人教A版必修第二册631平面向量基本定理学案

6.3平面对量根本定理及坐标表示

6.3.1平面对量根本定理

新课程标准新学法解读

平面对量根本定理是本节的重点又是难

点.为了更好地理解平面对量根本定理，

理解平面对量根本定理及可以通过转变向量的方向及模的大小作

其意义.图观看九，丸2取不同值时的图形特征，得

到平面上任意一个向量都可以由这个平

面内不共线的两个向量来表示.

课前篇咱主梳理稳固根底

［笔记教材］

学问点平面对量根本定理

假如ei,C2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任一向量”，有且只有一对实数力，丸2,使“=力乃十丸202.

假设ei,C2不共线，我们把｛幻，02｝叫做表示这一平面内全部向

量的一个基底.

—>—>—>

推论：向量OA,OB,0。不共线，那么4,B,。三点共线台

—>—►­►

存在实数九〃，使得0A=705+〃。。，且丸+“=1.

［重点理解］

1.平面对量根本定理的作用

平面内任意一个向量都可以沿着西仝丕基线的方向分解成两仝

向量的和,并且这种分解是唯二的.

2.基底的性质

(1)不共线性

平面内两个丕共线的向量才可以作为一组基底•由于零向量与任

何向量共线，所以零向量不行以作为基底.

(2)不唯一性

对基底的选取不唯一,平面内任意一个向量。都可被这个平面内

的任意一组基底｛ei,02｝线性表示.

［自我排查］

1.以下关于基底的说法正确的选项是（）

①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；

②基底中的向量可以是零向量；

③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于该基底的线性分

解形式也是唯一确定的.

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

答案：B

解析：由基底的定义可知①③正确.应选B.

2.向量a"不共线，假设—a+〃而，那么力=,

答案：一11

解析：•.•九"+方=—〃而，

；.（九+1）。+（1—〃1）。=0,又Ya,力不共线，

.•.加+1=0且1一山=0,即尢=-1,川=1.

—>

3.如图，M,N是△A5C的一边5。上的两个三等分点，假设A5

—►—►

—a,AC=b,那么MN=.（用a,办表示）

答案：2b~3a

解析：由题意知，MN=］BC,

而JBC=AC—AB=b—a,

111

所以MN=—a)=1。一w”.

4.向量ei,C2不共线，实数％,y满意(3%—4y)ei+(2x—3y)e2

6ei+3e2,那么％—y的值为.

分1=1案■.J3

3%—4y6

解析：・・・ei,e2不共线，，由平面对量根本定理可得L°/

2x~3y=3,

y=3.

课堂篇•重点难点研习突破

研习1基底概念的理解

［典例1］(多项选择)假如ei,C2是平面a内两个不共线的向量，

那么以下说法中不正确的选项是()

A.丸为十“2(九〃WR)可以表示平面a内的全部向量

B.对于平面a内任一向量a,使“=〃1+"2的实数对(九〃)有

无穷多个

C.假设向量九ei+〃ie2与丸2例+4202共线，那么有且只有一个实

数九使得九为+〃1。2=%(丸201+〃202)

D.假设实数九〃使得力d十〃02=0,那么丸=〃=0

［思路点拨］应用平面对量根本定理解题时，要抓住基底向量为

与02不共线和平面内向量4用基底ei,02表示的唯一性求解.

［答案］BC

［解析］由平面对量根本定理可知，A、D是正确的.对于B,

由平面对量根本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个

向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C,当两向量均为零向量时，

即九=丸2=〃1=〃2=0时，这样的丸有很多个.应选BC.

［巧归纳］对基底的理解

(1)基底具备两个主要特征：

①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两

向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内全部向量的一组基底

的条件.

(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底.

(3)关于基底的一个结论：设ei,C2是平面内的一组基底，当丸iei

+&2=0时，恒有21=22=0.

［练习1］设均，C2是不共线的两个向量，给出以下四组向量：

。［与ei+ez;处1一2e2与02-2纵；

(3)ei—2e2与4e2—2e/；(^?/+e2与e/-e2.

其中，不能作为平面内全部向量的一组基底的是.(写

出全部满意条件的序号)

答案：③

解析：①设ei+e2=7ei,无解，

ei+e2与切不共线，即均与ei+e2可作为一组基底；

②i殳ei—2e2=，e2—2纵)，那么(1+2A)ei—(2+2)^2—0,

1+22=0,

那么＜无解,

2+1=0,

...d一2&与&—2/不共线,

即d一2e2与02—2a可作为一组基底;

③ei~2e2=—4(4e2—2e。，

.：/一2e2与4e2—2纵共线，

即d一2e2与4e2—2为不行作为一组基底；

④i殳ei+e2=7(ei—ei),那么(1—/l)ei+(l+力02=0,

1-2=0,

.*.］...八无解，...ei+e2与d一。2不共线,

,1+2=0,

即ei+e2与d一02可作为一组基底.

研习2平面对量根本定理及应用

[典例2]|OA|=1,\OB\=y[3,NAO5=90。，点。在NA05内,

且NAOC=30°.设0C=机0A+〃08(加，〃金R),求工的值.

［思路点拨］依据条件，以。4,05为基底表示0C,此时的加,

〃具有唯一性，进而可求解.

［解］如下图.

'.'OB1OA,不妨设|0C|=2,过C作C0LOA于Q,CE±OB^

E,那么四边形OQCE是矩形，

0C=0D+DC=0D+0E.

,：\0C\=2,ZCOD=3Q°,

-A-A

：.\DC\=1,|0。尸木.

­►—>

又•.•[06=表，\OA\=1,

故0。=小QA,OE=^-OB,

FFA/3F

：.0C=\^0A+^-0B,

止匕时机=小，〃=坐，.♦.'=噜=3.

J〃

3

［巧归纳］1.平面对量根本定理及应用

(1)用基底表不向量.

⑵证明点共线问题.

(3)解决平面几何问题.

2.用向量解决平面几何问题的一般步骤

(1)选取不共线的两个平面对量作为基底.

(2)将相关的向量用基底向量表示，将几何问题转化为向量问题.

(3)利用向量学问进行向量运算，得出向量问题的解.

(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解.

—►

[练习2]中，延长A4到。，AB=AC,。是将05分

―►-►

成2：1的一个分点，。。和0A交于点E,设。4=a,0B=b.

(1)用b表示向量0C,DC；

―►-►

(2)假设0石=丸。4,求实数7的值.

解：(1)YA为的中点，

—>[->—>—>

：.OA=^OB+OC),：.0C=2a~b,

一ff—2f25

DC=OC—OD=OC—^OB—2a—b—~jb=2a—^b.

―►―►

(2)<0石=2。4,

—►—►—►—►-►

：.CE=OE-OC=XOA-OC=Xa-2a+b=(X-2)a+b.

—>—>

TCE与8共线，

―►-►

•••存在实数阴，使得CE=MC。，

即(丸—2)a+Z>=m^—

即(7+2m—2)a+[1—^m^b=0.

'.'a,「不共线,

丸+2加-2=0,

5八解得丸=《.

［［一寺=0,D

研习3向量的夹角

［典例3］如图，△A5C是等边三角形.

(1)求向量A5与向量的夹角；

—►—►

(2)假设E为的中点，求向量AE与EC的夹角.

［思路点拨］平移向量，使它们的起点相同，再依据向量夹角的

定义及几何图形的性质进行求解.

［解］(□•.•△A5C为等边三角形，ZABC=60°,

如图，延长A5至点。，使45=5。，

ND5C为向量45与的夹角.

"：ZDBC=120°,

—►-►

向量A5与的夹角为120°.

(2):石为的中点，：.AE±BC,

―►-►

与EC的夹角为90°.

［巧归纳］1.明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点动身的

两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何学问加以解决.

2.求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量起点

重合，作出两个向量的夹角，依据“一作二证三算"的步骤求出.

［练习3］假设两向量诙方为非零向量，且⑷=网=|“一口，那

么4与。十方的夹角为（）

A.60°B.30°

C.45°D.90°

答案：B

解析：由向量运算的几何意义知，a+b,a一方是以a,8为邻边

的平行四边形的两条对角线.

―►-►

如图，令。4=“，OB=b,

\'\a\=\b\=\a—b\,

：.AOAB为等边三角形，ZBOA=60°.

―►

又•.•0。=”+"且在菱形。4c5中，对角线OC平分N50A,

：.a与a+办的夹角为30。.应选B.

课后篇•根底达标延长阅读

1.\a\=l,\b\=2,c=a-\-b,c±a,那么a与］的夹角大小为（）

2

铲

答案：D

解析：'Jc=a~\-b,c_La,/.«c=0,

即勿（4+。）=/+”.。=0,

设a与方的夹角为仇那么麻+⑷网cos。=0,

j2兀

即cos9=-5,V^e[O,兀],应选D.

2.如图，在△ABC中，AD=DB,AE=EC,CD与BE交于F,

―►—►-►

设AB=a,AC=b,AF=xa+yb,那么(%,/)为()

答案：C

—►—►

解析：设。尸=丸。。，,:E,。分别为AC,A5的中点,

：.BE=BA-\~AE=~a+^b,CD=AD~AC

[一一]

=^AB—AC=^a—b,

BF=BC+CF=(b-d)+i^a-b\

=俣-1；+(1一丸)仇

―►-►

•；BE与BF共线,

..TIT._2

••_]一],••力-3，

3.ei,。2不共线，〃=d+2。2,b=2ei+^eij要使a,力能作为

平面内全部向量的一组基底，那么实数丸的取值范围是.

答案：一4

解析：假设a与方共线，那么存在机使得力，即ei+2e2=

2me\+m^ei,7=4,故假设。与小不共线，那么7W4.

4.如图，D,E为△ABC的边AB,AC的中点，延长CD到V,

使。M=CD,延长班'至N,慢BE=EN,求证：M,A,N三点共线.

证明：设AB=a,AC=b,

,一一一1

那么C£)=AD—AC=1a—A.

•：MD=DC,M,D,。三点共线，

―►-►

：.CD=DM,

一f-71

AM=DM-\-AD=^a—bJi-^a=a—b.

一一一一f

'：BE^BA+AE=BA+^AC=~a+^b,

■:BE=EN,B,E,N三点共线，

—►—►

：.BE=EN.

一一一1一］1

C.AN=AE-\-EN=^b+BE—^b-\-^b—a=b—a.

―►—►―►—►

：.AM=-AN,即4M〃⑷V.

X'."AMHAN=A,

：.M,N,4三点共线.

课后自读方案

［误区警示］对平面图形的状况考虑不全致误

［例如］在平面内有三个向量。4,OB,OC,\OA\=\OB\=1,0A

-►—►―►—►—►-►

与05的夹角为120。，OC与04的夹角为30。，|0。|=5小，设机。4

―►

-\-nOB(m,八WR),那么机+〃=.

［错解］作如下图的平行四边形0PCQ,

Q-....................c

oAP

那么NCOQ=N0Cp=90°,

在RtZXQOC中，由于NQCO=NCQ4=30。，所以200=。。，

―►

由于［0。|=54，

―►—►-►

那么|0。|=5,I2C|=1O,所以|0尸1=10,

―►—►—►―►―►—►

又|。4|=|05|=1,所以。尸=10。4,OQ=5OB,

―►—►―►—►-►

所以0。=0尸+00=1004+505,所