高中数 第二章 2.4 2.4.1 NO.2 平面向量数量积的物理背景及其含义课下检测 新人教A版必修4

【创新方案】版高中数学第二章2.42.4.1NO.2平面向量数量积的物理背景及其含义课下检测新人教A版必修4一、选择题1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝eq\r(7)，则a与b的夹角θ为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,6)解析：∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a∴a·b＝－eq\f(3,2)，cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3).答案：B2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则kA．－6 B．6C．3 D．－3解析：∵c·d＝0，∴(2a＋3b)·(ka－4b∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2∴2k＝12，∴k＝6.答案：B3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于()A.eq\f(4,9) B.eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(4,9)解析：∵AM＝1，且＝2，∴||＝eq\f(2,3).如图，·(＋)＝·2＝·＝＝(eq\f(2,3))2＝eq\f(4,9).答案：A4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(\r(3),2)解析：∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，∴a与c的夹角为60°.又|a－c|＝eq\r(a2－2a·c＋c2)＝eq\r(1－|c|＋|c|2)＝eq\r(|c|－\f(1,2)2＋\f(3,4))故|a－c|min＝eq\f(\r(3),2).答案：D二、填空题5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．解析：＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，于是|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，即·＝0，从而AB⊥AC.答案：直角三角形6．已知|a|＝6，a与b的夹角为eq\f(π,3)，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72.则|b|＝________.解析：由已知，a2－a·b－6b2＝－72，∴|a|2－|a||b|coseq\f(π,3)－6|b|2＝－72，即2|b|2＋|b|－36＝0.∴(2|b|＋9)(|b|－4)＝0.∵|b|≥0，∴|b|＝4.答案：47．在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M满足＝2，则·＝________.解析：∵＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)(－)＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)，又C＝90°，·＝0，∴·＝(eq\f(2,3)＋eq\f(1,3))·＝eq\f(1,3)＝3.答案：38．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则eq\f(|a|,|b|)＝________.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，∴|a＋2b|＝eq\r(a2＋4b2)，|a－2b|＝eq\r(a2＋4b2).∴cos120°＝eq\f(a＋2b·a－2b,|a＋2b||a－2b|)＝eq\f(a2－4b2,\r(a2＋4b2)2)＝eq\f(a2－4b2,a2＋4b2)＝－eq\f(1,2).∴eq\f(a2,b2)＝eq\f(4,3).∴eq\f(|a|,|b|)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)三、解答题9．已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,2)，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2).(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝eq\f(1,2)，|a|＝1，∴b2＝a2－eq\f(1,2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，∴|b|＝eq\f(\r(2),2).∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2),1×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(π,4)，故a与b的夹角为eq\f(π,4).(2)|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\f(\r(10),2).10．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在满足条件的θ，∵|a＋b|＝eq\r(3)|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|∴|a|2－4a·b＋|b|2∴|a|2－4|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ>0，,Δ＝4|b|cosθ2－4|b|2≥0，))解得cosθ∈[eq\f(1,2)，1]．又∵θ∈[0，