三年（2022–2024）高考数学真题分类汇编（全国）专题03 导数及其应用（原卷版）

专题03导数及其应用考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：切线问题2024年全国甲卷（理）、2023年全国甲卷（文）2024年全国Ⅰ卷、2022年全国II卷2022年全国I卷高考对导数及其应用的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．考点2：单调性、极最值问题2023年全国乙卷（文）2022年全国乙卷（理）2023年北京卷2024年全国Ⅰ卷、2024年全国Ⅱ卷2023年全国Ⅱ卷、2023年全国Ⅱ卷2022年全国乙卷（文）考点3：比较大小问题2022年全国甲卷（文）2022年全国甲卷（理）2022年全国I卷、2024年北京卷2024年天津卷2023年全国甲卷（文）、2023年天津卷考点4：恒成立与有解问题2024年新课标全国Ⅱ卷2023年全国甲卷（文）、2023年全国甲卷（理）2024年全国甲卷（理）、2024年全国Ⅰ卷考点5：极最值问题2023年全国乙卷（理）2023年北京卷2024年全国Ⅱ卷考点6：证明不等式2024年全国甲卷（文）、2023年天津卷2023年全国Ⅰ卷、2023年全国Ⅱ卷2022年全国II卷考点7：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）2022年全国甲卷（理）2022年北京卷、2022年天津卷2022年浙江卷、2024年天津卷考点8：零点问题2024年全国Ⅱ卷2023年全国乙卷（文）、2024年天津卷2024年全国甲卷（文）2023年天津卷、2022年天津卷2024年北京卷2022年全国乙卷（文）、2022年全国甲卷（文）2022年全国乙卷（理）、2022年全国I卷

考点1：切线问题1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.4．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为，．5．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．考点2：单调性、极最值问题6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是．8．（2023年北京高考数学真题）设，函数，给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，则；④设．若存在最小值，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．9．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，10．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，则（

）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心11．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则（

）．A． B． C． D．12．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．13．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（

）A． B． C． D．考点3：比较大小问题14．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（

）A． B． C． D．15．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（

）A． B． C． D．16．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（

）A． B． C． D．17．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C． D．18．（2024年天津高考数学真题）若，则的大小关系为（

）A． B． C． D．19．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．20．（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．考点4：恒成立与有解问题21．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．122．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．23．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．24．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．25．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数(1)若，且，求的最小值；(2)证明：曲线是中心对称图形；(3)若当且仅当，求的取值范围．考点5：极最值问题26．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.27．（2023年北京高考数学真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．28．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．考点6：证明不等式29．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，证明：当时，恒成立．30．（2023年天津高考数学真题）已知函数．(1)求曲线在处的切线斜率；(2)求证：当时，；(3)证明：．31．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．32．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．33．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．考点7：双变量问题（极值点偏移、拐点偏移）34．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数．(1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则．35．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．36．（2022年新高考天津数学高考真题）已知，函数(1)求函数在处的切线方程；(2)若和有公共点，（i）当时，求的取值范围；（ii）求证：．37．（2022年新高考浙江数学高考真题）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）38．（2024年天津高考数学真题）设函数．(1)求图象上点处的切线方程；(2)若在时恒成立，求的值；(3)若，证明．考点8：零点问题39．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A． B． C．1 D．240．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．41．（2024年天津高考数学真题）若函数恰有一个零点，则的取值范围为．42．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为．43．（2023年天津高考数学真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为．44．（2022年新高考天津数学高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为.45．（2024年北京高考数学真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．(1)当时，求的单调区间.(2)求证：不经过点.(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，，）46．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．47．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数