人教版八年级数学下册第十九章函数2

第十九章函数

教学备注19.2一次函数

19.2.1正比例函数

第1课时正比例函数的概念

学习目标：1.理解正比例函数的概念；

2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题.

重点：正比例函数的概念及其简单应用；

难点：会求正比例函数的解析式.

学生在课前

完成自主学______________

习部分一、知识链接

1.若香蕉的单价为5元/千克，则其销售额m(元)与销售量n(千克)成比例,

其比例系数为.

2.举例说明什么是函数及自变量.

二、新知预习

L下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：

(1)圆的周长/随半径r的变化而变化.

(2)铁的密度为7.8g/cm\铁块的质量m(单位：g)随它的体积V(单位：cn?)的变

化而变化.

(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随练习

本的本数n的变化而变化.

(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃,物体问题T(单位：。C)随冷冻时间

t(单位：min)的变化而变化.

(5)以上出现的四个函数解析式都是常数与自变量_______的形式.

2.自主归纳：

一般地，形如(k是常数，kWO)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例

系数.

三、自学自测

1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？

x2j—

(1)y=3%;(2)y=2%+1;(3)y=—q;(4)y=—;(5)y=冗x;(6)y=-y/3x.

2x

2.回答下列问题：

⑴若y=(m-l)x是正比例函数，m取值范围是

(2)当n时，y=2x。是正比例函数；

(3)当k时，y=3x+k是正比例函数.

四、我的疑惑

教学备注

z课堂探究配套P玩讲授

一、要点探究

1.情景引入

探究点1:正比例函数的概念

（见幻灯片3）

问题L正比例函数的定义是什么？需要注意哪些问题？

2.探究点1新

知讲授

（见幻灯片

5-12）

典例精析

例1：已知函数y=（m-l）x病是正比例函数，求m的值.

方法总结:正比例函数满足的条件：（1）自变量的指数为1；（2）比例系数为常数，且不

等于0.

3.探究点2新

探究点2：求正比例函数的解析式

知讲授

例2若正比例函数当自变量x等于-4时，函数y的值等于2.

（见幻灯片

（1）求正比例函数的解析式；

13-14）

（2）求当x=6时函数y的值.

方法总结:求正比例函数解析式的步骤：（1）设：设函数解析式为丫=1«；（2）代：将已

知条件带入函数解析式；（3）求：求出比例系数k；（4）写：写出解析式.

4.探究点3新

探究点3：正比例函数的简单应用

知讲授

问题2：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.

设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：（见幻灯片

15-20）

（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？

（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？

（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？

\/

例3：已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L.所使用的汽油为5元/L.

教学备注

(1)写出汽车行驶途中所耗油费y(元)与行程x(km)之间的函数关系式，并指出

配套PPT讲授

y是x的什么函数；

(2)计算该汽车行驶220km所需油费是多少？

方法总结:判断是否为正比例函数的依据是函数解析式能否化为丫=1«(k是常数，k#

0)的形式.

针对训练一

1.⑴若y=(m-2)xMT是正比例函数，则［!1=；

⑵若y=(m-l)x+m2-l是正比例函数，则---------.

2.已知y与x成正比例，当x等于3时，y等于T.则当x=6时,y的值为.

5.课堂小结二、课堂小结

定义求解析式要点提示

正比例函数形如y=kx(k是常数,只需一个已①自变量X的指数是1,且比例

k=0)的函数，叫做知条件求出系数kWO；②函数是正比例函

正比例函数，其中k比例系数k数一其解析式可化为y=kx(k

叫做比例系数.即可是常数，kWO)的形式.

,)当堂检测

6.当堂检测1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是()

(见幻灯片

21-25)A.圆的面积S与它的半径r

B.行驶速度不变时，行驶路程s与时间t

C.正方形的面积S与边长a

D.工作总量(看作“1”)一定，工作效率w与工作时间t

2.下列说法正确的打“J”，错误的打“X”.

(1)若尸kx,则y是x的正比例函数()

(2)若y=2x?,则y是x的正比例函数()

1_____)(3)若y=2(x-l)+2,贝Uy是x的正比例函数()

（4）若y=（2+k>x,则y是x的正比例函数（）

教学备注

3.填空配套PPT讲授

（1）如果y=（kT）x,是y关于x的正比例函数，则k满足.6.当堂检测

（2）如果y=kxk-1,是y关于x的正比例函数，则k=—.（见幻灯片

（3）如果y=3x+k-4,是y关于x的正比例函数，则k=.21-25）

（4）若y=（m—2）/"3是关于x的正比例函数，m=.

4.已知y-3与x成正比例，并且x=4时，y=7,求y与x之间的函数关系式.

5.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割.

（1）求收割的面积y（单位：公顷）与收割时间x（单位：时）之间的函数关系式；

（2）求收割完这块麦田需用的时间.

八年级数学下册期中综合检测卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.、23B.xW3C.x>3D.x<3

2.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.l,1,亚C.6,8,11D.5,12,23

3.下列各式是最简二次根式的是（）

A.邪B.V7C.A/20

4.下列运算正确的是（）

A.亚B.旧=2：C.般一0二垃D.J（2一#）2=2一

后

5.方程I4x—8I+yjx-y-m=0,y>0时,冽的取值范围是（）

A.0<m<lB.加22C.mW2D.m<2

6.若一个三角形的三边长为6,8,%,则此三角形是直角三角形时，入的值

是（）

A.8B.10C.2V7D.1O或2近

7.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（）

A.可能是锐角三角形B.不可能是直角三角形

C.仍然是直角三角形D.可能是钝角三角形

8.能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）

A.AB/7CD,AD=BCB.AB=CD,AD=BC

C.ZA=ZB,ZC=ZDD.AB=AD,CB=CD

9.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A.当AB=BC时，它是菱形B.当ACLBD时，它是菱形

C.当NABC=90°时，它是矩形D.当AC=BD时，它是正方形

二二二三三三二二五

A

第15题图

10.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF,AE、BF相交于

点O,下列结论：（1）AE=BF；（2）AE±BF；（3）AO=OE；（4）

SAAOB=S四边形DEOF中正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.已知最简二次根式J4a+3〃与中2a-〃+6可以合并，则ab=.

12.若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足扬一3+9+|b-4I=0,则该直角三角

形的斜边长为.

13.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积Si=2兀，

8

S2=2兀，则S3=.

14.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ACLBD,且OB=OD,请你添加一个适

当的条件,使四边形ABCD成为菱形（只需添加一个即可）.

15.如图，^ABC在正方形网格中，若小方格边长为1,则AABC的形状是

16.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,NBAD=120°,AC=4,则该菱形的

面积是.

17.AABC中，若AB=15,AC=13,高AD=12,则4ABC的周长是.

18.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A,C的坐标

分别为A（10,0）,C（0,4）,点D是OA的中点，点P为线段BC上的点.小明同学写出了

一个以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标（3,4）,请你写出其余所有符合这个条

件的P点坐标.

三、解答题（共66分）

19.（8分）计算下列各题:

(1)(^48-4J-)-(3J--2y/0S);

3

(2)(2—6产15.(2+73)2016-2X|--1-(-V3)0

2

20.（8分）如图是一块地，已知AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,且CDLAD,

求这块地的面积.

C

D

A、B

21.（8分）已知9+&1与9-的小数部分分别为a,b,试求ab—3a+4b—7的直

22.（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,D为AC边上中点，过D

点作DELDF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF的长.

23.（10分）如图，4ABC是直角三角形，且NABC=90°,四边形BCDE是平行四边

形，E为AC的中点，BD平分NABC,点F在AB上，且BF=BC.求证:

(1)DF=AE；(2)DF±AC.

24.（10分）如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为402m,NABC=120°,在其

内部有一个四边形花坛EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛

中种植茉莉花，其单价为10元/n?,请问需投资金多少元？（结果保留整数）

A

C

25.（12分）（1）如图①，已知△ABC,以AB、AC为边向AABC外作等边4ABD和等

边AACE,连接BE,CD,请你完成图形，并证明：BE=CD;（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）如图②，已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接

BE,CD,BE和CD有什么数量关系？简单说明理由；

（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图③，要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离，已经测得NABC=45°,/

CAE=90°,AB=BC=100米，AC=AE,求BE的长.

八年级数学下期末综合检测卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.二次根式屈、屈、底、Jx+2、J4ON、中,最简二次根式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.若式户”有意义，则x的取值范围为（）

A.G4B.xW3C.xN4或xW3D.x24且x关3

3.下列计算正确的是()

A.A/4X^=476B.A/4+A/6=^

C.V404-75=22D.J(-15)2=-15

4.在RtAABC中,ZACB=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是()

.36「12

A.—B.——

525

5.平行四边形ABCD中,NB=4NA,则NC=()

A.18°B.36°C.72°D.144°

6.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O,菱形的周长是20cm,AC：BD=4:3,则菱形

的面积是（)

第10题图

7.若方程组（2久+7=6的解是X=-1则直线y=-2x+b与y=x~a

x-y=a

的交点坐标是（)

A.(-l,3)B.(b-3)C.(3,-1)D.(3,1)

8.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（m）与赛跑时间t（s）的关系如图所示，则下

列说法正确的是（）

A.甲、乙两人的速度相同B.甲先到达终点

C.乙用的时间短D.乙比甲跑的路程多

9.在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所

示:

成绩（m）1.501.601.651.701.751.80

人数124332

这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（)

A.1.70,1.65B,1.70,1.70C.1.65,1.70D.3,4

10.如图，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PELAB于E,PF

±AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为（)

55

B.一C.一D

A-723l

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.当产时，二次根式x+1有最小值，最小值为

12.已知a,b,c是AABC的三边长,且满足关系式

slc2-a2-b2+|。_。|=0,则AABC的形状为.

13.平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=13,AC=10,DB=24,则

四边形ABCD的周长为

14.如图，——次函数y=左"+仇与竺=左2%+历的图象相交于A（3,2）,贝I］不等式（层一舟）x+历

一仇＞0的解集为.

yJi

A

X

第14题图第16题图第18题图

15.在数据一1,0,3,5,8中插入一个数据x,使得该组数据的中位数为3,则x的值为.

16.如图，AABCD中，E、F分别在CD和BC的延长线上，ZECF=60°,AE/7BD,EF

±BC,EF=2在，则AB的长是.

17.（山东临沂中考）某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周的课外阅读时间，结

果如下表所示：

时间（小时）4567

人数1020155

则这50名学生一周的平均课外阅读时间是小时.

18.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和

CD上，下歹U结论：①CE=CF,②NAEB=75°,③BE+DF=EF,④S正方形ABCD=2+百,

其中正确的序号是.（把你认为正确的都填上）

三、解答题（共66分）

19.（8分）计算下列各题：

（1）|272-31-+/；

(2)先化简，再求值：a+'+(-。—2必+"),其中a=VJ+l,b=6—1.

a

20.(8分)如图，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,折痕为AE.若BC=10

cm,AB=8cm.求EF的长.

21.(9分)已知一次函数的图象经过点A(2,2)和点B(-2,-4).

(1)求直线AB的解析式；

(2)求图象与x轴的交点C的坐标；

(3)如果点和点N(-4,b)在直线AB上，求。力的值.

2

22.(9分)(湖北黄冈中考)为了倡导“节约用水，从我做起”，黄冈市政府决定对市直

机关500户家庭的用水情况做一次调查，市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭一年

的月平均用水量(单位：吨)，并将调查结果制成了如图所示的条形统计图.

(1)请将条形统计图补充完整；

(2)求这100个样本数据的平均数，众数和中位数；

(3)根据样本数据，估计黄冈市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有

多少户？

23.（10分）（山东德州中考）目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农

村地区推广，为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共1200只，这两种节能灯的进

价、售价如下表：

进价（元/只）售价（元/只）

甲型2530

乙型4560

（1）如何进货，进货款恰好为46000元？

（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少

元？

24.（10分）如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M,

过M作ME±CD于点E,Z1=Z2.

(1)若CE=1,求BC的长；

(2)求证：AM=DF+ME.

25.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知直线产kv+6与x轴、y轴分别交于A、B

两点，且AABO的面积为12.

（1）求左的值；

（2）若点P为直线AB上的一动点,P点运动到什么位置时，△PAO是以OA为底的等腰

三角形？求出此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接PO,4PBO是等腰三角形吗？如果是，试说明理由；如果

不是，请在线段AB上求一点C,使得△CBO是等腰三角形.

期中综合检测卷

l.A2.B3.B4.C5.D6.D7.C8.B9.D

10.B【解析】在正方形ABCD中.•；CE=DF.；.AF=DE.

又=AB=AD.NBAF=ZD=90%AAABF^ADAE、：.

AE=BF.NAFB=NDEA,NDAE=/ABF.丁NDAE+

ZDEA=90°ZDAE+ZAFB=90°,即NAOF=90°.二

八£_LbF••:+S△.UIF=+，：・$△*M=

Siu边“。即•故(D(2)(4)正确.

9

11.112.513—K1，OA=OC(答案不唯一)

o

15.直角三角形16.8>/317.42或32

18.(2.4)或(8.4)

19.(1)解：原式=43一4•9一3•-^-+2-=3V3;

(2)解：原式=(4一3产”(2+疗)-75■—1=1.

20.解：连接AC.由勾股定理得：AC=/FT1r=5(m).

V52+122=13\.\AABC是直角三角形.

；.S=-^-X5X12-^X3X4=30-6=24(11?).

答：这块地的面积为24m2.

21.解：易知a=JTT—3,6=4—yiT..,.a6-3a+46-7=(JTT

—3)(4—/IT)—3(>/lT—3)+4(4—x/TT)—7=7y/TT—23

-3/TT+9+16—45/TT-7=-5.

22.解：如图.连接BDJ.•在等腰直角三角，4

形ABC：中.D为AC边上中点.卜\

：.BD±AC,BD=CD=AD,ZABD

=45\ZC=45*.

又DE_LDF.NFDC=NEDB、：.\

△EDB2AFDC,o_X》

DCC

・・・BE=FC=3.二A3=7,则BC=7.r

，BF=4,在RtAEBF中.EF，=BE?+3尸=3*+公.

，EF=5.

23.证明：(D如图,延长DE交AB于点G.

连接AD.YED〃BC.E是AC的中点.

ZABC=90°./.AG=B(i.D(i±AB,：.

AD=BD.'：BD平分NABC,；.NABD

=45*.ZBAD=45°.ZBD(；=ZAD(；=

45°.•.•四边形BCDE是平行四边形.二

ED=BC.又VBF=BC,/.BF=DE.：.

△AED^ADFB,：.AE=DF.

(2)VAAED9ADFB、：.NAED=

ZDFB.二ZDFG=ZDEC.VZDFG

与NFDG互余.二/DEC与/FDG互余.；.DF_LAC.

24.解：连接BD、AC「.•菱形ABCD的周长为40&m....菱形

ABC'D的边长为1072m.V/ABC=120°,...NA=60*,/.

△BDA是正三角形.二3。=八3=107?m,/.AC=1076m.

：E、F、G、H是菱形ABCD各边的中点四边形EFGH

是矩形.矩形的边长分别为5笈m.5V6m.•.矩形EN；H的面

积为5V?X5V^=5O4（m2）.即需投资金为507Txi0=500伍

1866（元）.

答：需投资金为866元.

25.解：（1）完成图形,如图①所示.

图①图③

证明：V△ABD和ZXACE都是等边三角形.二AD=AB.

AC=AE,NBAD=NCAE=60°,二ZBAD+ZBAC=

ZCAE+ZBAC,即ACAD=AEAB,,：在ZXCAD和

,AD=AB,

△E.AB中,,NCW=NEAB，二ACAD(SAS).

AC=AE,

：.BE=CD.

(2)BE=CD.理由如下：•.•四边形ABFD和ACGE均为正

方形.二AD=AB,AC=AE，NBAD=NCAE=90s./.

ZCAD=ZEAB.V在△CAD和/XEAB中.

/AD=AB.

,NCAD=/EAB./.ACAD^AEAB(SAS),：.BE=CD.

AC=AE.

(3)由(D、(2)的解题经验可知.如图③.过A作等腰直角三

角形ABD./BAD=90'.则AD=AB=100米./ABD=

450.二8D=100&■米.连接CD.则由(2)可得BE=CD,V

ZABC=45\?.NDBC=90°,在RtADBC中.BC=100

米.BD=100笈米,根据勾股定理得：CD=

710014-(10072)*=10071(米).则HE=CD=100VI米.

期末综合检测卷

l.C2.A3.C4.A5.B6.B7.A8.B9.A

10.D【解析】丁PE_LAB,PEA=90,PF_LAC,二

ZPFA=900.V3*+41=51.即AB2十AC1=BC*、：.

NBAC=90'.•.四边形AEPF为矩形.连接APJ.,点M为

EF的中点,二点M是AP、EF的交点..•.八乂=微-八？.当

AP±BC时.AP最短为争=性.二八乂最小为;X当

OO£»O

6

=~'

11,-1012.等腰直角三角形13.52

14.x<3【解析］(.k2-跖)工+阳—b、>Q.；.k*工+be>k\H

十仇.从图象上看,解集即为直线yt=ktx+bt的图象在直

线”=防工十"的图象上方的部分所对应的工的取值范围.

•.•两直线交于点A(3.2),结合图象可知,当了<3时~2>

W，即(4,一七)工+%一仇》0.

15.316.217.5.318.①②④

19.(1)解：原式=3—2笈-4+3笈=笈-1;

(2)解：原式=山.(」+2一+与=也.

a\a)a

a

—,,,.t=二•当a=V3+1.6=73—1时，原式=一

一(a十b)a十b

11173

a+b5/34-1+5/3-12V36,

20.解：由条件知AF=AD=BC=10cm,在RtAABF中.BF

=ZAF2-AB2=7102-8*=6(cm),二FC=BC-BF=

10-6=4(cm).设EF=Hcm,则DE=EF=_rcm.CE=

(8-x)cm.在RtACEF中，EF?=CE?+FC*.即/=(8—

工"+4:解得工=5.即EF=5cm.

21.解：（1）设直线A8的解析式为），=无工+力.则有

产+丁，解得卜=5・

1—2A+%=-4・f]

s=一1・

二直线A8的解析式为丁=可工一1;

3