高考数一轮复习 8.3圆的方程讲解与练习 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第三节圆的方程)[备考方向要明了]考什么怎么考1.掌握确定圆的几何要素．2.掌握圆的标准方程与一般方程.圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆的基础知识时最常涉及的要素．大多以选择题或填空题的形式考查，有时也会穿插在解答题中，如年江苏T12等.[归纳·知识整合]1．圆的定义(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．(2)确定一个圆的要素是圆心和半径．2．圆的方程(1)标准方程①两个条件：圆心(a，b)，半径r；②标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②方程表示圆的充要条件为：D2＋E2－4F>0；③圆心坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).[探究]1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？提示：不一定．只有当D2＋E2－4F>0时，上述方程才表示圆．2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示：eq\x(圆的标准方程)eq\o(,\s\up7(展开),\s\do5(配方))eq\x(圆的一般方程)3．点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三个结论圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析：选D圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．2．已知方程x2＋y2＋2kx＋4y＋3k＋8＝0表示一个圆，则实数k的取值范围是()A．－1<k<4 B．－4<k<1C．k<－4或k>1 D．k<－1或k>4解析：选D由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是()A．－1<a<1 B．0<a<1C．－1<a<eq\f(1,5) D．－eq\f(1,5)<a<1解析：选A∵点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，∴(2a)2＋a2<5，解得－1<a<1.4．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析：选B∵易得线段的中点即圆心为(1,1)，线段的端点为(0,2)，(2,0)，∴圆的半径为r＝eq\r(2)，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.5．(教材习题改编)经过圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心，且与直线2x＋y＝0垂直的直线方程是______________．解析：圆心为(1，－1)，所求直线的斜率为eq\f(1,2)，所以直线方程为y＋1＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－3＝0.答案：x－2y－3＝0

求圆的方程[例1](1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为______________．(2)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________________．[自主解答](1)法一：由题知kAB＝2，A，B的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)．∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－4)＝－\f(1,2)，,2a－b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1.))∴C(2,1)，r＝|CA|＝eq\r(5－22＋2－12)＝eq\r(10).∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－b－3＝0，,5－a2＋2－b2＝r2，,3－a2＋－2－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，,r＝\r(10)，))故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.法三：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＋4＋5D＋2E＋F＝0，,9＋4＋3D－2E＋F＝0，,2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)))＋\f(E,2)－3＝0，))解得D＝－4，E＝－2，F＝－5.∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.(2)根据题意可知圆心坐标为(－1,0)，圆的半径长为eq\f(|－1＋0＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，故所求圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.[答案](1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)(2)(x＋1)2＋y2＝2———————————————————求圆的方程的两种方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．eq\a\vs4\al(②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.,若条件中圆心坐标明确时，常设为圆的标准方程，不明确时，常设为一般方程.)1．求下列圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－4a，,3－a2＋－2－b2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，))解得a＝1，b＝－4，r＝2eq\r(2).故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3.与y＝－4x联立可得圆心为(1，－4)，所以半径r＝eq\r(1－32＋－4＋22)＝2eq\r(2).故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋144＋D＋12E＋F＝0，,49＋100＋7D＋10E＋F＝0，,81＋4－9D＋2E＋F＝0，))解得D＝－2，E＝－4，F＝－95，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.法二：由A(1,12)，B(7,10)得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－eq\f(1,3)，则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0.同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,x＋y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即圆心坐标为(1,2)，半径r＝eq\r(1－12＋2－122)＝10，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.与圆有关的最值问题[例2]已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：(1)eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．[自主解答](1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆，eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).本例条件不变，求点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．解：∵圆心(2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝eq\f(|6＋12|,5)＝eq\f(18,5)，∴P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为eq\f(18,5)＋eq\r(3)，最小值为eq\f(18,5)－eq\r(3).———————————————————与圆有关的最值问题及解题方法(1)形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题；2形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；3形如x－a2＋y－b2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题.2．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋eq\f(1,2)m2＝0所确定的圆中，最大面积是多少？解：由题意知，r2＝eq\f(1＋m－12－4×\f(1,2)m2,4)＝eq\f(－m2－2m＋2,4)，所以当m＝－1时，req\o\al(2,max)＝eq\f(3,4)，所以Smax＝πr2＝eq\f(3,4)π.与圆有关的轨迹问题[例3]已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[自主解答](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.———————————————————求轨迹方程的一般步骤(1)建系设点：建立平面直角坐标系，设动点坐标为(x，y)；(2)列式：列出几何等式；(3)坐标化：用坐标表示得到方程；(4)化简：化简几何等式得到的方程；(5)证明作答：除去不合题意的点，作答．3．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．解：设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心．由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x0，y0)，则D(2x0－1,2y0)，由重心坐标公式得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－1＋1＋2x0－1,3)，,y＝\f(2y0,3)，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(3x＋1,2)，,y0＝\f(3y,2)y0≠0，))代入x2＋y2＝1，整理得，所求轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,3)))2＋y2＝eq\f(4,9)(y≠0)．1种方法——待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．3个性质——常用到的圆的三个性质在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任意一弦的垂直平分线上；(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.创新交汇——高考中与圆有关的交汇问题1．近年来高考对圆锥曲线的要求相对降低，因此圆的相关问题成了高考命题的一个新热点．圆的性质使其具有很强的交汇性，对圆的考查可以与集合、直线、向量、三角函数、不等式、线性规划等知识交汇命题．2．对于这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用，同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题．[典例](·江苏高考)设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≤x－22＋y2≤m2，x，y∈R))))，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．[解析]由题意知A≠∅，则eq\f(m,2)≤m2，即m≤0或m≥eq\f(1,2).因为A∩B≠∅，则有：(1)当2m＋1<2，即m<eq\f(1,2)时，圆心(2,0)到直线x＋y＝2m＋1的距离为d1＝eq\f(|2－2m－1|,\r(2))≤|m|，化简得2m2－4m＋1≤0，解得1－eq\f(\r(2),2)≤m≤1＋eq\f(\r(2),2)，所以1－eq\f(\r(2),2)≤m≤eq\f(1,2)；(2)当2m≤2≤2m＋1，即eq\f(1,2)≤m≤1时，A∩B≠∅恒成立；(3)当2m>2，即m>1时，圆心(2,0)到直线x＋y＝2m的距离为d2＝eq\f(|2－2m|,\r(2))≤|m|，化简得m2－4m＋2≤0，解得2－eq\r(2)≤m≤2＋eq\r(2)，所以1<m≤2＋eq\r(2).综上可知，满足题意的m的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2＋\r(2))).[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2＋\r(2)))eq\a\vs4\al([名师点评])1．本题有以下创新点(1)考查形式的创新，以集合的形式给出了几何图形，虽然两几何图形常见但不落俗套；(2)考查内容的创新，本题摒弃以往考查直线和圆的位置关系的方式，而是借助于参数考查直线与圆、直线与圆环的位置关系，同时也考查了分类讨论思想．2．解决本题的关键有以下两点(1)弄清集合代表的几何意义；(2)结合直线与圆的位置关系求得m的取值范围．3．解决直线和圆位置关系问题要注意以下几点(1)根据题设条件，合理选择利用代数方法还是几何方法判断其位置关系；(2)凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对位置关系的影响，以便确定是否分类讨论．eq\a\vs4\al([变式训练])1．若直线l：ax＋by＋4＝0(a>0，b>0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为()A．4 B．2C．1 D.eq\f(1,4)解析：选C圆C的圆心坐标为(－4，－1)，则有－4a－b＋4＝0，即4a＋b＝4.所以ab＝eq\f(1,4)(4a·b)≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2＝1.当且仅当a＝eq\f(1,2)，b＝2时取等号．2．如果点P在平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为________．解析：由点P在平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))上，画出点P所在的平面区域．由点Q在圆x2＋(y＋2)2＝1上，画出点Q所在的圆，如图所示．记Q所在曲线的圆心为点M(0，－2)，又(－1,0)为图中的阴影区域的左顶点，(－1,0)与M的连线垂直于阴影区域的下边界．因此，|PQ|的最小值为圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离减去半径1.又圆心(0，－2)到直线x－2y＋1＝0的距离为eq\f(|0－2×－2＋1|,\r(12＋22))＝eq\r(5)，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为eq\r(5)－1.答案：eq\r(5)－1一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．若直线2x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0的相切，则a的值为()A．±eq\r(5) B．±5C．3 D．±3解析：选B圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，因为直线与圆相切，所以eq\f(|a|,\r(5))＝eq\r(5)，即a＝±5.2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是()A．8 B．－4C．6 D．无法确定解析：选C因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，所以直线x－y＋3＝0过圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，从而－eq\f(m,2)＋3＝0，即m＝6.3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A．π B．4πC．8π D．9π解析：选B设P(x，y)，由题意知有，(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π.4．(·广州模拟)若圆心在x轴上，半径为eq\r(5)的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是()A．(x－eq\r(5))2＋y2＝5 B．(x＋eq\r(5))2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5解析：选D设圆心为(a,0)(a<0)，则r＝eq\f(|a＋2×0|,\r(12＋22))＝eq\r(5)，解得a＝－5，所以，圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.5．实数x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，则(x－1)2＋(y－1)2的最大值为()A．30＋2eq\r(26) B．30＋4eq\r(26)C．30＋2eq\r(13) D．30＋4eq\r(13)解析：选B(x－1)2＋(y－1)2表示圆x2＋(y＋4)2＝4上动点(x，y)到点(1,1)距离d的平方，因为eq\r(26)－2≤d≤eq\r(26)＋2，所以最大值为(eq\r(26)＋2)2＝30＋4eq\r(26).6．圆心在抛物线y2＝2x(y>0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是()A．x2＋y2－x－2y－eq\f(1,4)＝0B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0C．x2＋y2－x－2y＋1＝0D．x2＋y2－x－2y＋eq\f(1,4)＝0解析：选D抛物线y2＝2x(y>0)的准线为x＝－eq\f(1,2)，圆与抛物线的准线及x轴都相切，则圆心在直线y＝x＋eq\f(1,2)(y>0)上，与y2＝2x(y>0)，联立可得圆心的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，半径为1，则方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋(y－1)2＝1，化简得x2＋y2－x－2y＋eq\f(1,4)＝0.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(·开封模拟)若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是________．解析：由圆的几何性质知kPQkOM＝－1.∵kOM＝2，∴kPQ＝－eq\f(1,2)，故直线PQ的方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.答案：x＋2y－5＝08．(·金华十校联考)已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，且AB＝eq\r(3)，则该圆的标准方程是________．解析：依题可设⊙C：(x－1)2＋(y－b)2＝1(b>0)，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋b2＝1，可解得b＝eq\f(1,2)，所以⊙C的标准方程为(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝1.答案：(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝19．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\r(x－x02＋y－y02)<r))⊆A，则称A为一个开集，给出下列集合：①eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|x2＋y2＝1))；②eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|x＋y＋2>0))；③eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y||x＋y|≤6))；④eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|0<x2＋y－\r(2)2<1)).其中是开集的是________(请写出所有符合条件的序号)．解析：集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\r(x－x02＋y－y02)<r))表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．答案：②④三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程．解：因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－eq\f(1,\f(1,6))＝－6，其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－eq\f(5,2)＝－eq\f(5,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(13,2)))，即5x＋7y－50＝0上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－6x＋23，,5x＋7y－50＝0，))解得圆心为(3,5)，所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝eq\r(37)，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.11．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq\r(10).(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解：(1)∵直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)则由P在CD上得a＋b－3＝0.①又∵直径|CD|＝4eq\r(10)，∴|PA|＝2eq\r(10).∴(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2.))∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.12．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－eq\r(3)y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求·的取值范围．解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－eq\r(3)y＝4的距离，即r＝eq\f(|－4|,\r(1＋3))＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)，则|PA|，|PO|，|PB|成等比数列得，eq\r(x＋22＋y2)·eq\r(x－22＋y2)＝x2＋y2，即x2－y2＝2.·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)，由于点P在圆O内，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2<4，,x2－y2＝2，))由此得y2<1，所以·的取值范围为[－2,0)．1．一动