浦东高三数学试题及答案(理科)

PAGE—PAGE4—浦东新区2011学年度第一学期期末质量抽测高三数学（理科）试卷2012.01注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知函数的反函数为，则_____.2．椭圆的焦点坐标为____________.3．方向向量为，且过点的直线的方程是______.4．若，则实数的取值范围是.5．某个线性方程组的增广矩阵是，此方程组的解记为，则行列式的值是_.6．某校师生共1200人，其中学生1000人，教师200人。为了调查师生的健康状况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，应抽取学生人数为.7．若的二项展开式中的系数为，则实数____________.8．已知向量，，若，则______.9．从集合中随机选取一个数，从中随机选一个数，则的概率为_____.10．已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为.第11题图11．已知正三棱锥的底面边长为1，且侧棱与底面所成的角为，则此三棱锥的体积为.第11题图12．已知函数，当时，记的最大值为，最小值为，则______.13．函数的最小正周期为__________.14．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①、；②对于的任意子集、，当且时，有；③对于的任意子集、，当且时，有；则称是集合的一个“—集合类”.例如：是集合的一个“—集合类”。已知集合，则所有含的“—集合类”的个数为.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．“”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件16．是空间三条不同的直线，下列命题正确是（） A.， B.， C.， D.共面17．动点从点出发，在单位圆上逆时针旋转角，到点，已知角的始边在x轴的正半轴，顶点为，且终边与角的终边关于轴对称，则下面结论正确的是（） A.B.C.D.18．已知共有项的数列，，定义向量、，若，则满足条件的数列的个数为（） A.2 B. C. D.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）设复数满足，且(是虚数单位)在复平面上对应的点在直线上，求.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体。分别为的中点，为弧的中点，为弧的中点.（1）求这个几何体的表面积；（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，（1）当时，求的值；.14．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①、；②对于的任意子集、，当且时，有；③对于的任意子集、，当且时，有；则称是集合的一个“—集合类”.例如：是集合的一个“—集合类”。已知集合，则所有含的“—集合类”的个数为12.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．“”是“”的（A）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件16．是空间三条不同的直线，下列命题正确是（C） A.， B.， C.， D.共面17．动点从点出发，在单位圆上逆时针旋转角，到点，已知角的始边在x轴的正半轴，顶点为，且终边与角的终边关于轴对称，则下面结论正确的是（D） A.B.C.D.18．已知共有项的数列，，定义向量、，若，则满足条件的数列的个数为（C） A.2 B. C. D.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）设复数满足，且(是虚数单位)在复平面上对应的点在直线上，求.解：设（），…………1分∵，∴，……………………3分而，………………6分又∵在复平面上对应的点在直线上，∴，……………………8分即，∴或；…………10分即.…………12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体。分别为的中点，为弧的中点，为弧的中点.（1）求这个几何体的表面积；（2）求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.解：（1）；…………6分（2）连结、、，则，所以或其补角为异面直线与所成的角.……9分在中，，，………………12分因为，所以.所以，异面直线与所成的角的大小为.……14分21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.的三个内角、、所对的边分别为、、，已知，，（1）当时，求的值；（2）设，求函数的值域.解：（1），……………2分，；……6分（2）由，得，………………7分………………9分，……11分,，∴,……12分∴的值域为.………………14分22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.设满足条件的数列组成的集合为，而满足条件的数列组成的集合为.（1）判断数列和数列是否为集合或中的元素？（2）已知数列，研究是否为集合或中的元素；若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由.（3）已知，若为集合中的元素，求满足不等式的的值组成的集合.解：（1），∴∴为集合中的元素，即.………2分，∴∴为集合中的元素，即.………4分（2），当时，对恒成立，此时，；…………7分当时，令，，；设为不超过的最大整数，令，，，此时，，.…………10分（3），令，，即；当时，，于是，当时，，于是；………………13分∵，，，，，，∴有和项，共82项.……16分23.（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.如图所示，在平面直角坐标系上放置一个边长为的正方形，此正方形沿轴滚动(向左或向右均可)，滚动开始时，点位于原点处,设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系是，该函数相邻两个零点之间的距离为.（1）写出的值并求出当时，点运动路径的长度；（2）写出函数的表达式；研究该函数的性质并填写下面表格：函数性质结论奇偶性单调性递增区间递减区间零点（3）试讨论方程在区间上根的个数及相应实数的取值范围.解：（1），…………2分；……4分（2）；……7分函数性质结论奇偶性偶函数单调性递增区间，递减区间，零点，…………10分（3）（i）易知直线恒过原点；当直线过点时，，此时点到直线的距离为，直线与曲线相切，当时，恒在曲线之上，（ii）当直线与曲线相切时，由点到直线的距离为，，此时点到直线的距离为，直线与曲线相离；（iii）当直线与曲线相切时，由点到直线的距离为，，此时点到直线的距离为，直线与曲线相交于两个点；（ⅳ）当直线过点时，，此时点到直线的距离为，直线与曲线相交于两个点；