的变换视为一个函数，即设，则，因为为增函数，所以可得：，即成立，再例如：，可设函数，可知时，为增函数，时，为减函数，即由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函数，则在变换时不等号是否发生变更，取决于函数的增减性。增函数→不变号，减函数→变号在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如：，则的关系如何？设，可知的单调减区间为，由此可推断出：当同号时，（2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是还是，其单调性只与底数有关：当时，函数均为增函数，当时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生变更取决于底数与1的大小，规律如下：时，时，进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了（3）对于对数的两个补充①对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当时，②如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1”：因为，可作为转换的桥梁例如：？某些不等式虽然表面形式困难，但假如把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简化，进而解决问题，例如：，可将为视为一个整体，令，则，则不等式变为，，两边可同取以2为底对数6、利用换元法解不等式（1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是探讨对象的选取，不受题目所给字母的限制，而是选择合适的对象能把生疏问题进行化归，转化为能够解决的问题。如上一个例子中，通过将视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解（2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而要先了解新字母的取值范围。即若换元，则先考虑新元的初始范围（3）利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：视察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在依据新元的范围解的范围二、典型例题：例1：解下列一元二次不等式：（1）（2）（3）（4）4-1解（1）4-1即与轴的交点为由图像可得满意的的范围为不等式的解集为（2）令，则可解得：作图视察可得：或不等式的解集为（3）令，则中，则与轴无公共点，即恒在轴上方，注：由（1）（2）我们发觉，只要是，开口向上的抛物线与轴相交，其图像都是类似的，在小大根之间的部分，在小大根之外的部分，发觉这个规律，在解一元二次不等式时便有了更为简便的口诀①让最高次项系数为正②解的方程，若方程有解，则的解集为小大根之外，的解集为小大根之间，若方程无解，则作出图像视察即可（4）解：先将最高次项系数变为正数：方程的根为不等式的解集为例2：解下列高次不等式：（1）（2）123（1）解：123则的根作图可得：或不等式的解集为（2）思路：可知，所以只要，则恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解，可得且不等式的解集为小炼有话说：在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可。穿根法的原理：它的实质是利用图像帮助推断每个因式符号，进而确定整个式子的符号，图像中的数轴分为上下两个部分，上面为的部分，下方为的部分。以例2（1）为例，当时，每一个因式均大于0，从而完全的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时肯定要从数轴右上方起先的缘由，因为此时的符号肯定为正），当经过时，由正变负，而其余的式子符号未变，所以的符号发生一次变更，在图像上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，的符号再次发生变更，曲线也就跑到轴上方来了。所以图像的“穿根引线”的实质是在经验每一个根时，式子符号的交替变更。例3：解下列分式不等式：（1）（2）解：（1）不等式等价于不等式的解集为（2）不等式等价于解得：不等式的解集为例4：（1）（2）（3）分式不等式在分母符号不定的状况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否变更），通常是通过移项，通分，将其转化为再进行求解解：（1）或不等式的解集为（2）不等式的解集为（3）思路：视察发觉分母很成立，所以考虑干脆去分母，不等号的方向也不会变更，这样干脆就化为整式不等式求解了解：不等式的解集为例5：解不等式：（1）（2）解：（1）方法一：所解不等式可转化为方法二：视察到若要使得不等式成立，则，进而内部恒为正数，肯定值干脆去掉，即只需解即可。解得不等式的解集为（2）思路：视察可发觉不等号左右两端式子相同，一个数的肯定值大于它本身，则这个数肯定是负数，所以干脆可得：不等式的解集为小炼有话说：含肯定值的不等式要留意视察式子特点，选择更简便的方法例6：解不等式：（1）（2）解：（1）含多个肯定值的问题，可通过“零点分段法”来进行分类探讨令两个肯定值分别为零，解得：，作出数轴，将数轴分为三部分，分类探讨①不等式变为②时，不等式变为时不等式均成立③不等式变为综上所述：不等式的解集为小炼有话说：零点分段法的好处在于，一段范围可将全部的肯定值一次性去掉，缺点在于须要进行分类探讨，对学生书写的规范和分类探讨习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细微环节部分均要做好，才能保证答案的正确性（2）思路：本题依旧可以仿照（1）的方式进行零点分段，再解不等式，但从另一个角度视察，所解不等式为，两边均是肯定值（非负数），所以还可以考虑两边平方（所用不等式性质：）一次将两个肯定值去掉，再进行求解。解：不等式的解集为例7：解下列不等式：（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）或不等式的解集为不等式的解集为（3）或不等式的解集为（4）或可解得：不等式的解集为例8：解下列不等式：（1）（2）（3）（4）（1）思路：，从而可将视为一个整体，则所解不等式可看做关于的二次不等式，解出的范围，再反求的范围即可解：令即不等式的解集为（2）思路：视察到不等式左侧的两项存在真数底数互换位置的特点，联想到对数公式：，从而选择一项进行变形（比如选择)，再将视为一个整体解不等式，解出的范围后进而求出的范围解：令不等式转化为：或，即或可解得：或（3）令不等式转化为：即不等式的解集为（4）思路：所解不等式等价于，本题可以考虑对的符号进行探讨，从而去掉肯定值解出不等式。但从另一方面，可发觉，从而所解不等式转化为：，将视为一个整体，先解出范围，进而解出的范围解：令，所解不等式转化为即即或不等式的解集为例9：已知不等式的解集为，则