新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示导学案新人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示学问点一空间直角坐标系及空间向量的坐标表示(1)空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(如图)，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做eq\x(\s\up1(01))坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做eq\x(\s\up1(02))原点，i，j，k都叫做eq\x(\s\up1(03))坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做eq\x(\s\up1(04))坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．(2)空间向量的坐标表示①在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间随意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组{x，y，z}，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的eq\x(\s\up1(05))横坐标，y叫做点A的eq\x(\s\up1(06))纵坐标，z叫做点A的eq\x(\s\up1(07))竖坐标.②在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作eq\x(\s\up1(08))a＝(x，y，z).学问点二空间向量运算的坐标表示运算坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)加法a＋b＝eq\x(\s\up1(01))(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b＝eq\x(\s\up1(02))(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa＝eq\x(\s\up1(03))(λa1，λa2，λa3)，λ∈R数量积a·b＝eq\x(\s\up1(04))a1b1＋a2b2＋a3b3学问点三空间向量的平行或垂直的坐标表示平行或垂直坐标表示a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)平行(a∥b)a∥b⇔a＝λb⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝λb1,a2＝λb2,\x(\s\up1(01))a3＝λb3))(λ∈R且b≠0)垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b＝0⇔eq\x(\s\up1(02))a1b1＋a2b2＋a3b3＝0学问点四空间向量的长度公式及夹角的坐标表示(1)空间向量长度公式的坐标表示①若a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\x(\s\up1(01))eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).②空间两点间的距离公式设P1＝(x1，y1，z1)，P2＝(x2，y2，z2)是空间中随意两点，则P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(→))|＝eq\x(\s\up1(02))eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).(2)向量的夹角坐标公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).1．空间向量的坐标与其起点、终点坐标的关系向量的坐标即终点坐标减去起点坐标．求点的坐标时，肯定要留意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．2．向量平行与垂直问题的三种题型题型1：空间向量平行与垂直的推断，利用空间向量平行与垂直的条件进行推断．题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时要留意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．题型3：利用向量的坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标；③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解．3．用空间向量的数量积解决夹角问题空间向量的数量积和夹角有关，常常以空间向量的数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要留意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量eq\o(AP,\s\up6(→))的坐标与点P的坐标一样．()(2)对于空间随意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与b共线，则eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝eq\f(a3,b3).()(3)空间向量a＝(1,1,1)为单位向量．()(4)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1)．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是()A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10 D．|a|＝6(2)在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为(1,2,3)，点B的坐标为(4,5,6)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝________.(3)若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，假如a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.(4)已知a＋b＝(2，eq\r(2)，2eq\r(3))，a－b＝(0，eq\r(2)，0)，则cos〈a，b〉＝________.答案(1)D(2)(3,3,3)(3)eq\f(1,6)－eq\f(3,2)(4)eq\f(\r(6),3)题型一空间向量的坐标运算例1已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．[解]a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)；a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法(1)依据已知向量的坐标，代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标表示公式进行计算．(2)娴熟应用有关的公式①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；③(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(3)空间向量的坐标运算法则和平面对量的坐标运算法则类似，可类比记忆．计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可先求出2a，－b后，再求数量积．[跟踪训练1]已知a＝(2，－1,3)，b＝(0，－1,2)，求：(1)a＋b；(2)2a－3b；(3)a·b；(4)(a＋b)·(a－b)．解(1)a＋b＝(2，－1,3)＋(0，－1,2)＝(2＋0，－1－1，3＋2)＝(2，－2,5)．(2)2a－3b＝(4，－2,6)－(0，－3,6)＝(4,1,0)．(3)a·b＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7.(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋9－(0＋1＋4)＝9.题型二利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题例2如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BM⊥AC1于点M，求点M的坐标．[解]由题意，知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，设M(x，y，z)，则eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(－a，a，a)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(x－a，y，z)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(x－a，y－a，z)．因为eq\o(BM,\s\up6(→))⊥eq\o(AC1,\s\up6(→))，所以eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(AC1,\s\up6(→))＝0.所以－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y－z＝0.①因为eq\o(AC1,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→))，设eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AC1,\s\up6(→))(λ∈R)，则x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②由①②，得x＝eq\f(2a,3)，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3).所以点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3))).(1)利用向量的坐标运算解决立体几何中的垂直问题，关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，进而通过空间向量的分解方法精确地写出所求各点的坐标．(2)用向量的坐标运算证明垂直问题，把几何问题转化为代数计算，这是数学中化归思想的详细体现，如证明直线AB⊥CD，可转化为证明eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，由向量的坐标运算即可完成．[跟踪训练2](1)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).①若ka＋b与ka－2b相互垂直，求k的值；②设|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c.解①∵a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，b＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，∴ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，ka－2b＝k(1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k＋2，k，－4)．∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，即2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－eq\f(5,2).②∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－1,2)，∴设c＝(－2λ，－λ，2λ)，又|c|＝3，∴(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝9，得λ＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点．求证：①AB1∥GE，AB1⊥EH；②A1G⊥平面EFD.证明如图，以A为坐标原点，{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))}为单位正交基底建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0，1,0)，A1(0，0,1)，B1(1,0,1)，C1(1，1,1)．由中点坐标公式，得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).①eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1,0,1)，eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2))).因为eq\o(AB1,\s\up6(→))＝2eq\o(GE,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(EH,\s\up6(→))＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1×eq\f(1,2)＝0，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))∥eq\o(GE,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(EH,\s\up6(→))，即AB1∥GE，AB1⊥EH.②eq\o(A1G,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－1))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，0))，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2))).因为eq\o(A1G,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋0＝0，eq\o(A1G,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)＋0－eq\f(1,2)＝0，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD.题型三利用空间向量的坐标运算解决夹角、距离问题例3(1)已知向量a＝(5,3,1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，t，－\f(2,5)))，若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围；(2)棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．①求证：EF⊥CF；②求eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(CG,\s\up6(→))所成角的余弦值；③求CE的长．[解](1)由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)))＝3t－eq\f(52,5)，因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，即3t－eq\f(52,5)<0，所以t<eq\f(52,15).若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，即(5,3,1)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，t，－\f(2,5)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝－2λ，,3＝λt，,1＝－\f(2,5)λ，))所以t＝－eq\f(6,5)，故实数t的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(6,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，\f(52,15))).(2)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，C(0,1,0)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))).∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，\f(1,2))).①证明：∵eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×0＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(CF,\s\up6(→))，即EF⊥CF.②∵|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(CG,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，∴cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(CG,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(CG,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))||\o(CG,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(15),15).③|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\r(02＋－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，即CE＝eq\f(\r(5),2).[条件探究]若把本例(1)的条件改为“已知a＝(5,3，－1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，t，－\f(2,5)))，a与b的夹角为锐角”，应如何解答？解由已知a·b＝5×2＋3t＋eq\f(2,5)＝3t＋eq\f(52,5)，因为a与b的夹角为锐角，所以a·b>0，即3t＋eq\f(52,5)>0，所以t>－eq\f(52,15).若a与b的夹角为0°，则存在λ>0，使a＝λb(λ>0)，即(5,3，－1)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，t，－\f(2,5)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＝2λ，,3＝λt，,－1＝－\f(2,5)λ，))进而得t＝eq\f(6,5).故实数t的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(52,15)，\f(6,5)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，＋∞)).求角与距离问题的方法及解题步骤(1)求空间中两向量夹角的方法①基向量法：结合图形，选取一组合适的基底，将两向量用基向量表示出来，然后代入夹角公式求解；②坐标法：在图形中建立空间直角坐标系，然后求出两向量的坐标，代入向量的夹角坐标公式求解．利用坐标法要留意两点，一是坐标系的选取，二是夹角的范围〈a，b〉∈[0，π]，要特殊留意向量共线的状况．(2)求空间中线段的长①建立恰当的空间直角坐标系；②求出线段端点的坐标，并求出对应向量的坐标；③利用向量的模的坐标公式求向量的模，即线段的长．[跟踪训练3](1)已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(55),5)C．eq\f(3\r(5),5) D．eq\f(11,5)答案C解析∵b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))2＋eq\f(9,5).∴(|b－a|2)min＝eq\f(9,5).∴|b－a|min＝eq\f(3\r(5),5).(2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为()A．0 B．eq\f(3\r(70),70)C．－eq\f(3\r(70),70) D．eq\f(\r(70),70)答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)．所以eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－2，－2,3)，Aeq\o(C,\s\up6(→))＝(－2，2,0)．所以cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(BD1,\s\up6(→))||A\o(C,\s\up6(→))|))＝0.即所求余弦值为0.1．与a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量为()A．(1,7,5) B．(1，－7,5)C．(－1，－7,5) D．(1，－7，－5)答案C解析因为(－1，－7,5)·(1,2,3)＝－1－14＋15＝0，(－1，－7，5)·(3,1,2)＝－3－7＋10＝0，所以与向量a＝(1,2,3)，b＝(3,1,2)都垂直的向量为(－1，－7,5)．故选C.2．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是()A．(1,1,1) B．(－2，－3,5)C．(2，－3,5) D．(－4,6，－2)答案D解析若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b.故选D.3．(多选)设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，M为AB的中点，则下列给出的各点中，到点M的距离与点C到点M的距离相等的是()A．E(0,2,0) B．F(0,2,3)C．P(0,2,6) D．Q(0,2,8)答案AC解析AB的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，3))，又C(0,1,0)，所以eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)，3))，故M到C的距离CM＝|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋32)＝eq\f(\r(53),2).对于A，EM＝|eq\o(EM,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋32)＝eq\f(\r(53),2)＝CM，故A正确；对于B，FM＝|eq\o(FM,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋0)＝eq\f(\r(17),2)≠CM，故B错误；对于C，PM＝|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋32)＝eq\f(\r(53),2)＝CM，故C正确；对于D，QM＝|eq\o(QM,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋52)＝eq\f(\r(117),2)≠CM，故D错误．故选AC.4．若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，则a·(b＋c)＝________，a·(b·c)＝________.答案3(12，－18,6)解析因为b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)，所以b＋c＝(2,2,5)，b·c＝0＋0＋6＝6.又a＝(2，－3,1)，所以a·(b＋c)＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝4－6＋5＝3.a·(b·c)＝(2，－3,1)×6＝(12，－18,6)．5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．解以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4，4,3)，C(0,4,0)，得eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(0,4，－3)，eq\o(B1C,\s\up6(→))＝(－4,0，－3)．设eq\o(A1B,\s\up6(→))与eq\o(B1C,\s\up6(→))的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\o(A1B,\s\up6(→))·\o(B1C,\s\up6(→)),|\o(A1B,\s\up6(→))||\o(B1C,\s\up6(→))|)＝eq\f(9,25)，所以异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为eq\f(9,25).A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(BO,\s\up6(→))的夹角是()A．0 B．πC．eq\f(π,2) D．eq\f(2π,3)答案B解析∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝3×6＋3×6＋3×6＝54，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3eq\r(3)，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝6eq\r(3)，∴cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(54,3\r(3)×6\r(3))＝1.∵〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝0，∴〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))〉＝π.2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝eq\r(29)，且λ＞0，则λ＝()A．2 B．3C．4 D．5答案B解析由题意，得λa＋b＝(4,1－λ，λ)．因为|λa＋b|＝eq\r(29)，所以42＋(1－λ)2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3.3．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形态是()A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形答案C解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4，－8)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(5,1，－7)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，－3，1)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋42＋82)＝eq\r(89)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(52＋12＋72)＝eq\r(75)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋32＋12)＝eq\r(14)，∵|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝75＋14＝89＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2.∴△ABC为直角三角形．4．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.eq\f(62,7) B．eq\f(64,7)C．eq\f(60,7) D．eq\f(65,7)答案D解析∵a，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使c＝xa＋yb，即(7,5，λ)＝x(2，－1,3)＋y(－1,4，－2)＝(2x－y，－x＋4y,3x－2y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝7，,－x＋4y＝5，,3x－2y＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7).))∴λ＝3x－2y＝eq\f(65,7).5．已知O为坐标原点，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2,3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,1,2)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1,1,2)，点Q在直线OP上，那么当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取得最小值时，点Q的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(7,3)))答案C解析设eq\o(OQ,\s\up6(→))＝λeq\o(OP,\s\up6(→))，则eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－λeq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－λeq\o(OP,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(4,3)))2－\f(1,3))).所以当λ＝eq\f(4,3)时，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))最小，此时eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))，即点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).故选C.6.(多选)如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝AB＝DA＝2CB，EA⊥AB，M是EC的中点．则下述结论正确的是()A．DM⊥EB B．BD⊥ECC．DE⊥BM D．EA⊥CD答案AD解析以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，并设EA＝DA＝AB＝2CB＝2，则A(0，0,0)，E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,1)，D(0，0,2)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，－\f(3,2)))，eq\o(EB,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq\o(EC,\s\up6(→))＝(－2,2,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(0，－2，2)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－1，\f(1,2)))，eq\o(EA,\s\up6(→))＝(－2，0,0)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(0，－2,1)，仅有eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝0，eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，从而得DM⊥EB，EA⊥CD.故选AD.二、填空题7．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.答案7解析因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，所以ka·b－|b|2＝0.所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－(eq\r(12＋22＋32))2＝0，解得k＝7.8．若a＝(x,2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________.答案(－∞，－2)解析a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．9．已知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连线PO垂直于平面ABCD，且PO＝6，则PO的中点M到△PBC的重心N的距离为________.答案eq\f(5,3)解析建立如图所示的空间直角坐标