高考数一轮复习 7.3空间点、直线、平面之前的位置关系讲解与练习 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第三节空间点、直线、平面之间的位置关系)[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2.了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据．3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.1.直线、平面位置关系是历年高考考查的重点内容之一，既有客观题，又有主观题．其中客观题主要是空间线、面位置关系的判定．如年重庆T9，陕西T5等．主观题中往往作为其中一问来考查，如年陕西T18，安徽T18(1)等．2.公理和定理一般不单独考查，而是作为解题过程中的推理依据.[归纳·知识整合]1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．作用：可用来证明点、直线在平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：判断空间两条直线平行的依据．[探究]1.平面几何中成立的有关结论在空间立体几何中是否一定成立？提示：不一定．例如，“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直”在平面几何中成立，但在立体几何中就不成立．而公理4的传递性在平面几何和立体几何中均成立．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．[探究]2.不相交的两条直线是异面直线吗？提示：不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能异面．3．不在同一平面内的直线是异面直线吗？提示：不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平行．3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C对于①，未强调三点不共线，故①错误；②正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③正确；对于④，未强调三点共线，则两平面也可能相交，故④错误．2．(教材习题改编)分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A．异面 B．平行C．相交 D．以上都有可能解析：选D由直线、平面的位置关系分析可知两条直线相交、平行或异面都有可能．3．如果a⊂α，b⊂α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是()A．l⊂α B．l⊄αC．l∩α＝A D．l∩α＝B解析：选A∵a⊂α，l∩a＝A，∴A∈α，A∈l，同理B∈α，B∈l，∴l⊂α.4．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成________个部分．解析：三个平面α，β，γ两两相交，交线分别是a，b，c，且a∥b∥c，则α，β，γ把空间分成7部分．答案：75．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．解析：连接B1D1，易证B1D1∥EF，从而∠D1B1C即为异面直线B1C与EF所成的角，连接D1C，则△B1D1C为正三角形，故∠D1B1C＝60°.答案：60°平面的基本性质及应用[例1]以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[自主解答]①正确，可以用反证法证明；②不正确，从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线．则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，空间四边形的四条边不在一个平面内．[答案]B———————————————————由所给元素确定平面的方法判断由所给元素(点或直线)确定平面时，关键是分析所给元素是否具有确定唯一平面的条件，如不具备，则一定不能确定一个平面．1．下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析：①中可证四边形PQRS为梯形；②中，如图所示取A1A与BC的中点为M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．③中可证四边形PQRS为平行四边形；④中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．答案：①②③[例2]如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[自主解答](1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊eq\f(1,2)AD.又∵BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)∵BE綊eq\f(1,2)AF，G为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四共点面．本例条件不变，如何证明“FE、AB、DC共点”？证明：如图，取AD中点为M，连接GM，EG，CM.由条件知，EG綊AB，CM綊AB，所以EG綊CM，所以四边形EGMC为平行四边形，所以EC∥GM.又GM綊eq\f(1,2)FD，∴EC綊eq\f(1,2)FD，故E、C、D、F四点共面.延长FE、DC，设相交于点N，因为EF⊂平面ABEF，所以N∈平面ABEF，同理可证，N∈平面ABCD，又因为平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以N∈AB.即FE、AB、DC三线共点.———————————————————证明共面问题的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．2．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．证明：(1)连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.空间两条直线的位置关系[例3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行[自主解答]由于MN与平面DCC1D1相交于N点，D1C1⊂平面DCC1D1，且C1D1与MN没有公共点，所以MN与C1D1是异面直线．又因为C1D1∥A1B1，且A1B1与MN没有公共点，所以A1B1与MN是异面直线，故选项D错误．[答案]D———————————————————异面直线的判定方法(1)定义法：依据定义判断(较为困难)；(2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)．(3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．3．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．(1)求证：BC与AD是异面直线；(2)求证：EG与FH相交．证明：(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B、C、A、D∈α.所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．所以BC与AD是异面直线．(2)如图，连接AC，BD，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG；同理EH∥FG，则EFGH为平行四边形．又EG、FH是▱EFGH的对角线，所以EG与HF相交.异面直线所成的角[例4](·银川模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．[自主解答](1)如图，连接AC、AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．由AB1＝AC＝B1C可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成角为60°.(2)如图，连接BD，由AA1∥CC1，且AA1＝CC1可知A1ACC1是平行四边形，所以AC∥A1C1.即AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．因为EF是△ABD的中位线，所以EF∥BD.又因为AC⊥BD，所以EF⊥AC，即所求角为90°.———————————————————求异面直线所成角的步骤平移法求异面直线所成角的一般步骤为：4．已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角．解：如图，设E为AC的中点，连接EM、EN.∵EM綊eq\f(1,2)AB，∴∠EMN即为异面直线AB与MN所成的角(或补角)．在△MEN中，ME綊eq\f(1,2)AB，EN綊eq\f(1,2)CD.∴∠MEN为异面直线AB与CD所成的角(或补角)，且△MEN为等腰三角形．当∠MEN＝60°时，∠EMN＝60°，即异面直线AB和MN所成的角为60°.当∠MEN＝120°时，∠EMN＝30°，即异面直线AB和MN所成的角为30°.∴直线AB和MN所成的角为60°或30°.1个疑难点——对异面直线概念的理解(1)“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．(2)不能把异面直线误解为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线．(3)异面直线的公垂线有且仅有一条．2种方法——求异面直线所成角的方法(1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法．(2)补形法：即采用补形法作出平面角．3个“共”问题——“共面”、“共线”和“共点”问题(1)证明共面问题一般有两种途径：①首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．(2)证明共线问题一般有两种途径：①先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明共点问题常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.易误警示——求解线线角中忽视隐含条件而致错[典例](·临沂模拟)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A．1条 B．2条C．3条 D．4条[解析]如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为eq\r(2).联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．[答案]Deq\a\vs4\al([易误辨析])1．易忽视异面直线所成的角，且没有充分认识正方体中的平行关系而错选A.2．求解空间直线所成的角时，还常犯以下错误：(1)缺乏空间想象力，感觉无从下手；(2)忽视异面直线所成角的范围．eq\a\vs4\al([变式训练])如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E、F分别是AB，CD的中点，且EF＝eq\r(2)，则异面直线AD和BC所成的角为________．解析：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，故EG∥BC且EG＝eq\f(1,2)BC＝1，FG∥AD，且FG＝eq\f(1,2)AD＝1.即∠EGF为所求，又EF＝eq\r(2)，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.答案：90°一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．给出下列四个命题：①没有公共点的两条直线平行；②互相垂直的两条直线是相交直线；③既不平行也不相交的直线是异面直线；④不同在任一平面内的两条直线是异面直线．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B对于①，没有公共点的两条直线平行或异面，故①错；对于②，异面直线垂直但不相交，故②错；③④正确．2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C由条件，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合的条件的棱共有5条．3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B如图，设l∩α＝A，α内直线若经过A点，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l异面．4．(·福州模拟)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)解析：选D连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，设AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5).5．(·聊城模拟)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行 B．相交C．垂直 D．互为异面直线解析：选C不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都有直线m，使得m⊥l.6．(·重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，eq\r(2)和a，且长为a的棱与长为eq\r(2)的棱异面，则a的取值范围是()A．(0,eq\r(2)) B．(0,eq\r(3))C．(1,eq\r(2)) D．(1,eq\r(3))解析：选A如图所示，AB＝eq\r(2)，CD＝a，设点E为AB的中点，则ED⊥AB，EC⊥AB，则ED＝eq\r(AD2－AE2)＝eq\f(\r(2),2)，同理EC＝eq\f(\r(2),2).由构成三角形的条件知0<a<ED＋EC＝eq\r(2)，所以0<a<eq\r(2).二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：将展开图还原为正方体，如图所示，则AB⊥EF，故①正确；AB∥CM，故②错误；EF与MN显然异面，故③正确；MN与CD异面，故④错误．答案：①③8．(·大纲全国卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．解析：如图，连接DF，因为DF与AE平行，所以∠DFD1即为异面直线AE与D1F所成角的平面角，设正方体的棱长为2，则FD1＝FD＝eq\r(5)，由余弦定理得cos∠DFD1＝eq\f(\r(5)2＋\r(5)2－22,2×\r(5)2)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)9．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．解析：如图：延长CA到D，使得AD＝AC，连接A1D，BD，则四形边形ADA1C1为平行四边形，∴∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60°.答案：60°三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．解：如图所示．PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．11．如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．(2)取BC的中点F，连接EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)；cos∠AEF＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为eq\f(1,4).12．(·上海高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2eq\r(2)，PA＝2.求：(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．解：(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.因为PD＝eq\r(22＋2\r(2)2)＝2eq\r(3)，CD＝2，所以三角形PCD的面积为eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).(2)取PB的中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF＝eq\r(2)、AF＝eq\r(2)、AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝eq\f(π,4).因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是eq\f(π,4).1．平面α、β的公共点多于两个，则①α、β垂直②α、β至少有三个公共点③α、β至少有一条公共直线④α、β至多有一条公共直线以上四个判断中不成立的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C由条件知，平面α与β重合或相交，重合时，公共直线多于一条，故④错误；相交时不一定垂直，故①错误．2．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：选C依题意得MN∥PQ，MN∥平面ABC，又