高中数 第二章 2.4 2.4.2 NO.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课下检测 新人教A版必修4

【创新方案】版高中数学第二章2.42.4.2NO.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课下检测新人教A版必修4一、选择题1．(·辽宁高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝()A．－1 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．1解析：由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1.答案：D2．已知点A(－1,0)、B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数k的值为()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：＝(2,3)，a＝(2k－1,2)，由⊥a得2×(2k－1)＋6＝0，解得k＝－1.答案：B3．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是()A．(－3,0) B．(2,0)C．(3,0) D．(4,0)解析：设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，·最小，此时P(3,0)．答案：C4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于()A．6 B．8C．－8 D．－6解析：如图，＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，则·＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8.答案：B二、填空题5．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与－b垂直，则实数x的值为________．解析：∵向量a＋xb与－b垂直，∴(a＋xb)·(－b)＝－a·b－xb2＝－2－5x＝0，∴x＝－eq\f(2,5).答案：－eq\f(2,5)6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝eq\r(2)，则|·n|的最大值为________．解析：＝(2,2)，||＝2eq\r(2)，|·n|≤|||n|＝4，当且仅当与n共线且同向时取等号．答案：47．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为________．解析：＝－＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而·＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以⊥，又||≠||，所以△ABC是直角非等腰三角形．答案：直角三角形8．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转eq\f(π,4)得到向量b，则向量b的坐标为________．解析：设b＝(x，y)，由已知条件得|a|＝|b|，a·b＝|a||b|cos45°.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,2x＋y＝\r(5)×\r(5)×\f(\r(2),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(3\r(2),2)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3\r(2),2)，,y＝－\f(\r(2),2).))∵向量a按逆时针旋转eq\f(π,4)后，向量对应的点在第一象限，∴x>0，y>0，∴b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2)))三、解答题9．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.(1)求证：AB⊥AC；(2)求向量；(3)求证：AD2＝BD·CD.解：(1)∵＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)，·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB⊥AC.(2)＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)．设＝λ＝(5λ，5λ)则＝＋＝(－3，－6)＋(5λ，5λ)＝(5λ－3,5λ－6)，由AD⊥BC得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，解得λ＝eq\f(9,10)，∴＝(eq\f(3,2)，－eq\f(3,2))．(3)证明：＝eq\f(9,4)＋eq\f(9,4)＝eq\f(9,2)，||＝eq\r(50λ2)＝eq\f(9\r(2),2)，||＝5eq\r(2)，||＝||－||＝eq\f(\r(2),2).∴||2＝||·||，即AD2＝BD·CD.10．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．(1)当·取最小值时，求的坐标；(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，∴向量与共线，又＝(2,1)．∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，∴＝(1－2y,7－y)．同理＝－＝(5－2y,1－y)．于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.可知当y＝eq\f(20,2×5)＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．(2)当＝(4,2)，即y＝2时，有＝(－3,5)，