备考2021年中考数学复习满分突破训练几何专项三角形综合（三）

备考2021年中考数学复习满分突破训练:

几何专项——《三角形综合》(三)

1.在△/8C中，N/C8=90°,分别过点工、8两点作过点C的直线”的垂线，垂足分

别为点。、E.

(1)如图1,当“C=C8,点/、8在直线m的同侧时，猜想线段。£/。和8P三条

线段有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：；

(2)如图2,当为C=C8,点/、8在直线”的异侧时，请问(1)中有关于线段。公

力。和8F三条线段的数量关系的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请

给出正确的结论，并说明理由.

(3)当/C=16cm,C6=30s/,点/、8在直线m的同侧时，一动点用以每秒267

的速度从4点出发沿工―C-8路径向终点6运动，同时另一动点N以每秒367的速

度从8点出发沿B^C^A路径向终点/运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运

动.在运动过程中，分别过点用和点N作从尸1)于尸，NQLm于Q.设运动时间为

/秒，当/为何值时，△MFC与△MQC全等？

2.如图，已知在RtZX/BC中，//C8=90°,AC=8,6C=16,。是上的一点，

8=3,点尸从8点出发沿射线6c方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点尸的运

动时间为t,连接

(1)当心3秒时，求力尸的长度；

(2)当△工夕尸为等腰三角形时，求广的值；

⑶过点。作。£1/1产于点E,连接PD,在点尸的运动过程中，当尸。平分时,

直接写出/的值.

3.已知等边△S8C的边长为4cm,点尺。分别从8,C两点同时出发，其中点尸沿8c

向终点C运动，速度为1cm';点。沿C4,S8向终点6运动，速度为2cm!s,设它

们运动的时间为x(5).

(1)如图1,若PQNAB,则x的值为(5),

(2)如图2,若尸G_L/C,求x的值.

(3)如图3,当点。在48上运动时，外？与△48C的高X。交于点O,OQ与OP

是否总是相等？请说明理由.

图1图3

4.如图1,AE=AD,AC=AB,Z.EAD=Z_CAB=a.

(1)证明：BD=CE;

(2)如图2,BD、4C交于点尸，BD、H交于点R若a=90°,求N/尸8的度数.

E

5.已知：在△/I8C中，/_ABC^/.ACB,8。是△Z8C的高.

(1)如图1,当N84C=50°时，求N。8c的度数.

(2)如图2,当NMC>90°时，请你判断N。8c与NMC的关系，并证明你的结论.

(3)如图3,在(2)的条件下，作6E平分/。加交6于点£C厂平分NSC8,连

6.如图，在△ZI8C中，NZC8=90°,AC=6,8c=8,点尸从点片出发，沿线段“8

以每秒5个单位长度的速度向终点8运动.当点尸不与点/、8重合时，过点尸作尸。

LAB,交折线SC-C8于点Q,过点P、Q分别平行于BC、BA的直线相交于点R.设

点尸运动的时间为/秒，△尸。舟与△48。重叠部分的面积为5.

(1)直接写出线段尸@的长.(用含力的代数式表示)

(2)当点内落在边/C上时，求/的值.

(3)当△PQ#与△/SC重叠部分图形为三角形时，求S与，之间的函数关系式.

(4)直接写出4Q或尸C平分△尸Q/?面积时/的值.

B

7.如图，直角三角形中，N/I8C=9O°,AB=6,8C=8,点。从4点向C点运动:

（1）如图1,若点。的速度为每秒2个单位，。点的运动时间为/（秒）：

①求8的长度/与时间t（秒）的关系式；

②当△88为等腰三角形时，求/（秒）的值.

（2）如图2,当点。从“点出发时，点三也同时从8点出发向点力运动，连接fC、

8。交于点尸，运动的过程中，满足乙ABD=ZECB,当点£到达/点，E、。就停止运

动，延长工尸交5c于G,当点G为8c的中点时，求ASS厂的面积.

8.如图所示，等边△49C中48=8,8c于。，点尸是“8边上的一动点（点户可

以与点力重合，但不与点8重合），E、尸分别8C、边上的动点.

(1)如图1,当PE1BC,空1/C时，求证：28。=2g8f

(2)在(1)的前提条件下，过尸作FQ_L/8,垂足为Q,PQ=2,求8尸的长.

(3)直接求出力日丽8厂的最小值，作出草图不必说明理由.

图1备用图备用图备用图

9.在△/8C中，AC=BC=A,ZACB=90°,三为8c上一个动点，C厂于G,交

于F.

(1)如图］，当平分NCA8时，求8E的长.

(2)如图2,当E为8c中点时.

①求CG的长.

②连接&，求的值.

(3)如图3,在三运动过程中，连接8G,则8G的最小值为.

B

图3

10.△/48C中，AB=AC,Z.BAC=120°.

(1)如图1,AE=AD,/£4。=120°,连接8。，CE,求证：BD=CE;

(2)如图2,BEIICD,ZEAD=60；^ADC=30°,试探究线段中与线段8c的

数量关系与位置关系，并说明理由;

(3)如图3,若△/ISC所在平面的一点。满足学招，请直接写出器的值.

UCZAD

图1图2图3

参考答案

1.解：(1)猜想：DE=AD^BE.

证明：-：^ACB^90°,

:./_ACEX/.BCE^90°,而4。_(_/77于。，BELm于E,

AADC=/_CEB=9Q°,N8Cm/C8F=90°,

:./_ACD=ZCBE,

在△SOC和△C?国中，

'/ADC=NCEB

<ZACD=ZCBE,

AC=CB

：./\ADC^/\CEB{AAS),

：.AD=CE,DC=BE,

：.DE=DC+CE=BB-AD-,

故答案为：DE=Al>BE.

(2)结论：DE=AD-BE;

理由：BE]_m,

:.乙ADC=/.CEB=90°,

■：AACB=90°,

:./_AC[>^/.CAD=/_ACt>/_BCE=90°,

ZCAD=ZBCE,

在△48和△C8E中，

，ZADC=ZCEB

<ZCAD=ZBCE,

,AC=CB

：,l\ACgXCBE<AAS),

:.AD=CE,CD^BE,

：.DE=CE-CD=AD-BE\

(3)①当0<k8时，点用在/C上，点M在8C上，如图,

pco

■：MC=NC,

.-.16-2/=30-3/,

解得：/=14,不合题意；

②当8W410时，点例在6c上，点N也在6c上，如图,

■：MC=NC,

..•点例与点N重合,

.,.2/-16=30-3/,

解得：/=9.2;

③当104t＜粤时，点用在8C上，点收在工。上，如图,

0

•：MC=NC、

.t.2/—16=3/—30,

解得：注14;

④当当《t423时，点"停在点力处，点例在8c上，如图,

0cpm

B

MC=NC,

.-.27-16=16,

解得：f=16;

综上所述：当f=9.2或14或16秒时，△用尸。与△NQC全等.

2.解：⑴根据题意，得BP=2f,

16-2/=16-2x3=10,

在中，AC=8,

22

根据勾股定理，得“尸=7AC+PC=7s2+io2=2V41.

答：/尸的长为24H.

(2)在RtZ\/6C中，/4C=8,BC=16,

根据勾股定理，得<8=.AC2+BC2=优4+256=

•.•△4?尸为等腰三角形，

若PA=PB,贝IJ/P=2/,

在RtZXXCQ中，根据勾股定理得，(2/)2=(16-2/)2+82,解得f=5.

若BA=BP,则2/=8V5,解得上4粕；

若58=4尸，则8尸=32,2/=32,解得/=16;

即满足条件的/的值为火片或16或5.

(3)①点尸在线段6C上时，过点。作DELAP于E,如图1所示：

则/4力=/尸力=90°,

:.乙PED=LACB=9b,

<PD平分LAPC,

ZEPD=ZCPD,

又；PD=PD,

：,4PDEt\PDC〈AAS),

:.ED=CD=3,PE=PC=20-2/,

:.AD=AC-CD=8-3=5,

/尾7AD2-DE2=752-32=4，

.1./l/?=/IH^=4+16-2/=20-2/,

在Rt△力尸C中，由勾股定理得：82+(16-2/)2=(20-2/)2,

解得：)=5;

②点户在线段8c的延长线上时，过点。作。比工产于£如图2所示：

同①得：△尸D&△尸DC(AAS),

:.ED=CD=3,PE=PC=2t-20,

AD-AC—CD-8—3=5,

■■AE=7AD2-DE2=7S2-32=4-

AP=A曰PE=4+2/-16=2/-12,

在白△/(尸C中，由勾股定理得：82+(2/-16)2=(2/-12)2,

解得：丘11；

综上所述，在点尸的运动过程中，当/的值为7或13时，PD平峪人APC.

图？

图1

3.解：⑴••-ZC=60°,

.,.当PC=CQ时，△QQC为等边三角形,

于是NQPC=60°=/8,

从而尸Q//46,

•・•PC=4-x,CQ=2xf

由4一x=2x,

解得：仁年4,

4

•二当时,PQHAB\

o

故答案为:李4

o

(2)-：PQA.AC,ZC=60°,

AQPC=30°,

:.CQ=^PC,

即2x=/(4-x),

4

解得：x=差；

(3)OQ=PO,理由如下：

作于，，如图3,

:./_QAH=30°,BD=^-BC=2,

(2X-4)=X-2,

,:DP=BP-BD=x-2,

：.QH=DP,

在和△<?叨中，

rZQ0H=ZP0D

-ZQHO=PDO,

,QH=PD

:.XQQ3l\QPD〈AAS),

OQ=OP.

4.(1)证明：•.♦NE4O=/C/8=ci.

ZEAD^-/_DAC=/CAB+/_DAC,

即NE4c=N0/48,

在△£4C和△D48中，

，AE=AD

<ZEAC=ZDAB,

AC=AB

:.△EA8XDAB(勿⑼，

:.BD=CE,N018=a=90°,

:./_ACB=A5°,

(2)解：如图，作44<L8。，/乂1。£于点例，N,

由(1)知18,

:.(ABD=LACE,

在△S8A4和△C4N中，

，ZB=ZC

<ZAMB=ZANC,

AB=AC

：./\ABM^^CAN{AAS),

:.AM=AN,

■：AMLBD,ANLCE,

:.AP*假(MPN、

,:XEACg^DAB、

■-Z.E=/.D,

■：AAQE=ADQP,

:,乙EAQ=/_DPQ=90°、

,\/_MPN=90°,

:.乙APB=/乙MPN=45°.

5.解：(1)-：/_ABC^AACB,/&4c=50°,

18050

...zABC=°-°=65°,

♦.•6。是△/I8C的高，

，"80=90°-50°=40°,

6c=65°-40°=25°;

(2)2ADBC=ABAC,理由如下：

/_ABC—/_ACB,

/.Z£?Z5=2Z/45C=180°-ABAC,

...BD是△/48C的悬।,

DBA=90°—/0/48=90°-7/.ABC,

/.ZDBC=ZDBA+ZABC=90°-2^ABC+^ABC=90°-/_ABC,

...zDBC=90°-180-ZBAC=yZBAC,

即2NDBC=ZBAC-,

(3)设NO8c=a,则/8ZC=2a,

•；BE平分/DBA,设乙DBE=LEBA=§,

在△AS。中，£BAC=LDBA+90。=2^+90°=2a,

则B=a-45°=£EBA,

在△80C中，ZBCD=90°-ZDBC=90°-a,

：./_FCE=/_FCB=^(90°-a)=45°-ya,

在△&C中，:乙FEB=9Q-三/BEC,则/码=90°+^/_BEC,

在△/ISE中，ZBAC=ZBEC+/_EBA=/_BEC+a-45°=2a,

贝|J/8H?=45°+a,

贝|JN3=9O°+^£BEC=90°+/(45°+a)=112.5+ya,

而/尸C5=45。_/a,

则/尸=180°-(2FEC+乙FCE)=180°-(112.5+-1-a+45o--^-a)=22.5°

6.解：(1)过点C作8JL/8于点。，

在RtZ\/l6。中，/45=^AC2+BC2=io,

而/4C=6,BC=8,

1194

.・・$c=^x•心纥"民则8=告,

乙乙D

I1o

贝Ij^^=VAC2-CD2=_^-'

故点只。重合时，片冬+5=祟；

0

①当0<x\!•时，

\'PQLAB,则叼8,

:AAPQsXACD、则需号，

即1824,贝iJPQ=等20t；

TT3

②当祟</<2时，如图2,

oD

B

图2

此时，AP=5t,

同理可得：斗竽一号

等（0<t费）

oN3

故尸。=<

学不嘿<t<2）

Z4Z3

(2)当点/?落在SC上时，如图3,

-PQLAB.^ACB=90°,/_PBQ=/_CBA,

:.XBPQSXBCA、则黑啮，即*1室,解得产々=与一普力

ACDCUON4

■：PQIIAB,

••・"Qf=90°,

△CQRsXCBA,

■：PRIIBC,

:.XARPsXABC

■：AP=5t,故PR=4t、

由；PQHAB,

ZPQR=90°,

:ZQRsXCBA、则震噌，

I~ITm—r/acz^12t1515,

同理可得：PQ=—^=—------—t,

524

解得吟;

(3)当△尸QQ与△/SC重叠部分图形为三角形时,

由⑵知，*502满足条件，故此时Q?=£4QQ,

413

5-1xQR-PQ=^x^PQxPQ=!(竽谭力？=与,-与得；

(4)当/0平分△尸的面积时，如图4,连接//?,

图4

根据三角形等面积可知，此时PM=RM,

故四边形6Q所为平行四边形，四边形4RQ尸为矩形,

115

QM^PM=-=-BQ=-=-X^-X(10-5/),

224

:.AQ=BQ^BP=^-(10-5/)=孕-岑，

4424

9R+Q

则CQ=BC-6Q=罕-*

42

由勾股定理得：（孚-£）2+62=与-冬）2,解得壮日；

42244

当PC平分△2???的面积时，如图5,

邺

设尸。交于点M此时R在8上,

根据三角形等面积知，QN=RN,

四边形尸GQD为矩形，四边形CQPR为平行四边形,

:.DR=PQ,CE=PQ,

1515I5t

故8=2尸。=2(手一苛力=15—学

524]<15t24

XCD--,EP15----,

DN3

解得磅;

综上，心弓9

4

7.解：(1)①•.•N/8C=90°,AB=6,BC=8,

•■•^C=VAB2+BC2=V62+82=10-

由题意得：AD=2t,

的长度/与时间t（秒）的关系式为£=10-2/;

②分两种情况:

①当8=8C=8时,

贝IJ10-21=8,

解得：1=1；

②当时,

则N。8c=NC,

vZz45C=90°,

=90°,乙DBC+乙ABD=9Q°,

/_A=/_ABD,

AD-BD,

BD—AD=CD—■^-AC=5,

.-.10-2/=5,

5

解得：/=£■；

5

综上所述，当△88为等腰三角形时，/为1秒或读秒;

(2)'：AABC=90°,/_ABA/_CBD=90°,(ABD=/_ECB,

:./_ECB+/_CBD=qb,

:.^BFC=180°-90°=90°,

.・.点G为8c的中点，

FG=~BC=BG=CG=4,

工G=7AB2+BG2=7S2+42=2vl§，

AF^AG-FG=2A/13-4,

过8作于〃，如图2所示：

A/ISG的面积=、GXBH*ABXBG,

,DUABXBG6X412压

AG271313

,△4?尸的面积=，■/(尸x8〃=/x(2VI3-4)n&--2W13

x13]213

8.解：（1）•・・△/SC是等边三角形，ADA.BC,

:.BC=2BD,ZC=60°,

■：EFLAC,

，N&C=90°,

；.£FEC=30°,

EC=2FC,

■：BC=BE^EC,

；.2BD=2CRBE;

(2)①当点Q在点尸的上方时，如图1,

过尸作尸CL/I8于Q,设尸8=x,

图1

■：PELBC,N8=60°,

CT=8-袅

■：EFVAC,NC=60°,

CF=CE—4—y%,

24

/.AF=8—CF=4+±x,

4

■：ABAC=60°,[QIAS,

:.AQ=^AF=2+^x,

.1.^2+2+~x=4,

,16

--x=~2~,

「.叫号；

②当点G在点尸的下方时，如图2,

过以乍G2/8于G,

：.±PMEF=AD,即，PB-2EF=2AB,

:.BP+AQ-PQ=AB,即x+2+Jx-2=8,

o

解得X=詈64,

.I*］；

g,0032T64

综上，-或丁;

yy

(3)作点4关于灰?的对称点。交8c于点作点8关于ZC的对称点G,连接DG

交8c于点£交/C于点尸，则点£尸为所求点，

图3

理由：A&ENBF=DNEAGF=GD为最小，

根据图形的对称性，为底角为30°的等腰三角形，

过点C作CHLAB交BG、DA于点。，交OG于点K,根据图形的对称性，HKLDG,

同理，△OOG为顶角为120°的等腰三角形，则N0=NG=3O°,

在RtZ\8O/W中，ZOBM=30°,BM=^BC=4,

设OM=x,贝ijOB-2x,

由勾股定理得：8。=。/+用序，即（2x）2=父+42,解得x=2詈=0伪,

O

同理可得，Z"=4愿,

贝ijOD=OM+MD=OM+AM=,

3

则Rt/XOK。中，OD=,/。=30°,

3

由勾股定理同理可得：DK=8,

在等腰三角形OG。中，HKLGD,则。K=/z;G=8,

故。G=16.

即工日历8厂的最小值为16.

9.解：（1）•.ME平分NC48,

.,.点E到ZC,48的距离相等,

,S^ACE二AC二CE

S/kABE福BE

■：AC=BC=4,N/C8=90°,

:.AB-\[2.AC-4^/2,

,AC_CE_V2

"AB"BE

BE=2

"BC=2-K/2'

-'-BE=2^/2x4=4&-如)=8V2,

即BE=8-4近;

(2)①.•,点E是8c的中点，

CE=BE—~^BC=2,

•l-AE=7AC2-K；E2=2辰,

■：CFLAE,

SRACE=^AE»CG^AC・CE,

AC-CE4X2475

AE2V55

②过点8作BMLBC交C尸延长线于点例,

ACBM=90°,

:.^CBM=AACE=90°,

••・N/CO/8CM=90°,LACG^/_CAE=90°,

・•.NBCM=ZCAE,

在△C8/W和△SCE中，

2CBM=NACE

<AC=CB,

ZBCM=ZCAE

:.ACBM^AACE{ASA),

AE=CM—2^/5>CE=BM、

•/CE=BE,

BM=BE,

•・・NC48=NC8Z=45°,

ZEBF=ZMBF=45°,