人教版数学九年级下册第二十六章反比函数教学设计学案

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、理解反比例函数的定义；

2、用待定系数法确定反比例函数的表达式；

3、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质;

【重点难点】

1、用待定系数法确定反比例函数的表达式；

2、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质;

知识概览图

「反比例函数的定义

Y

反比例函受〜

反比例函数的图象与性质

新课导引

【生活链接】学校课外生物小组的同学准备自己动手，用围---------栏建一个面积为

24m2的矩形饲养场（如右图所示），设它的一边长为x（m）,求-21m另一边长,（m）与

x（m）之间的函数关系式.

【问题探究】这个函数有什么特点？自变量的取值有什么限制？

教材精华

知识点1反比例函数的定义重点;理解

一般地，形如y=K（k为常数,女工0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量,y是函数，自变量x

X

的取值范围是不等于0的一切实数,y的取值范围也是不等于0的一切实数次叫做比例系数，另外，反

比例函数的关系式也可写成y=kxi的形式.

y是x的反比例函数oy=K（kWO）o肛=女（后0）o变量y与x成反比例，比例系数为4.

拓展(1)在反比例函数y=±(kWO)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式，也就是说,

X

132

分母不能是多项式,只能是x的一次单项式，如y=J等都是反比例函数，但丫=上就不是关

x-1Xx+1

2

于x的反比例函数.

(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此可以写成y=kx'或xy=k

的形式.

(3)反比例函数中，两个变量成反比例关系.

知识点2用待定系数法确定反比例函数的表达式难点:运用

由于反比例函数)，=七中只有一个待定系数，因此只要有一对对应的值，或已知其图象上

X

一点坐标，即可求出k,从而确定反比例函数的表达式.

其一般步骤：

⑴设反比例函数关系式y=々kWO).

X

(2)把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式，得出关于左的方程.

(3)解方程，求出待定系数攵的值.

(4)将待定系数k的值代回所设的关系式，即得所求的反比例函数关系式.

知识点3反比例函数图象的画法难点;运用

反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下：

(1)列表：自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算y

的值.

(2)描点:先描出一侧，另一侧可根据中心对称的性质去找.

(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点，双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有

逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.

说明：在图象上注明函数的关系式.

拓展(1)反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的两个分支是断开的.

(2)当左＞0时,两个分支位于第一、三象限；当后＜0时，两个分支位于第二、四象限.

(3)反比例函数y=(k(kWO)的图象的两个分支关于原点对称.

x

(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永

远不与坐标轴相交，这是因为xWO,

知识点4反比例函数y=&(kWO)的性质难点；灵活应用

X

(1)如图172所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数y=&攵＞0时，两支曲线分别位

X

于第一、三象限内；当左vo时，两支曲线分别位于第二、四象限内。它们关于原点对称，限图象

是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.

(2)由反比例函数y=K的图象可知，当人＞0时，在每一象限内，y值随x的增大而减小；当

X

攵V0时，在每一象限内，y值随X的增大而增大.

(3)因为xWO,所以图象与y轴不可能有交点，国此，不论x取值何值时，y的值永不为0,

同理，图象与x轴也不可能有交点.

拓展(1)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数&的符号决定的，反过来,

由双曲线所在的位置或函数的增减性，也可以判断出女的符号.

(2)反比例函数的增减性，只能在每个象限内讨论，当火＞0时，在每一象限(第一、三象限)y

随着龙的增大而减小，但不能笼统地说：当Z＞0,y随着MV0时，也不能笼统地说：y随x的增

大而增大.

【规律方法小结】正比例函数与反比例函数的区别与联系.

函数正比例函数反比例函数

k

关系式尸kx(kWO)y=—(kWO)

X

图象过原点的直线与坐标轴没有交点的双曲线

自变量的

全体实数的全体实数

取值范围

当4>0时，图象经过第一、三象

限当A>0时，图象在第一、三象限

图象位置

当A<0时，图象经过第二、四象当A<0时，图象在第二、四象限

限

当4>0时，在每一象限内，y随

当A>0时，y随x的增大而增大X的增大而减小

性质

当AVO时，y随x的增大而减小当A<0时，在每一象限内，y随

X的增大而增大

知识点5反比例函数表达式中々的几何意义拓展；理解

如图173所示，过双曲线y="上的任意一点P(x,y)作九轴、y''轴的垂线

PM,PN,垂足分别为M,N,所得矩形PMON的面积二一

S=PM•PN=\y\•\x\=\xy\.

因为y=K,所以xy=k,所以S=|xy|=k|.

x

即过双曲线上任意一点作X轴、>轴的垂线，所得矩形的面积为因.

已知反比例函数可求矩形面积，反之，已知矩形面积可求反比例函数.

课堂检测

基础知识应用题

1、若变量y与X成正比例变量X与Z成反比例，则()

A.y与z成反比例函数关系B.y与z成正比例函数关系

C.y与z2成正比例函数关系D.y与z?成反比例函数关系

2、已知反比例函数的图象经过点(2,4),则它的表达式是.

综合应用题

3、已知正比例函数丫=1«<和反比例函数)，=士的图象都过点A(m,1).求此正比例函数的关系式

x

及另一个交点的坐标.

探索创新题

4、一定质量的氧气，它的密度P(kg/n?)是它的体积V(n?)的反比例函数，当V=10时，P=1.43.

(1)求P与V的函数关系式；

⑵求当V=2时，氧气的密度P.

体验中考

1、点P(1,3)在反比例函数y=*k(kWO)的图象上，则k的值是()

X

A.-B.3C.--

33

2、已知正比例函数丫=1«的图象与反比例函数>='上(k为常数)的图象有一个交点，交点

x

的横坐标是2.

(1)求两个函数图象的交点坐标；

(2)若点A(xi,yi),B(X2,y2)是反比例函数y=生上图象上两点，且xi<yi,试比较y”

X

y2的大小.

学后反思

【解题方法小结】

1)求反比例函数解析式的一般方法是待定系数法.由于解析式中只有一个系数k,故只需给出

一对x,y的对应值或一个点的坐标即可.

(2)从函数y=£k(k#O)的图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与与两坐标轴构成的矩形的

x

面积均为|k|,一条垂线段与坐标轴及该点与原点的连线构成的直角三角形的面积为工伙|.

2

附：课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、A分析本题意在考查对反比例函数的理解和灵活运用，由题竟可设产%x3W0),x=k伏2

Z

W0),把x=4代入产如c中，得产修•勺=他■.因为A1W0,依W0,所以攵怖2W0,所以丁=她

ZZZZ

是反反函数.

【解题策略】要注意正比例函数的比例系数和反比例函数的比例系数不一定是同一个.

2、y=-§分析反比例函数y=七中的k等于其图象上某一点的横、纵坐标的积，设反比例

XX

函数的表达式为丁=人,函数图象过点(2,4),所以4=上，所以仁8,所以函数表达式为y=-色.

x-2x

3、分析点A的坐标(m,l)同时满足函数y=kx和y=3,所以可以求出m的值，进而求出A

X

点坐标，将其代入丫=1«中求得k,再令两个关系式相等，从而求得另一个交点的坐标.

解：因为y=三的图象经过点A(m,1),则1=一，

xm

所以m=3.

把A(3,l)代入y=kx中，得l=3k,所以％=；.

所以正比例函数关系式为y=gx.

y，

由,3X=±3.

3

y一,

X

当x=3时，y=l；当x=3时，y=l.

所以另一个交点的坐标为(3,1).

【解题策略】确定解析式的方法是待定系数法，由于正比例函数丫=1«只有一个待定系数,

因此只需要一对对应值即可.

4、分析设P=[,代入数值，求出k,再代入V=2,即可求P.

解：(1)设P=[(kWO),

当V=10时，P=L43,所以1.43=幺，所以k=14.3.

10

所以P与V之间的函数关系式是P=呼•

143

⑵当V=2时，p=-^=7.15.

3

【解题策略】了解密度与体积的关系是解决此题的关键.

体验中考

k

1、B.分析把x=l,y=3代入y=—,k=3.故选B.

x

2、分析求两图象交点坐标的实质是解两函数的解析式组成的方程组，根据函数性质可比较

当X1VX2,时的函数值的大小.

解：(1)由题意，得2氏=生2，解得k=l,

2

所以正比例函数的表达式为y=x,

反比例函数的表达式为旷=a.

X

解x=3,得*=±2.代入y=x,得丫=±2.

x

所以两函数图象的交点坐标为(2,2),(2,2).

(2)因为反比例函数丁=&的图象在第一、三象限内，在每一象限内，y的值随x值的增大而

x

减小，所以当xiVx2Vo时，yi<y2.

当0Vxi〈X2时,yi>y2.

44

当xi〈o<x2时，因为y=—<0,%=—>°，所以yi〈y2.

X]x2

【解题策略】本题考查正比例函数与反比例函数的解析式及其性质，注意对XI,X2要分类

讨论.

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、理解反比例函数的定义；

2、用待定系数法确定反比例函数的表达式；

3、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；

【重点难点】

1、用待定系数法确定反比例函数的表达式；

2、反比例函数的图象画法，反比例函数的性质；

知识概览图

「（1）解决问题时常用待定系数法

实际问题与反比例（函数（2）考查函数图象及其性质、考查读图能力,

使我们能从函数图象上得到有价值的信息

新课导引

【生活链接】在压力不变的情况下，某物体承受的压强p(Pa)是受

力面积S（机2）的反比例函数，其图象如右图所示.

【问题探究】这个反毙命函数应如何表示？

教材精华

知识点反比例函数在实际问题中的应用难点；应用

应用反比例函数解决实际问题，我们应抽象概括它的本质特征，将其数学化、形式化，形成数

学模型.例如池路程一定时，时间与速度成反比.根据已知条件写出反比例函数的关系式，并能把实

际问题反映在函数的图象上，结合图象和性质解决实际.因此利用反比例函数解决实际问题的关键

是求出函数的关系式.一般地，建立反比例函数关系式有以下两种方法：

（1）待定数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设出反比例函数关系式

为y=（（kWO）,然后求出人的值即可.

X

（2）列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于

函数（））和自变量（x）的二元一次方程，进而解出函数，便得到函数关系式.

S一定时，时间r与速度V成反比例关系，可以写成f=£（S是常数）；当矩形面积S一定时,

长。与宽〃成反比例关系，写成（S的常数）；当面积是常数S时，三角形的底边长y与这

b

一底上的高x成反比例关系，写成＞=至（S是常数）.

在物理学上，当功是常数W时，力/与物体在力的方向上通过的位移s成反比例关系，写成尸士

S

（W的常数）；当压力F一定时，压强〃与受力面积S之间成反比例关系，写成〃=（（尸为常数）;

在某一电路中，保持电压U不变，，电流/与电阻R成反比例关系，写成/="（U的常数）.

k

在利用反比例函数解决实际问题时，一定要注意y=q中Z为常数且ZWO这一条件，结合图象

说出性质，根据性质大致画出图象及求函数的表达式.

知识拓展在利用反比例函数解决实际问题时，要根据题目中的实际意义，找到基本的函数关

系，再根据需要进行变形或计算.

课堂检测

基础知识应用题

1、一定质量的二氧化碳，当它的体积V=10m3时，它的密度。3.

（1）求。与丫的函数关系式；

（2）求当V=5加时二氧化碳的密度。.

综合应用题

100

80

2、你吃过拉面吗？实际上，在做拉面的过程中就渗透着数60学知识，一定

40

20

5S/mn?

图17-24

体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面面积）S（mm2）的反比例函数,

其图象如1724所示.

（1）写出y与S的函数关系式；

2时，求面条的总彻底是多少.

3、消费者对于取消市场上使用杆秤的呼声越来越高，原因在于一些不法商贩在卖货时将秤蛇

挖空，或更换小秤蛇，使秤蛇较轻，从而欺骗顾客.

（1）如图1725所示，对于同一个物体，哪个用的是标准秤坨，哪个用的是较轻的秤坨？

图17-25

（2）写出在称同一物体时，所称得的物体质量y（千克）与所用秤坨质量x（千克）之间满足

的关系；

（3）当秤花较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？

探索创新题

4、小伟欲用撬棍手书撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿0.5米.

（1）动力/和动力臂/有怎样的函数关系式？当动力臂为0.5米时，撬动石头至少需要多大的

力？

（2）若想使动力厂不超过（1）中手忙脚乱力的一半，则动力臂至少要加长多少？

体验中考

1、水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适销售价格，进行了8天试销，试销情况如

下表:

第1第2第8

第3天第4天第5天第6天第7天

天天天

售价x/

（元/千400250240200150125120

克）

销售量F

304048608096100

千克

观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y（千克）与销售价格x

（元/千克）之间的关系.现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格尤（元

/千克）之间都江堰市满足这一关系.

（1）写出这个反比例函数的解析式，并实例表格；

（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个

价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？

（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全

部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高

不超过每千克多少元才能完成销售任务？

学后反思

【解题方法小结】

（1）深刻理解反比例函数的定义及认真观察总结生活中的数学知识是解决实际问题的关键.

（2）解决跨学科的综合题目，要准确领会相关学科的知识.

附：课堂检测及体验中考答案

课堂检测

1、分析由物理知识可知，质量〃?、体积V、密度。之间的关系为夕=£,所以求。与V之

间的函数关系式，只需确定根的值即可.

解：（1）将V=10,,得机X10=39.6,

V

所以0与V的函数关系式为2=些.

（2）当V=5时，夕=芍=7.92（kg/n?）.

2、分析解答此题是关键是正确运用所给条件确定反比例函数的关系式，运用图象信息求函

数关系式，点P（4,32）在函数图象上，运用待定系数法求出％值即可.

k

解：（1）设y与S的函数关系式为丁=一，由图象可知，池S=4时，产32,

S

所以k=4X32=128,所以y与S的函数关系式为丁=噂.

102

（2）当W时，y=—=so（m）,所以面条的总长度为80m.

1.6

【解题策略】首先用待定系数法求出后（有时可根据题意来设）的值，然后根据关系式确定

其他的值.

3、解：（1）根据物理中的杠杆原理可知，对于