大二轮高考总复习文数自检12直线与圆

自检12：直线与圆A组高考真题集中训练直线方程1．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A．(0,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,y＝ax＋b))消去x，得y＝eq\f(a＋b,a＋1)，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)，0))，结合图形知eq\f(1,2)×eq\f(a＋b,a＋1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))＝eq\f(1,2)，化简得(a＋b)2＝a(a＋1)，则a＝eq\f(b2,1－2b).∵a＞0，∴eq\f(b2,1－2b)＞0，解得b＜eq\f(1,2).考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－eq\f(\r(2),2)，故选B．答案：B2．(2013·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝eq\f(\r(3),3)(x－1)或y＝－eq\f(\r(3),3)(x－1)C．y＝eq\r(3)(x－1)或y＝－eq\r(3)(x－1)D．y＝eq\f(\r(2),2)(x－1)或y＝－eq\f(\r(2),2)(x－1)解析：法一：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由BB1∥AA1可知eq\f(|BB1|,|AA1|)＝eq\f(|MB|,|MA|)，即eq\f(m,3m)＝eq\f(|MB|,|MB|＋4m)，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选C项．法二：由|AF|＝3|BF|可知eq\o(AF,\s\up6(→))＝3eq\o(FB,\s\up6(→))，易知F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x0，y0)，则(1－x1，－y1)＝3(x0－1，y0)从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)．因为点A，B都在抛物线上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝4x1,y\o\al(2,0)＝4x0))解得x0＝eq\f(1,3)，y0＝±eq\f(2\r(3),3)，所以kl＝eq\f(y0－0,x0－1)＝±eq\r(3).答案：C直线与圆的方程1．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，eq\r(3))，C(2，eq\r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A．eq\f(5,3) B．eq\f(\r(21),3)C．eq\f(2\r(5),3) D．eq\f(4,3)解析：在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝eq\f(2,3)|AD|＝eq\f(2\r(3),3)，从而|OE|＝eq\r(|OA|2＋|AE|2)＝eq\r(1＋\f(4,3))＝eq\f(\r(21),3)，故选B．答案：B2．(2016·全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C．eq\r(3) D．2解析：因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3).答案：A3．(2016·全国甲卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则圆C的面积为________．解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝eq\r(a2＋2)，因为|AB|＝2eq\r(3)，点C到直线y＝x＋2a，即x－y＋2a＝0的距离d＝eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))＝eq\f(|a|,\r(2))，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a|,\r(2))))2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.答案：4π4．(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.解析：作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1.S6＝6S△OAB＝6×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)5．(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为__________________．解析：由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝eq\r(3)，所以点C的纵坐标为eq\r(3).所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝1.答案：(x＋1)2＋(y－eq\r(3))2＝16．(2016·全国丙卷)已知直线l：x－eq\r(3)y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.解析：如图所示，∵直线AB的方程为x－eq\r(3)y＋6＝0，∴kAB＝eq\f(\r(3),3)，∴∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.在Rt△BOD中，∵|OB|＝2eq\r(3)，∴|OD|＝2.取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，∴OH为直角梯形ABDC的中位线，∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.答案：4B组高考对接限时训练(十二)(时间：35分钟满分70分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．1．(2017·郑州质量预测)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：∵ax＋y＋1＝0与(a＋2)x－3y－2＝0垂直，∴a(a＋2)－3＝0，∴a＝1或a＝－3.∴“a＝1”是两直线垂直的充分不必要条件．答案：B2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,x＋y＝2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1))即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.答案：B3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2解析：设P(x，y)，则由题意知，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)、半径为1，∵PA是圆的切线，且|PA|＝1，∴|PC|＝eq\r(2)，即(x－1)2＋y2＝2，∴P点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：D4．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()A．eq\f(\r(6),2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,4) D．2eq\r(3)解析：由两圆外切，得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1，即(a＋b)2＝9，∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(9,4).答案：C5．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点恰有3个，则实数a的值为()A．2eq\r(2) B．eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．－2eq\r(2)或2eq\r(2)解析：因为圆上的点到直线l的距离等于1的点恰有3个，所以圆心到直线l的距离d＝1，即d＝eq\f(|－a|,\r(2))＝1，解得a＝±eq\r(2).答案：C6．(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切 B．相交C．外切 D．相离解析：由题意知，圆M的圆心为(0，a)，半径为a.∵圆M被直线x＋y＝0所截弦长为2eq\r(2)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2))))2＋(eq\r(2))2＝a2.∴a＝2.∴|MN|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)<1＋2.∴圆M与圆N相交．答案：B7．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析：由题意知x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为eq\f(|4|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以r＝eq\r(2)；又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y＝－x和x－y－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.答案：D8．(2017·武汉模拟)已知直线l：mx＋y－1＝0(m∈R)是圆C：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的对称轴，过点A(－2，m)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|为()A．4 B．2eq\r(5)C．4eq\r(2) D．3解析：∵圆C：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y＋1)2＝4，表示以C(2，－1)为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：mx＋y－1＝0经过圆C的圆心(2，－1)，故有2m－1－1＝0，∴m＝1，点A(－2,1)．∵AC＝eq\r(20)，CB＝R＝2，∴切线的长|AB|＝eq\r(20－4)＝4.故选A．答案：A9．(2017·兰州二模)已知圆C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t＞0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))解析：圆C：(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1，其圆心C(eq\r(3)，1)，半径为1，∵圆心C到O(0,0)的距离为2，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为3.再由∠APB＝90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO＝eq\f(1,2)AB＝t，故有t≤3，∴A(－3,0)，B(3,0)．∵圆心C(eq\r(3)，1)，直线OP的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，∴直线OP的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x，联立：解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x,x－\r(3)2＋y－12＝1))解得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3\r(3),2),y＝\f(3,2))).故选D．答案：D10．(2017·揭阳二模)已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，则k的取值范围是()A．(eq\r(3)，＋∞) B．[eq\r(2)，2eq\r(2))C．[eq\r(2)，＋∞) D．[eq\r(3)，2eq\r(2))解析：由已知得圆心到直线的距离小于半径，即eq\f(|k|,\r(2))＜2，又k＞0，故0＜k＜2eq\r(2).①如图，作平行四边形OACB，连接OC交AB于M，由|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|得|eq\o(OM,\s\up6(→))|≥eq\f(\r(3),3)|eq\o(BM,\s\up6(→))|，即∠MBO≥eq\f(π,6)，因为|OB|＝2，所以|OM|≥1，故eq\f(|k|,\r(2))≥1，k≥eq\r(2).②综合①②得，eq\r(2)≤k＜2eq\r(2).选B．答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．11．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－eq\f(2,k)，令－3<1－eq\f(2,k)<3，解不等式得k>eq\f(1,2)或k<－1.答案：(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))12．(2017·清远一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝5上有且仅有三个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的值是________．解析：如图，由题意可知，原点到直线12x－5y＋c＝0的距离为eq\r(5)－1.由点到直线的距离公式可得：eq\f(|c|,\r(122＋－52))＝eq\r(5