二次函数y=ax2的图像和性质课件人教版数学九年级上册

二次函数y=ax²的图像和性质第二十二章二次函数学习目标3.能根据图象说出抛物线y=ax²的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.1.正确理解抛物线的有关概念.2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax²的开口方向与a的符号有关.反比例函数的图象一次函数的图象二次函数的图象是什么样子的？一条直线双曲线先画二次函数y=x2的图象二次函数y=ax2的图象的画法x···-3-2-10123···y=x2···9410149···1.列表

在y=x2中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值：2.描点

根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点.3.连线

用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象.369yO-33x图象y=kx（k≠0）性质k＞0当k>0时，y的值随x值的增大而增大k＜0当k<0时，y的值随x值的增大而减小观察一次函数y=kx（k≠0）图象思考二次函数y=ax²（a≠0）图象有哪些性质？类比：根据一次函数y=kx（k≠0）中k的取值与图象的联系，猜测二次函数y=ax²（a≠0）中a与图象有何关联？

开口向上开口向下

a>0a<0不同点分类讨论思想：根据二次函数y=ax²（a≠0）中a的不同去探究图象的开口方向xyO-222464-48

y=x2

y=2x2

y=x22▁1共同点：开口：向上，顶点：原点（0,0）——最低点对称轴：y轴增减性：y轴左侧，y随x增大而减小

y轴右侧，y随x增大而增大不同点：a

值越大，抛物线的开口越小．

观察三个函数图象的异同点

小结例题例.关于函数y=3x²的性质表述正确的一项是()A.无论x为任何实数，y的值总为正B.当x值增大时，y的值也增大D.它的图象在第一、三象限内例.已知点(-1，y₁)，(2，y₂)，(-3，y₃)都在函数y=x²的图象上，则()A.y₁<y₂<y₃ B.y₁<y₃<y₂ C.y₃<y₂<y₁ D.y₂<y₁<y₃例

已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，（1）求S与C之间的二次函数关系式；

即：S=（c＞0）（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.注意自变量的范围函数y=ax2的实际应用解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为cm，∴S与C之间的关系式为S=；（2）作图如右：（3）当S=1cm2时，C2=16，即C=4cm（4）若S≥4cm2，即≥4，解得C≥8.，或c≤-8(舍去）.因此C

≥8cm.(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．<变式题

已知二次函数y＝2x2.

(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C，

∴当x＝2时，y＝2×22＝8.∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，

∴OA＝OB，

∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.二次函数与一次函数性质的综合应用如图，直线AB过x轴上的点B（4，0），且与抛物线y=ax2交于A、C两点，已知A（2，2）.（1）求直线AB的函数解析式；（2）求抛物线的函数解析式；（3）如果抛物线上有点D，使S△OBD=S△OAC，求点D的坐标.y=ax+b（2，2）（4，0）DD拓展延伸解：（1）设直线表达式为y=ax+b，∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的图象上，∴直线AB的函数解析式为：y=-x+4.（2）∵点A（2，2）在y=ax2的图象上，∴代入可得，∴抛物线的函数解析式为.（2，2）（4，0）（3）联立得解得：∴点C的坐标为（-4，8），设D∵S△OBD=S△OAC，∴x2=12，∴D点坐标为或.（2，2）（4，0）DD（-4，8）二次函数y=ax2的性质根据图形填表：抛物线y=ax2（a>0）y

=ax2（a＜0）顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方（除顶点外）在x轴的下方（除顶点外）向上向下当x=0时，