高考中常见数列通项公式的几种求解方法

PAGEPAGE6高考中常见数列通项公式的几种求解方法摘要：求解数列的通项公式乃高考中常见的热门问题，本文将求数列通项的各种常见题型及解决方法作一系统总结，以期对各位同行的高考复习准备工作起到一定的帮助作用．关键词：数列递推关系通项公式一、观察法例1、根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…；（2）（3）；（4）．解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：；（2）；（3）；（4）．解答此类题目关键是观察各项的特点，找出各项与项数n的规律性关系．二、直接法如果已知数列为等差（或等比）数列，可直接根据所给条件求得，（或），从而依据等差（或等比）数列的通项公式写出所求通项．例2（09年全国二文17）已知等差数列{}中，求{}前n项和．分析：该题虽是求前项和，但求之前必须先求得通项的要素和，所以本题其实质是求通项公式．解：设的公差为，则即解得或．因此，或三、公式法若已知数列的前项和关于的表达式或者与的关系，求数列的通项可用公式求解．例3（09年安徽文19）已知数列{}的前n项和，数列{}的前n项和．（1）求数列{}与{}的通项公式．解析：(1)由于；当时,，且时亦成立，∴．又当时，∴数列为等比数列,其首项为1,公比为，．注意要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一．从此题的解决办法中我们可以发现如下的规律：“遇和作差，遇积作商”．下面举两例予以说明：例4．在数列中，+2+3+…+=，求．解析：令=+2+3+…+=，则=+2+3+…+=，则－==－，∴=－=．例5．数列{}中,,当时,有,求.解析：由已知得（，）．由于不适合此式，所以．四、累加（乘）法对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出从1取到时的个递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘），即可得到所求通项公式．例6（09年全国卷一理20）在数列中，．（1）设，求数列的通项公式．解析：（1）由已知可得故，，，…，，将以上式子相加便得，又可得，故．例7．在数列中，，（），求通项．解析：由已知，，，…，，又，所以=…=…=．五、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的等差或等比数列，从而利用这个新数列求其通项公式．【类型一】二元线性常系数递推解决原理：设①则代入①便得，令则，故为以为公比，为首项的等比数列．例8（07年全国卷二理21）设数列{an}的首项,，．（1）求{an}的通项公式．解析：（1）由得，设即对比得，又，所以是首项为，公比为的等比数列，得∴．【类型二】分式线性递推解决原理：将转化为的形式，由、、求出待定系数、、，便可转化为等比数列．例9（08年陕西理22）已知数列的首项，，．（1）求的通项公式．解法1）设化简得即，与已知等式比较得：，解得或．不妨取第一组代入，原式为，故为公比为3，首项为的等比数列，所以，∴．另外注意到此题中常数为，故又可考虑用以下的方法求解：解法2）将化为，两边同乘以，便得，即，令得．到此再用类型一的方法处理即可．【类型三】（且）型递推解决原理：两边同乘以得令则，到这儿就可以用累加法解决，但若为常数则直接转化为等差数列．例10（09年湖北理19）已知数列的前n项和（n为正整数）．（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式．解析：（1）在中，令n=1，可得，即当时，，∴，，两边同乘以得．又数列是首项和公差均为1的等差数列．于是，∴，∴．这里由求解的过程中就用到了型递推通项的求解方法．【类型四】三元线性齐次中项拆析递推（且）解决原理：设则∴，利用“构造一元二次方程法”解出后，便得是以为公比的等比数列．例11（全国卷二理19）设数列的前项和为已知．（１）设，证明数列是等比数列；（２）求数列的通项公式．解：（I）由及，有，，∴．由．．．①，则当时，有．．．②②－①得，设即对比可得解得．∴．又，∴，∴{}是首项，公比为２的等比数列．（2）由上可得，到此本问题就可以用类型三的方法解决：在两边同乘以得：．∴数列{}是首项为，公差为的等差数列．∴，．该题（1）问中用了三元线性齐次中项拆析递推的处理方法，得以使这类问题的解答据规律性．另外注意到由求解的过程中，构造方程所得两组解相同，故只能按类型三或累加（不一定都适用）的方法求解．但若是两组解不同，有没有其他的解决方法呢？下面再看一例：例12（09年陕西文21）已知数列满足，．（1）令，证明：是等比数列；（2）求的通项公式．（1