高中数学第2讲参数方程第8课时渐开线与摆线课件新人教A版选修4-4

第8课时渐开线与摆线1．圆的渐开线把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切，绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，相应的定圆称为渐开线的基圆．圆的渐开线的参数方程__________________(φ是参数)．2．摆线的参数方程________________(φ是参数)．1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是(

)A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同【答案】C【解析】不仅圆有摆线，其他图形如：椭圆、正方形都有渐开线；渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但实质上完全不一样，所以图形也不同；对于同一个圆不管在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么它的横坐标可能是(

)A．π

B．2π

C．12π

D．14π【答案】C【解析】将y＝0代入摆线的参数方程得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，而x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z).故选C．

圆的渐开线的参数方程

圆的渐开线的参数方程

由于渐开线的参数方程较为复杂，所以在计算时需仔细．

由于渐开线的参数方程较为复杂，所以在计算时需仔细．【例2】已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，写出该摆线的参数方程．【解题探究】只需求出圆的半径，即可知道摆线的参数方程，即摆线的参数方程由圆的半径唯一确定．可先把点(1,0)代入参数方程中求出半径r，再代入参数方程中求出方程的表达式．

圆的摆线的参数方程

本题易错点是误把点(1,0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x和y的值；或者在求出cosφ＝1后，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面．2．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程．【解题探究】巧妙地利用点A在圆的渐开线上是本题的关键．通过参数方程求轨迹方程

利用已知参数方程求动点的轨迹方程较为简单．【解析】关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换．所以要写出摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换．在圆的渐开线和摆线的参数方程中，r是指圆的半径，φ是相应的参数值，在解题过程中，当给足r和φ值时，代入相应的参数方程，可求出点的坐标方程．Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏【解析】关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换．所以要写出摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换．【解析】不仅圆有摆线，其他图形如：椭圆、正方形都有渐开线；渐