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文档简介

微分法应用——

几何应用一

、

空间曲线的切线与法平面1

、设空间曲线L的方程

(1)式中的三个函数均可导,且导数不同时为零.割线的极限位置处的切线.将上式分母同除以△t,得切线方程为称为曲线在方程为割线法平面:过点且与切线垂直的平面.法平面方程为切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量.

=3切线方程法平面方程解特殊地:1.空间曲线方程为取x为参数,

曲线的参数方程为切线向量为切线方程为法平面方程为在L上,若F,G有连续偏导,且则方程组可确定函数将方程组两边对x求导,可解出

切线方程为法平面方程为2.空间曲线方程为

在L上,若F,G有连续偏导,且则方程组可确定函数将方程组两边对y求导,可解出

切线方程为法平面方程为空间曲线方程为

所求切线方程为法平面方程为解将所给方程的两边对x求导,得将点

2代入,解出解:将方程的两边对x求导,得 点代入,得所求切线方程为法平面方程为例3

不全为零.则曲线在

处的切线方程

:二、空间曲面的切平面与法线1.设曲面方程为 在曲面上,F在且不全为零.在曲面上任取一条通过点MO

的曲线,方程为t=

对应点

且处有一阶连续偏导,下面证明

:曲面上过

的任一

曲线在

处的切线在同一平面上,该平面称为曲面在

处的切平面.由曲线

在曲面上知

即

两边对t求全导得

:令则切平面方程为垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.曲面在处的法向量即法线方程为特殊地:空间曲面方程形为曲面在处的切平面方程为曲面在处的法线方程为曲面在

处的法向量为令其中切平面方程为法线方程为设

则解解令

2=2=2切平面方程法线

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